第4章 4.5.2 形形色色的函数模型（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦函数模型的应用与选择这一核心知识点，系统梳理一次、二次、指数、对数等函数模型的解析式，结合数学建模步骤，搭建从函数性质到实际问题解决的学习支架。 该资料通过声强级计算、沙漠治理等真实案例，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过多模型对比（如例3选最优产量模型）培养数学思维，用函数解析式和数据表格精准表达问题。课中例题与跟踪训练助力教师教学，课后课时对点练帮助学生查漏补缺。

4.5.2　形形色色的函数模型 学习目标　1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.建立函数模型解决实际问题.3.实际问题中的函数模型选择问题. 导语 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 问题1　你能写出几种函数模型？ 提示　 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axα＋b(a，b为常数，a≠0) 问题2　数学建模的步骤通常是什么？ 提示　 一、应用已知函数模型解决实际问题 例1　人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声强级，其中0 dB是人们能听到的最低声强对应的声强级.一般地，如果声强为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)＝alg(a为常数).已知人正常说话时的声强级约为60 dB，嘈杂的马路声的声强级约为90 dB，而90 dB对应的声强是60 dB对应的声强的1 000倍. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若某种喷气式飞机起飞时，声强级约为150 dB，计算该种喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的多少倍？ 解　(1)设90 dB对应的声强是x1，60 dB对应的声强是x2， 则1 000， 所以 所以30＝alg 所以30＝3a，所以a＝10， 所以f(x)＝10lgx∈(0，＋∞). (2)设喷气式飞机起飞时的声强为x3， 所以 所以9＝lg所以109， 故喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的109倍. 反思感悟　利用已知函数模型解决实际问题 (1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数. (2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题. (3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算. 跟踪训练1　某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)按照酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.则此驾驶员至少要过　　　小时后才能开车(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时)(　　)  A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　显然驾驶员在1个小时内不能开车，因此在x>1时解不等式f(x)≤0.02， 此时不等式为·≤0.02，即≤又y是减函数， ><因此的解x0满足3<x0<4， 且当x≥x0时，f(x)≤0.02， 所以至少要过4小时才能开车. 二、建立函数模型解决实际问题 例2　某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1).当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了10年时间. (1)求x的值； (2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？ 解　(1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1)， 则a(1－x)10a，即(1－x)10 解得x＝1－. (2)设从今年开始，还需治理n年， 则n年后剩余面积为a(1－x)n， 令a(1－x)n≤a，即(1－x)n≤ ≤≥解得n≥15， 故至少还需治理15年. 反思感悟　与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 跟踪训练2　某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　) A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年 答案　B 解析　设x年后研发资金开始超过200万元， 所以130(1＋12%)x>200， 所以1.12x>所以x>log1.12 所以x>所以x>3.8， 故2024年研发资金开始超过200万元. 三、实际问题中函数模型的选择问题 问题3　现在你能对你资金的三种投资方案做出选择了吗？方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 提示　如果做短期投资，方案二收益较高；如果做长期投资，显然方案三最终回报最高. 例3　(课本例3) 某商用无人机公司从某年1月份开始投产，已知前4个月的产量分别为1万台，1.2万台，1.3万台，1.37万台.由于产品技术先进、质量可靠，前几个月的产品销售情况良好.为了方便营销人员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.公司分析，产量的增加是由于工人技术日益熟练和生产流程更为优化，并且公司也暂时不准备增加设备和工人.假如你是公司管理者，现有五个模型y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝a＋b，y＝a·bx＋c，y＝aln x＋b供你估算以后几个月的产量，哪个模型最好？ 解　如图(1)，在直角坐标系(为方便观察，取y轴的单位长度较大)中依次描出体现基本数据的四个点：A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37). ①设模拟函数为y＝ax＋b，将B，C两点的坐标代入，有解得 所以y＝0.1x＋1.该函数的图象如图(1)所示. 评价　此法的结论是，在不增加设备和工人的条件下，产量会每月提升0.1万台，即1 000台，这是不太可能的. ②设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c，将A，B，C三点的坐标代入，有 解得 所以y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7. 该函数的图象如图(2)所示. 评价　由此法计算出4月份的产量为1.3万台，比实际产量少700台，而且，由二次函数的性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴是直线x＝3.5)，这显然不符合实际情况. ③设模拟函数为y＝a＋b.将A，B两点的坐标代入，有解得 所以y＝0.48＋0.52.借助计算机软件可作出该函数的图象，如图(3)所示. 评价　将x＝3及x＝4代入函数解析式，分别得到y≈1.35及y＝1.48，与实际产量差距较大. ④设模拟函数为y＝a·bx＋c，将A，B，C三点的坐标代入，得解得 所以y＝－0.8×0.5x＋1.4.借助计算机软件可作出该函数的图象，如图(4)所示. 评价　将x＝4代入函数解析式，得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与第4个月的产量比较接近. ⑤设模拟函数为y＝aln x＋b，将A，D两点的坐标代入，得解得 所以y＝0.267·ln x＋1.借助计算机软件可作出该函数的图象，如图(5)所示. 评价　将x＝2及x＝3代入函数解析式，分别得到y＝0.267·ln 2＋1≈1.185及y＝0.267·ln 3＋1≈1.293，与实际产量非常接近. 例3　某产品近日开始上市，通过市场调查，得到该产品每件的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如表： 上市时间x/天 4 10 36 市场价y/元 90 51 90 (1)根据表中数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该产品的市场价y与上市时间x的变化关系，并简要说明你选取的理由. ①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx； (2)利用你选取的函数，求该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格. 解　(1)因为随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的函数中，y＝ax＋b和y＝alogbx都是单调函数，不满足题意， 所以选择y＝ax2＋bx＋c. (2)把点(4，90)，(10，51)，(36，90)代入y＝ax2＋bx＋c中，得 解得 所以yx2－10x＋126(x－20)2＋26， 所以当x＝20时，y有最小值26， 所以当该产品上市20天时，市场价最低，最低的价格为26元. 反思感悟　建立拟合函数与预测的基本步骤 跟踪训练3　生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量w进行监测.第一次监测时的总量为w0(单位：吨)，此时开始计时，时间用t(单位：月)表示.甲经过一段时间的监测得到一组数据如表： t/月 0 2 8 16 w/吨 2.0 4.0 6.0 7.0 为了研究该生物总量w与时间t的关系，甲通过研究发现可以用以下两种函数模型来表达w与t的变化关系：①w＝c＋dw0；②w＝bloga(t＋1)＋w0(a>0且a≠1). (1)请根据表中提供的前2列数据确定两个函数模型的解析式； (2)根据第3，4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量w由w0翻一番时经过了2个月，根据你选择的函数模型，求总量w再翻一番还需要经过多少个月？(参考数据：≈1.414，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23) 解　(1)将前2列数据代入解析式①得 解得 ∴①w＋2； 将前2列数据代入解析式②得 解得 ∴②w＝2log3aloga(t＋1)＋2 ＝2log3a·＋2＝2log3(t＋1)＋2. (2)当t＝8时，模型①w＝4＋2＝6，模型②w＝2log39＋2＝6； 当t＝16时，模型①w＝4＋2≈7.66， 模型②w＝2log317＋2＋2≈7.13， ∴选模型②. 当总量w再翻一番时有8＝2log3(t＋1)＋2，解得t＝26，26－2＝24， 即再经过24个月，总量w能再翻一番. 1.知识清单： (1)应用已知函数模型解决实际问题. (2)实际问题中函数模型的选择问题. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对函数拟合效果的分析不能做出正确选择. 课时对点练 [分值：75分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，第五个月销售了1 600台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤5，x∈N＋)之间关系的是(　　) A.y＝100x B.y＝50x2－50x＋100 C.y＝50×2x D.y＝100x 答案　C 解析　将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应. 2.点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量ΔL(单位：dB)与传播距离r(单位：m)的关系式为ΔL＝10·lg(πr2)＋k，其中k为常数.当传播距离为r1时，衰减量为ΔL1；当传播距离为r2时，衰减量为ΔL2.若r2＝2r1，则ΔL2－ΔL1约为(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A.6 dB B.4 dB C.3 dB D.2 dB 答案　A 解析　依题意，ΔL2－ΔL1＝10·lg(π)＋k－10·lg(π)－k＝20lg20lg 2≈6(dB). 3.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　) A.75，25 B.75，16 C.60，25 D.60，16 答案　D 解析　由题意知，组装第A件产品所需时间为15，故组装第4件产品所需时间为30，解得c＝60.将c＝60代入15，得A＝16. 4.国内首个百万千瓦级海上风电项目——三峡阳江沙扒海上风电场实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力.风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：F(x)＝1－其中k为形状参数，x为风速.已知风速为1 m/s时，F≈0.221，则当风速为4 m/s时，F约为(参考数据：ln 0.779≈－e－4≈0.018)(　　) A.0.920 B.0.964 C.0.975 D.0.982 答案　D 解析　因为F(1)≈0.221， 所以≈0.779≈－ln 0.779，2k≈4，得k≈2， 所以F(4)＝1－≈1－e－4≈0.982. 5.据科学家们测算：火箭的最大速度至少达到11.2千米/秒时，可将载人飞船顺利送入外太空.若火箭的最大速度v(单位：米/秒)、燃料的质量M(单位：吨)和载人飞船的质量m(单位：吨)近似满足函数关系式 v＝5 600lg.要使载人飞船顺利进入外太空，则燃料质量与载人飞船质量的比值至少为(　　) A.9 B.99 C.999 D.9 999 答案　B 解析　11.2千米/秒＝11 200米/秒， 令v＝5 600 lg≥11 200， 则lg≥2， 所以1＋≥102， 所以≥99， 所以燃料质量与载人飞船质量的比值至少为99. 6.(多选)如图，某池塘中的浮萍蔓延后的面积y(m2)与时间t(月)的关系为y＝at(a>0且a≠1)，以下叙述中正确的是(　　) A.这个指数函数的底数是2 B.第5个月时，浮萍的面积就会超过35 m2 C.浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月 D.浮萍每个月增加的面积都相等 答案　AC 解析　将点(1，2)代入y＝at中，得a＝2， 所以y＝2t，所以A正确； 当t＝5时，y＝25＝32<35，所以B错误； 当y＝4时，t＝2，当y＝16时，t＝4，所以浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月，所以C正确； 由指数函数y＝2t的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等，所以D错误. 7.(5分)某品牌笔记本电脑的价格不断降低，若每隔4年价格就降低则现在价格为8 100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为　　　　元.  答案　2 400 解析　12年后的价格将降为8 100×2 400(元). 8.(5分)某种茶水用100 ℃的水泡制，再等到60 ℃时饮用可产生最佳口感.已知茶水温度y(单位：℃)与经过时间t(单位：min)的函数关系是y＝kat＋y0，其中a为衰减比例，y0是室温，当t＝0时，y为茶水初始温度，若室温为20 ℃，a茶水初始温度为100 ℃，则k＝　　　　　，产生最佳口感所需时间是　　　　　min.  答案　80　8 解析　由题意，y＝kat＋20，当t＝0时，有y＝ka0＋20＝k＋20＝100，即k＝80， 则y＝80at＋20，当y＝60时，即80at＋20＝60，所以80at＝40， at可得tln a＝－ln 2，则t8. 9.(13分)随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高.某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速80 km/h(不含80 km/h).经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位： km/h)的数据如表所示. v 0 10 30 70 M 0 1 325 3 375 9 275 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： M(v)v3＋bv2＋cv；M(v)＝1 000·＋a；M(v)＝300logav＋b. (1)当0≤v<80时，请选出你认为最符合表格所列实际数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；(7分) (2)在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为400 km.若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量(单位：Wh)最小？并计算出该最小值.(6分) 解　(1)对于M(v)＝300logav＋b，当v＝0时，它无意义，所以不符合题意； 对于M(v)＝1 000·＋a，它显然是个减函数，所以不符合题意， 故选M(v)v3＋bv2＋cv. 根据提供的数据， 得 解得 当0≤v<80时，M(v)v3－2v2＋150v. (2)设车速为v km/h，所用时间为h， 所耗电量f(v)10(v2－80v＋6 000)＝10(v－40)2＋44 000， 所以当测试员控制的车速为40 km/h时， 该电动汽车的电池所需的最小容量为44 000Wh. 10.“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强m与标准声强m0(m0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg 取贝尔的十分之一作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为(　　) A.5米 B.10米 C.45米 D.50米 答案　D 解析　设B同学大喝一声的声强为m，喷出泉水高度为x米，则A同学大喝一声的声强为10m，喷出泉水高度为50米，因为某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝2x， 所以则 即20x＝999，解得x＝49.95≈50.即B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为50米. 11.一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效，现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过　　小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，答案采取四舍五入精确到0.1 h)(　　)  A.2.3 B.3.5 C.5.6 D.8.8 答案　A 解析　设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效. 则2 500×0.8x＝1 500，即0.8x＝0.6， 所以lg 0.8x＝lg 0.6，即xlg 0.8＝lg 0.6， x ≈≈2.3. 12.(多选)某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去15年的数据，对2010~2040年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率f(x)与时间x(单位：年，规定x＝0表示2010年初)的函数关系为f(x)(0≤x≤30)，则下列结论正确的是(参考数据：ln 3≈1.1)(　　) A.f(x)的图象关于点中心对称 B.f(x)的图象关于直线x＝15对称 C.2022年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足25% D.预计2030年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过90% 答案　ACD 解析　对于A，f(x)＋f(30－x) 1， 所以f(x)的图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，f(x)－f(30－x)≠0， 所以f(x)的图象不关于直线x＝15对称，故B错误； 对于C，f(12)因为ln 3≈1.1，所以e1.1≈3，所以e1.5>3， 所以f(12)<25%，故C正确； 对于D，f(20)因为e2.5>32，所以e－2.5< 所以f(20)>90%，故D正确. 13.(5分)某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4 注：地震强度是指地震时释放的能量. 地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数).利用散点图(如图)可知a的值为　　　　.(取lg 2≈0.3进行计算)  答案　 解析　由记录的部分数据，可知当x＝1.6×1019时，y＝5.0，当x＝3.2×1019时，y＝5.2. 则 由②－①得0.2＝alg即0.2＝alg 2. 所以a≈. 学科网（北京）股份有限公司 $