3.1.3简单的分段函数 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学教学设计以学生为主体，问题为主线，系统梳理分段函数的概念、求值、图像绘制及应用，通过生活实例（如电费分段计费）引入，结合例题解析与分层练习，构建从概念抽象到数学建模的知识网络，体现知识点内在逻辑联系。 特色在于融入新课标核心素养，以“电费分段计费”情境培养数学眼光观察现实世界，通过图像绘制渗透数形结合的数学思维，设计基础练习与探究作业分层教学，助力学生用数学语言表达现实问题，教师可通过学情反馈精准把握复习方向，提升复习效率。

2025年第二届“学科网杯”全国中小学课件大赛教学设计 课程基本信息 课题 简单的分段函数 课型 新授课 学科 数学 年级 高一 学段 高中 版本章节 湘教版必修一 教学目标 1、掌握求简单分段函数函数值和定义域的方法。 2、能够画出简单分段函数的图象，并初步学会利用图象解决简单问题。 3、通过生活实例，经历分段函数概念的抽象过程，体会数学建模思想。 4、在求值和画图的过程中，学会“分类讨论”和“数形结合”的数学思想方法 教学重难点 教学重点：分段函数的概念理解；分段函数函数值的求法及图象绘制。 教学难点：对分段函数概念的理解（特别是“一个函数”的本质）；分类讨论思想的渗透与应用。 学情分析 学生已经学习了函数的概念、定义域、值域、函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），具备了一定的代数运算和画图能力。学生初次接触“一个函数，多种表达式”，容易将分段函数误解为多个函数。在画图时，学生容易忽略定义域的区间端点，导致图象连接错误或不完整。缺乏“分类讨论”的意识，在求函数值或解方程时，不知道如何选择正确的解析式。高一学生抽象逻辑思维正在发展，对直观、形象的生活实例感兴趣，但思维的严谨性和全面性有待加强。 教学准备 课前布置任务： （1）通过多种形式了解分段计价的一些实例； （2）收集家里近三个月的电费缴纳单，观察具体的收费标准，探求其中规律，尝试用学过的函数知识，建立缴纳电费与用电量之间的函数关系式. 教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计（含AI应用） （1） 、创设情境，引入课题 例6 某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100，按0.57元/（）计费；每月用电量超过100，其中100仍按原标准收费，超过部分按1.5元/（）计费． (1)设月用电，应交电费元，写出关于的函数解析式； (2)小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表： 问：小赵家第一季度共用电多少？ 由生活情境引入新课，激发学生兴趣. 从函数观点看，就是对于自变量的不同取值范围，函数有不同的解析式表达. （二）、归纳探索，形成概念 1.实例引导，形成概念 2.深化概念，理性认识 （三）、掌握证法，适当延展 解答：当时，月电费=100的电费+超过100部分的电费，即为. 两段都表示用户月电费与用电量之间的关系，因此它们是一个函数，合起来用大括号表示为 问题1：有了第一问的基础，大家对于第二问的解答是否已经有了想法？ 分小组解答，给出答案. 问题2：若小赵家7月份用电量为150，他应该交多少电费？ 问题3：还能举出几个生活中常见的分段函数的例子吗？ 例7 画出函数的图象，并求的值． 问题4：该函数定义域是什么？ 问题5：对于定义域内的不同取值，对应法则一样吗？你能用分段函数的形式来表达该函数并画出其图像吗？ 问题6：该分段函数的值域是什么？ 例8 画出函数的图象. 问题7：这是分段函数吗？怎样把它变成规范的分段函数表达式？ 问题8：根据图像，说出该函数的定义域是什么？值域是什么？ 在明确了分段函数的定义之后，通过例7掌握分段函数的图像，例8采用小组讨论的形式，对分段函数的定义、图像以及定义域、值域有更深入、清晰的认识。 在明确了分段函数的定义之后，通过例7掌握分段函数的图像，例8采用小组讨论的形式，对分段函数的定义、图像以及定义域、值域有更深入、清晰的认识。 在自变量的不同取值范围内，函数由不同的解析式给出，这种需要分段表达的函数叫做分段函数，它是一个函数，而不是几个函数,只不过自变量在不同的取值范围内有不同的对应法则. （四）课堂练习 练习1 作出函数的图像. 练习2 某市一条旅游专线的收费标准为：（1）3公里以内（含3公里），票价2元；（2）3公里以上，每增加2公里，票价增加1元（不足2公里的按2公里计算）.如果该条线路的总里程为10公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并用图像法表示这函数. 练习3 设函数，则，若，则 . 练习作业满足不同层次学生的需求，巩固新知的同时拓展思维。 通过由浅入深、层层递进的练习，巩固概念和公式，培养学生的基本运算能力和方程思想，并让学生体会用数学解决实际问题的成就感。 （五）、归纳小结，提高认识 学生通过小组讨论的形式，根据教师的问题从知识方面、能力方面总结本节课所学内容。 （1）知识方面：分段函数的概念、表达形式、研究方法. （2）解决数学应用题的步骤：抽象出数学模型，解决数学问题，进而解决实际问题. （3）数学思想方法：数形结合，分类讨论，函数与方程，图像法等. （4）分段函数的意义：在现实生活中存在着大量分段函数的实例，因此研究分段函数对于培养大家数学抽象、数学建模的能力至关重要。在今后的学习和生活中可以多多观察、实践，体会数学的生活美. 将感性认识上升为理性认识，形成清晰、可操作的解题步骤，培养学生的程序化思维和严谨的科学态度 通过小结将感性认识上升为理性认识，形成清晰，培养学生的程序化思维和严谨的科学态度 作业设计 （1）课本75页练习题1、2、3； （2）课后探究：搜集水费单、打车票等列出函数关系式，并检验结果是否合理. 板书设计/课堂小结 §3.1.3 简单的分段函数 （一）、定义：在定义域的不同区间上，有不同的对应关系的函数。 核心：一个函数 （二）、实例 1. 出租车计费：y = {10 (x≤3), 10+2(x-3) (x>3)} 2. 绝对值函数：y = {x (x≥0), -x (x<0)} （三）、例题区 例7：求函数值（强调步骤：①判断区间 ②代入计算） f(x) = {x+1 (x≤-1), x^2 (-1<x<2), -2x (x≥2)} f(-2)=... f(0)=... f(a)=4 → 分类讨论 例8：画图象（强调：分区间画，注意端点） （左侧预留作图区，画出两个函数的图象） 小结 （1）知识方面：分段函数的概念、表达形式、研究方法. （2）解决数学应用题的步骤：抽象出数学模型，解决数学问题，进而解决实际问题. （3）数学思想方法：数形结合，分类讨论，函数与方程，图像法等. 教学反思 本节课的设计，我始终以学生为主体，以问题为主线，以培养能力为核心。本节课让学生体会到图像对于理解分段函数的巨大帮助。通过画图，直观地看到函数在不同区间的形态，尤其是分界点处的函数值情况，是“实心点”还是“空心点”，一目了然。这比单纯代数字计算要深刻得多。分段函数完美地解决了现实世界中很多“规则会变化”的问题，比如出租车计费、阶梯水电费、个人所得税等。认识到数学并非抽象的符号游戏，而是描述世界的有力工具。 ( — - 1 - — ) 学科网（北京）股份有限公司 $