第2章 习题课 基本不等式的综合问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学基本不等式的综合应用，系统梳理常数代换法、消元法、换元法求最值及综合问题，通过例题解析、反思感悟、跟踪训练构建从基础变形到复杂构造的学习支架。 以问题解决为主线，典型例题（如例1常数代换、例2消元换元）培养数学思维（推理与运算能力），反思感悟提炼方法，课时对点练分层设计。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

习题课　基本不等式的综合问题 学习目标　1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.能通过构造基本不等式求代数式的最值问题. 一、常数代换法求最值 例1　已知a>0，b>0，a＋2b＝1，求的最小值. 解　因为a>0，b>0，a＋2b＝1， 所以(a＋2b) ＝＝1＋＋2 ≥3＋2＝3＋2. 当且仅当即时，等号成立， 故的最小值为3＋2. 反思感悟　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. 跟踪训练1　已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，求x＋2y的最小值. 解　因为x>0，y>0，由x＋8y＝xy，两边同时除以xy， 可得＝1， 所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋ ≥10＋2＝18， 当且仅当即时，等号成立， 所以x＋2y的最小值为18. 二、消元法、换元法求最值 例2　已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值. 解　由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝ 因为x>0，y>0，所以0<x<8. 所以x＋2y＝x＋＝x＋ ＝x＋－1＝x＋1＋－2 ≥2－2＝4， 当且仅当x＋1＝即x＝2时等号成立. 所以x＋2y的最小值为4. 延伸探究　本例条件不变，求xy的最大值. 解　由例2知，y＝0<x<8， ∴xy＝ 令m＝x＋1，∴1<m<9且x＝m－1， ∴xy＝ ＝－＋5≤－×2＋5＝2， 当且仅当m＝即m＝3，即x＝2时等号成立， ∴xy的最大值为2. 反思感悟　对含有多个变量的条件求最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. 跟踪训练2　已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为　　　　.  答案　5＋2 解析　由2a＋b＝ab－1，得a＝ 因为a>0，b>0，所以a＝>0， 因为b＋1>0，所以b>2， 所以a＋2b＝＋2b ＝＋2(b－2)＋4 ＝2(b－2)＋＋5≥2＋5 ＝5＋2 当且仅当2(b－2)＝即b＝2＋时等号成立. 所以a＋2b的最小值为5＋2. 三、基本不等式的综合应用 例3　(1)已知a>0，b>0，若不等式≥恒成立，则m的最大值等于(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 答案　B 解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0， 所以要使≥恒成立， 只需m≤(2a＋b)恒成立， 而(2a＋b)＝4＋＋1≥5＋4＝9， 当且仅当a＝b时，等号成立， 所以m的最大值等于9. (2)设a，b为正数，则的大小关系是　　　　　　　　　　　.  答案　≥≥≥ 解析　∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2， ∴a2＋b2≥即≥ ∴≥ 当且仅当a＝b时等号成立， ∵≤ 当且仅当a＝b时等号成立， 又≥当且仅当a＝b时等号成立， 所以≥≥≥. 反思感悟　求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题. (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或取值范围. 跟踪训练3　(1)已知0<a<b<1，P＝Q＝M＝那么P，Q，M的大小顺序是(　　) A.P>Q>M B.M>P>Q C.Q>M>P D.M>Q>P 答案　B 解析　因为0<a<b<1， 所以> 又因为<b＝<< 故M>P>Q. (2)若不等式≤a对一切正实数x都成立，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　a≥恒成立， 即a≥ ∵x>0，∴ ≤ 当且仅当x＝即x＝1时等号成立， ∴的最大值为∴a≥. 1.知识清单： (1)常数代换法. (2)消元法、换元法求最值. (3)基本不等式的综合应用. 2.方法归纳：消元法、换元法、配凑法. 3.常见误区：不等式变形时应注意等价变形，不能改变结构和取值条件，消元或换元时应注意变量的隐含范围. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知a>0，b>0，且a＋b＝则a＋b的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.4 答案　C 解析　∵a＋b＝ ∴a＋b＝即ab＝1， ∵a＋b≥2＝2， 当且仅当a＝b＝1时等号成立， ∴a＋b的最小值为2. 2.函数y＝a－x－(x>0)在x＝m时有最大值为则a－m的值为(　　) A.4 B.3 C.2 D. 答案　C 解析　因为x>0，所以x＋≥2＝2 当且仅当x＝即x＝时等号成立， 所以函数y＝a－x－＝a－≤a－2 解得a＝3m＝ 所以a－m＝3＝2. 3.若正实数x，y满足xy＋3x＝3，则12x＋y的最小值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　C 解析　∵x>0，y>0，xy＝3－3x>0， ∴0<x<1，y＝ ∴12x＋y＝12x＋＝12x＋－3 ≥2－3＝9， 当且仅当即x＝时取等号，此时y＝3， ∴12x＋y的最小值为9. 4.已知x>0，y>0＝1，则使不等式x＋y≥m恒成立的实数m的取值范围是(　　) A.m≥18 B.m≤18 C.m≥16 D.m≤16 答案　D 解析　因为x>0，y>0＝1， 所以x＋y＝(x＋y)＝1＋＋9≥10＋2＝16， 当且仅当即时，等号成立. 又不等式x＋y≥m恒成立，所以m≤16. 5.已知x，y是正数且x＋y＝1，则的最小值为(　　) A. B. C.2 D.3 答案　B 解析　由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4， 即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1， ∴ ＝·[(x＋2)＋(y＋1)] ＝≥×(5＋4)＝ 当且仅当x＝y＝时，等号成立. 6.(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法中正确的有(　　) A.有最大值 B.有最大值4 C.有最大值 D.a2＋b2有最小值 答案　ACD 解析　因为a，b是正实数，满足a＋b＝1，所以≤当且仅当a＝b＝时取“＝”，A正确； ＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当即a＝b＝时取“＝”，即的最小值是4，B不正确； ≤当且仅当a＝b＝时取“＝”，C正确； a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×当且仅当a＝b＝时取“＝”，D正确. 7.(5分)已知x>0，y>0，2x＋3y＝6xy，则xy的最小值为　　　　.  答案　 解析　∵x>0，y>0， ∴2x＋3y≥2即6xy≥2 平方得xy≥ 当且仅当2x＝3y，即x＝1，y＝时等号成立， ∴xy的最小值为. 8.(5分)若对∀x>－1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(－∞，0] 解析　因为x>－1，所以x＋1>0， 则x＋－1＝x＋1＋－2 ≥2－2＝2－2＝0， 当且仅当x＋1＝即x＝0时等号成立， 由题意可得a≤即a≤0. 9.(10分)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值；(5分) (2)x＋y的最小值.(5分) 解　(1)由2x＋8y－xy＝0， 得＝1， 又x>0，y>0， 则1＝≥2得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立. 所以xy的最小值为64. (2)由2x＋8y－xy＝0， 得＝1， 则x＋y＝·(x＋y) ＝10＋≥10＋2＝18. 当且仅当x＝12，y＝6时，等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 10.(11分)设a>0，b>0，a＋b＝5，求的最大值. 解　设＝m＝n， ∴m>0，n>0，且m2＋n2＝a＋b＋4＝9. 由(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn≤2(m2＋n2)， 得(m＋n)2≤18， ∴m＋n≤3当且仅当m＝n＝时，等号成立， 即的最大值为3. 11.设a>0，b>0，则“a＋b≤1”是“≥8”的(　　) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　a>0，b>0，若a＋b≤1，则≥＝2＋≥2＋2＋2＝8，当且仅当a＝b＝时等号同时成立，充分性满足；若≥8，a＋b≤1不一定成立，例如a＝1，b＝时≥8，但a＋b>1，必要性不满足. 12.已知5m2n2＋n4＝1，则m2＋n2的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由5m2n2＋n4＝1可得，n≠0，即m2＝ 于是m2＋n2＝≥×2 当且仅当4n2＝即n2＝时等号成立， 所以当n2＝m2＝时，m2＋n2的最小值为. 13.(多选)已知正实数x，y满足2x＋y＝xy，则(　　) A.xy≥16 B.x＋2y≥9 C.x＋y>6 D.≥3 答案　BD 解析　正实数x，y满足2x＋y＝xy，则＝1， xy＝2x＋y≥2则xy≥8， 当且仅当即x＝2，y＝4时，取等号，故A错误； x＋2y＝(x＋2y)＝5＋≥5＋2＝9， 当且仅当即x＝y＝3时，取等号，故B正确； 由A知，当x＝2，y＝4时，2x＋y＝xy成立，此时x＋y＝6，故C错误； 由＝1，得则x>1， 则－1＋≥2－1＝3， 当且仅当即x＝2时，取等号，故D正确. 14.已知正实数x，y满足2x＋y－xy＝0，且不等式2x＋y＋2a>0恒成立，则a的取值范围是(　　) A.a>－8 B.a>8 C.a>－4 D.a>4 答案　C 解析　因为正实数x，y满足2x＋y－xy＝0， 所以＝1，则2x＋y＝(2x＋y)＝4＋≥4＋2＝8， 当且仅当y＝2x，即x＝2，y＝4时取等号， 因为不等式2x＋y＋2a>0恒成立， 所以8＋2a>0，即a>－4. 15.(5分)已知a2＋ab＋b2＝3，则a2＋b2－ab的最大值和最小值分别为　　　　　　，　　　　　　.  答案　9　1 解析　当ab>0时，a2＋ab＋b2＝3≥3ab，所以0<ab≤1，当且仅当a＝b＝±1时取等号； 当ab<0时，a2＋ab＋b2＝3≥－2ab＋ab，所以0>ab≥－3，当且仅当a＝－b＝±时取等号； 当ab＝0时，也存在满足a2＋ab＋b2＝3的情况， 所以－3≤ab≤1. 由a2＋ab＋b2＝3，得a2＋b2＝3－ab， 所以a2＋b2－ab＝3－2ab， 由－3≤ab≤1，得1≤3－2ab≤9， 所以1≤a2＋b2－ab≤9， 当a＝b＝±1时取得最小值1，当a＝－b＝±时 取得最大值9， 所以a2＋b2－ab的最大值和最小值分别为9和1. 16.(12分)已知a>b>c，你能比较出4与·(a－c)的大小吗？ 解　(a－c)≥4， 理由如下：因为a－c＝(a－b)＋(b－c)， 所以[(a－b)＋(b－c)] ＝2＋ 又a>b>c，所以a－b>0，b－c>0， 所以≥2， 故(a－c)≥2＋2＝4， 当且仅当时，取“＝”. 学科网（北京）股份有限公司 $