第4章 4.4.2 计算函数零点的二分法（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学中计算函数零点的二分法，以前期学习的函数零点存在定理为基础，系统阐述二分法的原理、适用条件（连续函数、变号零点）及“定区间、找中点、判符号、缩区间”的操作步骤，构建从理论理解到实际应用的学习支架。 资料以猜手机价格、检修线路等生活实例导入，引导学生用数学眼光发现现实问题中的逼近思想，通过问题链设计和表格化计算过程培养数学思维中的推理能力与程序化意识，结合例题与跟踪训练帮助学生用数学语言表达零点求解过程。课中助力教师引导学生直观理解，课后通过分层练习帮助学生巩固方法、查漏补缺。

4.4.2　计算函数零点的二分法 学习目标　1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的操作步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想. 导语 同学们,前几天有个同事买了一部手机,为了游戏更有趣,我暂且不能告诉大家是什么牌子的手机,我可以告诉大家这部手机的价位在2 000元~3 000元,如果我给大家5次猜价的机会,我只能告诉大家猜的价格比真实值多或少,大家能否猜出与手机真实价钱的误差在50元以内的价钱？注意啊,你的机会只有5次！要解决这个问题,接下来,让我们一起探究解决这个问题的方法吧. 一、二分法的理解 问题1　在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,在这条线路上有200多根电线杆.想一想：维修工人应怎样最合理地迅速查出故障所在地呢？ 提示　如图所示.工人首先从线路的中点C查起,如果CB段正常,就选择CA的中点D测试；如果DA段正常,就选择DC的中点E继续测试……像检修线路所用的这种方法称作二分法. 知识梳理 二分法：对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在的区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 注意点： (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理. (2)用二分法只能求变号零点,即零点左右两侧的函数值的符号相反.比如y＝x2,该函数有零点为0,但不能用二分法求解. 例1　(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点,能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 答案　ABC 解析　根据二分法的定义,知函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)·f(b)<0,即函数的零点是变号零点,才能将区间[a,b]一分为二,逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知,选项A,B,C都符合条件,而选项D不符合,因为零点左右两侧的函数值不变号,所以不能用二分法求函数零点的近似值. (2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点,但不能用二分法求出,则c的值是(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 答案　A 反思感悟　运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断. (2)在该零点左右两侧的函数值异号. 跟踪训练1　已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为(　　) A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 答案　D 解析　图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的个数为3. 二、用二分法求函数零点的近似值 问题2　按上述思路,你能想办法求函数f(x)＝x3－3零点的近似值吗？ 提示　由于f(1)＝－2<0,f(2)＝5>0,因此可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐步计算,列表如下： 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 (1,2) 1.5 0.375 (1,1.5) 1.25 －1.046 9 (1.25,1.5) 1.375 －0.400 4 (1.375,1.5) 1.437 5 －0.029 5 当然,我们可以一直重复下去,这样的话,也会使求得的函数零点更精确,显然,这可能是一个无休止的过程,即便是计算机,也可能被累死机.实际上,如果我们一开始给一个误差范围的话,只要满足了给出的误差范围,我们就可以停止计算,比如,该问题中,我们给出误差不超过0.1. 由于|1.5－1.437 5|＝0.062 5<0.1,所以原函数的一个正实数零点可取为1.437 5. 知识梳理 用二分法求函数零点近似值的一般操作方法 设函数y=f(x)定义在区间D上，其图象是一条连续曲线.我们希望求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过给定的正数ε，即使得|x-x0|≤ε. 第1步，在D内取一个闭区间[a，b]⊆D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)<0； 第2步，取区间[a，b]的中点m=(a+b)； 第3步，计算f(m)，并进一步确定零点所在的区间： (1)如果f(m)=0(此时x0=m)，则m就是函数的零点； (2)若f(a)·f(m)<0(此时x0∈(a，m))，则令b=m； (3)若f(m)·f(b)<0(此时x0∈(m，b))，则令a=m. 第4步，判断是否达到精确度ε：若|b-a|≤ε，则得到零点的近似值a(或b)，也可选取区间内任意一个数作为零点的近似值；否则重复步骤2~4. 注意点： (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点. (2)二分法就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,根据所要求的误差范围,找到零点附近足够小的区间,用此区间的中点值近似地表示真正的零点. 例2　(课本例4) 在课本例3中，我们已经说明了f(x)＝x3－3x2＋1在[0，1]上恰有一个零点.试用二分法来计算这个零点的更精确的近似值(误差不超过0.01). 解　前面已经知道函数f(x)的零点在[0，1]上，此时包含零点的区间长度为1－0＝1，远超0.01，不符合要求.于是我们可以通过二分法来缩小零点所在区间，具体如下： 第1次，取[0，1]的中点＝0.5，用计算器或计算机求出f(0.5)≈0.38>0.由于f(1)＝－1<0，可知f(0.5)·f(1)<0，于是零点在[0.5，1]上，此时包含零点的区间长度为1－0.5＝0.5，远超0.01，不符合要求. 第2次，取[0.5，1]的中点＝0.75，求出f(0.75)≈－0.27<0，由于f(0.5)·f(0.75)<0，可知零点在[0.5，0.75]上，此时包含零点的区间长度为0.75－0.5＝0.25>0.01，不符合要求. 继续重复上述步骤，可得下表： 次数 区间左 端点a 区间右 端点b m＝ f(m)的 近似值 零点所在 区间长度 是否符 合要求 1 0 1 0.5 0.38 0.5 否 2 0.5 1 0.75 －0.27 0.25 否 3 0.5 0.75 0.625 0.07 0.125 否 4 0.625 0.75 0.687 5 －0.09 0.062 5 否 5 0.625 0.687 5 0.656 25 －0.009 0.031 25 否 6 0.625 0.656 25 0.640 625 0.032 0.015 625 否 7 0.640 625 0.656 25 0.648 437 5 0.011 0.007 812 5 是 由上表可知，计算到第7次，由于f(0.648 437 5)·f(0.656 25)<0，可知包含零点的区间为[0.648 437 5，0.656 25]，零点所在区间长度小于0.01.于是，该区间内任意一点都可作为零点的近似值，例如可取0.65(也可取区间的端点值)作为零点的近似值，也即可取0.65作为方程x3－3x2＋1＝0的一个近似解. 例2　用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点的近似值.(误差不超过0.01) 解　经计算f(1)<0,f(1.5)>0,所以函数f(x)在[1,1.5]内存在零点x0. 取[1,1.5]的中点x1＝1.25,经计算f(1.25)<0, 因为f(1.5)·f(1.25)<0,所以x0∈[1.25,1.5], 如此继续下去,如下表： 区间 中点值 中点函数近似值 [1,1.5] 1.25 －0.30 [1.25,1.5] 1.375 0.22 [1.25,1.375] 1.312 5 －0.05 [1.312 5,1.375] 1.343 75 0.08 [1.312 5,1.343 75] 1.328 125 0.01 [1.312 5,1.328 125] 1.320 312 5 －0.02 因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01,所以函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内误差不超过0.01的一个零点近似值可取为1.320 312 5. 反思感悟　(1)二分法求函数零点近似值的关注点 ①验证零点所在的区间是否符合误差要求. ②一般取区间中点值作为零点的近似值. (2)二分法求函数零点近似值步骤的记忆口诀 定区间,找中点,中值计算两边看. 同号丢,异号算,零点落在异号间. 重复做,何时止,误差值来把关口. 跟踪训练2　(1)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点的近似值,其参考数据如下： x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5 f(x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7 根据上述数据,可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(误差不超过0.025)为(　　) A.0.093 75 B.0.109 375 C.0.125 D.0.078 125 答案　B 解析　已知f(0.093 75)<0,f(0.125)>0,则函数f(x)的零点的初始区间为[0.093 75,0.125],所以零点在区间[0.093 75,0.125]上,|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.025×2,所以＝0.109 375可以作为f(x)的一个零点近似值. (2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1,3]内的近似解,取区间的中点x0＝2,那么下一个有根的区间是　　　　.  答案　(1,2) 解析　设f(x)＝2x＋3x－7,f(1)＝－2<0, f(3)＝10>0,f(2)＝3>0, ∵f(1)·f(2)<0, ∴f(x)零点所在的区间为(1,2), ∴方程2x＋3x－7＝0下一个有根的区间是(1,2). 三、二分法的应用 例3　求曲线y＝lg x和直线y＝2－x的交点的横坐标(误差不超过0.05). 解　在同一平面直角坐标系中,作出y＝lg x,y＝2－x的图象如图所示,可以发现方程lg x＝2－x有唯一解,记为x0,并且解在区间(1,2)内. 设f(x)＝lg x＋x－2,则f(x)的零点为x0. 用计算器计算得f(1)<0,f(2)>0⇒x0∈(1,2)； f(1.5)<0,f(2)>0⇒x0∈(1.5,2)； f(1.75)<0,f(2)>0⇒x0∈(1.75,2), f(1.75)<0,f(1.875)>0⇒x0∈(1.75,1.875)； f(1.75)<0,f(1.812 5)>0⇒x0∈(1.75,1.812 5). ∵|1.812 5－1.75|＝0.062 5<0.05×2, ∴曲线y＝lg x和直线y＝2－x的交点的横坐标约为＝1.781 25. 反思感悟　用二分法求方程的近似解的方法 对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值,然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解. 跟踪训练3　用二分法求2x＝4－x在区间[1,2]内的近似解(误差不超过0.2). 参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 解　令f(x)＝2x＋x－4,则f(1)＝2＋1－4＝－1<0,f(2)＝22＋2－4＝2>0. 区间 区间中点值xn 中点函数近似值 (1,2) x1＝1.5 0.33 (1,1.5) x2＝1.25 －0.37 (1.25,1.5) x3＝1.375 －0.031 (1.375,1.5) ∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2, ∴2x＝4－x在区间[1,2]内的近似解可取1.375. 1.知识清单： （1）二分法的理解. （2）利用二分法求函数的零点、方程的近似解. 2.方法归纳：化归、逼近. 3.常见误区：二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的. 课时对点练 [分值：90分] 单选题每小题5分,共50分 1.函数y＝f(x)的图象是一条连续曲线,用二分法求它在区间[2,4]上的唯一零点的近似值时,验证f(2)·f(4)<0,取区间[2,4]的中点x1＝＝3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在的区间是(　　) A.(2,4) B.(2,3) C.(3,4) D.无法确定 答案　B 2.用二分法求函数f(x)在[a,b]内的唯一零点时,误差不超过0.001,则结束计算的条件是(　　) A.|a－b|<0.2 B.|a－b|<0.002 C.|a－b|>0.002 D.|a－b|＝0.002 答案　B 解析　据二分法的步骤知当|b－a|<2ε时,便可结束计算. 3.用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时,初始区间可选为(　　) A.[－1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[2,3] 答案　C 解析　f(－1)＝－<0,f(0)＝－2<0, f(1)＝－1<0,f(2)＝1>0,f(3)＝5>0, 则f(1)·f(2)<0,即初始区间可选[1,2]. 4.已知函数y＝f(x)在[0,1]上的图象是一条连续曲线,且f(0)·f(1)<0,使用二分法求函数零点,要求近似值的误差不超过0.1,则需对区间至少二分的次数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　B 5.下列函数中,不能用二分法求函数零点的有(　　) A.f(x)＝5x＋2 B.f(x)＝log5x C.f(x)＝x2＋2x＋1 D.f(x)＝3x－2 答案　C 解析　选项A,由f(－1)f(1)＝－3×7<0,可得f(x)＝5x＋2在(－1,1)上存在变号零点,可用二分法求函数零点； 选项B,由f f(5)＝－1×1<0,可得f(x)＝log5x在上存在变号零点,可用二分法求函数零点； 选项C,f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0,则其零点为－1, 但不存在实数a,b满足f(a)f(b)<0,因而不能用二分法求此函数零点； 选项D,由f(0)f(1)＝－1×1<0,可得f(x)＝3x－2在(0,1)上存在变号零点,可用二分法求函数零点. 6.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个误差不超过0.025的正实数零点的近似值可以为(　　) A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6 答案　C 解析　已知f(0.64)<0,f(0.72)>0, 则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72), 又因为0.68＝×(0.64＋0.72),且f(0.68)<0, 所以零点在区间(0.68,0.72)上, 又|0.72－0.68|＝0.04<0.05＝2ε, 所以所求近似值可以为＝0.7. 7.(5分)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,4]上的实数根时,取中点x1＝3,则下一个有根区间是　　　　.  答案　(2,3) 解析　设函数f(x)＝x3－2x－5, ∵f(2)＝－1<0,f(3)＝16>0,f(4)＝51>0, ∴下一个有根区间是(2,3). 8.(5分)在12枚崭新的硬币中,有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称　　　　次就可以发现假币.  答案　3 解析　将12枚硬币平均分成两份,放在天平上,假币在轻的那6枚硬币里面；将这6枚平均分成两份,则假币一定在轻的那3枚硬币里面；将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上,若平衡,则剩下的那一枚即是假币；若不平衡,则轻的那一枚即是假币,依据上述分析,最多称3次就可以发现这枚假币. 9.(11分)判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数,并用二分法求零点的近似值.(误差不超过0.1) 解　f(0)＝－1<0,f(1)＝1>0, 即f(0)·f(1)<0,f(x)在(0,1)内有零点, 又f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数, ∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1). 取区间(0,1)的中点x1＝0.5,f(0.5)＝－0.75<0, ∴f(0.5)·f(1)<0,即x0∈(0.5,1). 取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75, f(0.75)＝－0.156 25<0,∴f(0.75)·f(1)<0, 即x0∈(0.75,1). 取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875, f(0.875)≈0.340>0. ∴f(0.75)·f(0.875)<0,即x0∈(0.75,0.875). 又|0.875－0.75|＝0.125<0.2＝2ε. ∴f(x)的零点的近似值可取为＝0.812 5. 10.(14分)已知函数f(x)＝ln x＋2x－6. (1)证明：f(x)有且只有一个零点；(7分) (2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.(7分) (1)证明　令x1>x2>0,则f(x1)－f(x2)＝ln ＋2(x1－x2),且>1,x1－x2>0, 即f(x1)－f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2), 即f(x)＝ln x＋2x－6在(0,＋∞)上是增函数, ∴f(x)至多有一个零点.又f(2)＝ln 2－2<0,f(3)＝ln 3>0, ∴f(2)·f(3)<0,即f(x)在(2,3)内有一个零点. ∴f(x)有且只有一个零点. (2)解　∵f(2)<0,f(3)>0,取x1＝ 则f ＝ln －1<0, ∴f(3)f <0,即f(x)的零点x0∈. 取x2＝则f ＝ln >0. ∴f f <0. ∴x0∈又≤ ∴满足题意的区间为. 11.用二分法求方程x－2lg ＝3的近似解,可以取的一个区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案　C 解析　令f(x)＝x－2lg －3, 则f(2)＝2－2lg －3＝2－2×lg 2－3 ＝lg 2－1<0, f(3)＝3－3lg －3＝lg 3>0, ∴用二分法求方程x－2lg ＝3的近似解, 可以取的一个区间是(2,3). 12.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)·f(b)<0,f(a)·f >0,则(　　) A.f(x)在上有零点 B.f(x)在上有零点 C.f(x)在上无零点 D.f(x)在上无零点 答案　B 解析　由f(a)·f(b)<0,f(a)·f >0可知f ·f(b)<0,根据函数零点存在定理可知f(x)在上有零点. 13.用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时,令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x,并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9 则由表中的数据,可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(误差不超过0.05)为(　　) A.1.125 B.1.312 5 C.1.437 5 D.1.468 75 答案　B 解析　因为f(1.25)f(1.375)<0,所以函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解. 14.(5分)函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是　　　　,函数的零点是　　　　(用a表示).  答案　a2＝4b　－ 解析　因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点,但不能用二分法求出,所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切,所以Δ＝a2－4b＝0,所以a2＝4b, 令f(x)＝x2＋ax＋＝0,解得x＝－. 15.已知定义在区间[a,b]上的增函数f(x)是连续不断的,在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在区间为[a,b]又f ＝0,则函数f(x)的零点为(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 答案　C 解析　由题意得,f(a)<0,f(b)>0,又a＋>a恒成立,则解得 ∵f ＝0, ∴f(x)的零点为＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $