第6章 6.4.4 百分位数（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦百分位数的计算与应用，通过市政府确定居民用水标准的问题导入，承接频率分布表与直方图的知识，搭建从描述数据分布到估计总体百分位数的学习支架。 其亮点在于结合居民用电、产品质量等实例，运用频率分布直方图，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理计算、用数学语言表达结论的核心素养。采用问题驱动、例题解析与跟踪训练，小结明确知识清单与方法，助力学生掌握技能，教师可高效开展教学。

6.4.4 百分位数 第6章　 §6.4　用样本估计总体 <<< 结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义，会求样本数据的百分位数Pr. 学习目标 前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水支出不受影响，根据前面100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？ 导 语 一、百分位数的计算 二、统计图表中的百分位数 课时对点练 内容索引 百分位数的计算 一 某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，你能把数据从小到大排列吗？班级总数的25%是多少？ 问题 提示　87，89，90，91，92，93，94，96；8×25%＝2. 1.百分位数是位于按 的顺序排列的一组数据中某一个___________的数值，以Pr表示，其中r是区间[1，99]上的 .一个百分位数Pr将总体或样本的全部观测值分为两部分，至少有 的观测值小于或等于它，且至少有 的观测值大于或等于它，当r%＝50%时，Pr即对应中位数. 从小到大 百分位置 整数 r% (100－r)% 知识梳理 7 2.求一组观测数据的百分位数Pr的步骤 设观测数据已经按从小到大的顺序排列，如x1，x2，…，xn. 第一步，计算c＝n×r%； 第二步，如果c不是整数，用m表示比c大的最小整数.则所求的Pr＝xm，如果c是整数，则所求的Pr＝. 8 对总体百分位数的估计需要注意的问题 (1)对总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键. (2)由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值. (3)百分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置.百分位数提供了有关数据如何在最小值与最大值之间分布的信息. (4)百分位数不一定是数据中的数. 注 意 点 <<< 9 　(课本例10)计算数据1，5，9，12，13，18，21，23，28，36的百分位数：P25，P50，P75. 例 1 数据量n＝10. 因为c＝n×25%＝2.5不是整数，3是比2.5大的最小整数，所以P25＝x3＝9； 因为c＝n×50%＝5是整数， 所以P50＝＝15.5； 因为c＝n×75%＝7.5不是整数，8是比7.5大的最小整数，所以P75＝x8＝23. 解 10 　从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下： 7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0， 分别求出这组数据的P25，P75，P95. 例 1 11 将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据， 所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4， 则P25＝＝8.15，P75＝＝8.75， P95＝9.9. 解 计算一组n个数据的百分位数Pr的步骤 (1)排列：把n个数据按从小到大的顺序排列，如x1，x2，…，xn. (2)计算c：计算c＝n×r%. (3)定数：若c不是整数，用m表示比c大的最小整数，则所求的Pr＝xm；如果c是整数，则所求的Pr＝. 反 思 感 悟 13 计算数据44，57，59，60，61，63，66，58，62，67的百分位数：P30，P45，P80. 跟踪训练 1 14 将数据按从小到大的顺序排列为44，57，58，59，60，61，62，63，66，67，数据量n＝10，因为c＝10×30%＝3是整数， 所以P30＝＝58.5， 因为c＝10×45%＝4.5不是整数， 5是比4.5大的最小整数， 所以P45＝x5＝60， 因为c＝10×80%＝8是整数， 所以P80＝＝64.5. 解 15 二 统计图表中的百分位数 　(课本例11)为满足居民基本用电需求，并提高能源的利用效率，实现绿色发展，市政府计划对全市居民用电标准按年采用三阶式递增电价收费：75%的用户在最低电价一档，20%的用户用电量超出一阶电价的临界值而未超过二阶电价的临界值，超过一阶临界值的用电量按二阶电价缴费，5%的用户用电量超过二阶电价的临界值，超过二阶临界值的用电量按三阶电价缴费.为此，当地电力公司调查了200户居民6月份的用电量(单位：kW·h)，并排序如下： 例 2 17 8　18　22　31　42　48　49　50　51　56　57　57　60　61　61　61　62　62　63　63　65　66　67　69　70　70　71　72　72　74　76　77　77　78　78　80　80　82　82　82　83　84　84　88　88　89　90　91　93　93　94　95　96　96　96　97　98 98 98 99 100 100 100 101 101 101 105 106 106 106 107 107 107 107 108 108 109 109 110 110 110 111 112 113　113 114 115 116 118 120 120 120 121 123 124 127 127 127　130 130 130 131 131 132 132 132 133 133 134 134 134 135　135 135 135 136 137 137 138 139 139 140 141 142 144 146 146 147 148 149 151 152 154 156 159 160 162 163 163 164　165 167 169 170 170 172 174 174 177 178 178 180 182 182　187 189 191 191 192 194 194 200 201 201 202 203 203 206　208 212 213 214 216 223 224 237 247 250 250 251 253 254 258 260 265 274 274 283 288 289 304 319 320 324 339 462　498 530 542 626 18 样本容量n＝200. 为了使75%的用户以最低一档(第一档)电价缴费，需确定P75. 因为c＝n×75%＝150是整数， 所以P75＝＝178. 这说明6月份约有75%的用户用电量不超过178 kW·h.假设每年用电量不超过178×12＝2 136(kW·h)按第一档电价缴费，则大约75%的用户将按第一档缴费. 解 19 因为c＝n×95%＝190是整数， 所以P95＝＝296.5. 这说明6月份约有95%的用户用电量不超过296.5 kW·h，也就是说该月用电量超过296.5 kW·h的用户只有5%.若每年用电量超过2 136 kW·h，不超过296.5×12＝3 558(kW·h)，则其中的2 136 kW·h按第一档电价缴费，超过部分按第二档电价缴费. 若每年用电量超过3 558 kW·h，则超过部分按第三档电价缴费. 解 20 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45])，得到如图所示的频率分布直方图， 已知第一组有5人. 例 2 (1)求x； 21 因为第一组频率为0.01×5＝0.05， 所以x＝＝100. 解 22 (2)求抽取的x人的年龄的P50(结果保 留整数)； 由题图可知年龄低于30岁的频率为0.4，年龄低于35岁的频率为0.7， 所以抽取的x人的年龄的P50在[30，35)内， 又30＋5×≈32(岁)， 所以抽取的x人的年龄的P50≈32. 解 23 (3)以下是从参赛者中随机抽取的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的P20和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“中国梦”的伟大构想的认知程度. 24 把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列为88，90，92，92，95，96，96，97，98，99， 计算10×20%＝2， 所以这10人成绩的P20＝＝91， 这10人成绩的平均数为×(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3(分). 评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度高. 解 25 由频率分布直方图求百分位数 (1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率. (2)估计百分位数在哪一组，再利用方程的思想，设出百分位数，根据其意义列出方程并求解即可. 反 思 感 悟 26 某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费. 跟踪训练 2 (1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式； 27 当0≤x≤200时，y＝0.5x； 当200<x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60； 当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140. 所以该户居民用电费用y关于月用电量x的函数解析式为 y＝ 解 28 (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值； 29 由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量低于400千瓦时的占80%， 结合频率分布直方图可知 解得 解 30 (3)根据(2)中求得的数据计算用电量的P75，P15. 31 设P75为m， 因为用电量低于300千瓦时的占 (0.001 0＋0.002 0＋0.003 0)×100＝60%， 用电量低于400千瓦时的占80%， 所以P75在[300，400)内， 所以m＝300＋100×＝375， 即用电量的P75为375. 解 32 设P15为x，因为用电量低于100千瓦时的占0.001 0×100＝10%， 用电量低于200千瓦时的占30%， 所以P15在[100，200)内， 所以0.1＋(x－100)×0.002 0＝0.15， 解得x＝125，即用电量的P15为125. 解 33 1.知识清单：百分位数的理解与应用. 2.方法归纳：数据分析. 3.常见误区：求百分位数时，未排序导致计算错误. 课堂小结 课时对点练 三 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B D C BCD 8.4 10.2 题号 11 12 13 14 答案 C BC ACD 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由折线统计图可知，把日最高气温按照从小到大的顺序排列为24，24.5，24.5，25，26，26，27， 因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的P10是第1个数据，为24. 把日最低气温按照从小到大的顺序排列为12，12，13，14，15，16，17， 因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的P80是第6个数据，为16. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以(0.045＋0.020＋a)×10＝0.7，解得a＝0.005， 所以前两组的频率之和为1－0.7＝0.3，即(a＋b)×10＝0.3，所以b＝0.025. (2)前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75，所以P60在第三组，且为65＋×10≈71.7. 基础巩固 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.倡导中小学生学习践行“富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观这24个字，其中含有12组词，每组词的笔画数的和依次为24，10，12，19；11，17，9，16；18，17，17，16，则这12个笔画数的P50和众数分别是 A.16，17 B.16.5，17 C.17，16 D.16，16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 把这12个数按照从小到大的顺序排列为9，10，11，12，16，16，17，17，17，18，19，24，由于12×50%＝6，因此P50＝＝16.5，众数是17. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.若数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的P65＝4.5，则实数x的取值范围是 A.[4.5，＋∞) B.[4.5，6.6) C.(4.5，＋∞) D.[4.5，6.6] √ 因为8×65%＝5.2， 所以这组数据的P65是第6项数据4.5，则x≥4.5. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.一组数据为6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，若这组数据的一个四分位数是15，则它是 A.P15 B.P25 C.P50 D.P75 √ 将数据由小到大排列为6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49，共11项.由于11×25%＝2.75，故P25＝15. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.某地铁的开通运营极大地方便了市民的出行.某时刻从A站驶往B站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10.这组数据的平均数，众数，P90的和为 A.125 B.135 C.165 D.170 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题可得这组数据的平均数为 ＝45， 而10×90%＝9，故P90＝＝65， 众数为60，故三者之和为45＋65＋60＝170. 解析 5.某班最近一次化学考试成绩的频率分布直方图如图所示，若化学老师欲将大家的成绩由高到低排列，并奖励排名在前39%的同学，试估计化学老师选取的学生分数应不低于 A.73 B.75 C.77 D.79 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意可知，(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋a＋0.005)×10＝1，解得a＝0.030，化学考试成绩在[80，100]内的频率为(0.025＋0.005)×10＝0.3， 所以选取的学生最低成绩一定位于[70，80)内，设最低成绩为x，则(80－x) ×0.030＋0.3＝0.39，解得x＝77.所以估计化学老师选取的学生分数应不低于77分. 解析 6.(多选)下表为某银行近年来的人民币一年定期存款利率： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 时间 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 利率/% 1.35 1.50 1.75 1.75 1.55 1.35 1.10 关于表中的7个存款利率数据，下列结论正确的是 A.极差为0.25 B.平均数不大于1.5 C.P20与P30相等 D.中位数为1.50 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 将数据从大到小排列为1.10，1.35，1.35，1.50，1.55，1.75，1.75， 对于A，极差为1.75－1.10＝0.65，故A错误； 对于B，平均数为<＝1.5，故B正确； 对于C，因为20%×7＝1.4，所以P20为第2个数，即1.35， 因为30%×7＝2.1，所以P30为第3个数，即1.35， 所以P20＝P30，故C正确； 对于D，由题意得这组数有7个数，则中位数为第4个数，即1.50，故D正确. 解析 7.数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的P30＝　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.4 因为8×30%＝2.4，所以P30＝8.4. 解析 8.已知30个数据的P60＝9，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.2 由于30×60%＝18， 设第19个数据为x，则＝9， 解得x＝10.2，即第19个数据是10.2. 解析 9.如图是某市2024年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，求这7天的日最高气温的P10和日最低气温的P80. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由折线统计图可知，把日最高气温按照从小到大的顺序排列为24，24.5，24.5，25，26，26，27， 因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的P10是第1个数据，为24. 把日最低气温按照从小到大的顺序排列为12，12，13，14，15，16，17， 因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的P80是第6个数据，为16. 解 10.某高校承办了亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]， 绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、 四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组 的频率相同. (1)求a，b的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以(0.045＋0.020＋a)×10＝0.7，解得a＝0.005， 所以前两组的频率之和为1－0.7＝0.3，即(a＋b)×10＝0.3，所以b＝0.025. 解 (2)估计这100名候选者面试成绩的P60(结果精确到0.1). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75，所以P60在第三组，且为65＋×10≈71.7. 解 11.已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，a，40，50；乙组：24，b，33，44，48，52.若这两组数据的P30对应相等，P50也对应相等，则a＋b等于 A.60 B.65 C.70 D.75 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为30%×6＝1.8，所以P30为每组数据的第2个数，P50为中位数，所以由题意可得解得故a＋b＝70. 解析 12.(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩 的平均数 B.甲的成绩的中位数大于乙的成绩 的中位数 C.甲的成绩的P80等于乙的成绩的P80 D.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于A，由题图可得， ＝6， ＝6，所以二者相等，故A项错误； 对于B，甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B项正确； 对于C，甲的成绩的P80＝＝7.5，乙的成绩的P80＝＝7.5，所以二者相等，故C项正确； 对于D，甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，所以二者相等，故D项错误. 解析 13.(多选)某校组织全体学生参加知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组的取值区间均为左闭右开)，画出频率分布直方图(如图)，下列说法正确的是 A.在被抽取的学生中，成绩在区间[90，100) 内的学生有80人 B.图中x的值为0.020 C.估计全校学生成绩的中位数为87 D.估计全校学生成绩的P80＝95 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于A，由题图可知，成绩在区间[90，100)内的学生人数为200×0.040×10＝80，故A正确； 对于B，由(0.005＋0.010＋0.015＋x＋0.040)×10＝1，解得x＝0.030，故B错误； 对于C，设中位数为a，则(0.005＋0.010＋0.015)×10＋0.030(a－80)＝0.5，解得a≈87，故C正确； 对于D，低于90分的频率为1－0.4＝0.6，设样本数据的P80＝n，则解得n＝95，故D正确. 解析 14.已知互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4.若它们的和 为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的P75＝　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 这组数据的极差为a4－a1，中位数为 根据题意得a4－a1＝2×＝a2＋a3，即a4＝a1＋a2＋a3， 又它们的和为12，所以2a4＝12，解得a4＝6，a1＋a2＋a3＝6. 因为a1，a2，a3为正整数且互不相等，且＝2， 所以三个数a1，a2，a3的平均数即中位数a2＝2， 则得到a1＝1，a3＝3. 因为75%×4＝3，所以这4个数据的P75＝. 解析 第6章　 §6.4　用样本估计总体 <<< $