第5章 5.2.3 第1课时 诱导公式(一)（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦诱导公式一至四，通过“如何将任意角转化为锐角三角函数值”的问题导入，衔接已学的特殊角三角函数值，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于从单位圆终边对称性出发推导公式，以问题链引导学生推理，体现数学思维。通过多解法例题和“负化正、大化小”等步骤总结，培养数学语言表达，助力学生掌握方法，教师教学更高效。

第5章　 5.2.3　诱导公式 <<< 第1课时 诱导公式(一) 1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 学习目标 在前面的学习中，我们知道一些特殊的锐角以及特殊的0°~360°角的三角函数值，我们能否把任意角转化为0°~360°或者锐角的三角函数值呢？这是我们今天要学习的内容. 导 语 一、诱导公式一~四 二、利用公式进行化简 课时对点练 三、给值(式)求值 内容索引 诱导公式一~四 一 终边相同的角的三角函数值有何关系？ 问题1 提示　由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，即sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. 观察图象，思考我们是如何定义三角函数的？ 问题2 提示　三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等.由图象可知，点P1与P2关于原点对称，P1与P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，以OP2为终边的角β可以表示成β＝(π＋α)＋2kπ，k∈Z. 知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与角π＋α的三角函数值之间的关系吗？根据探究思路，再思考一下α与π－α，α与－α的关系？ 问题3 提示　设P1(x，y)，则P2(－x，－y)，根据三角函数的定义可知，y＝sin α， x＝cos αtan α(x≠0)，sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，tan(π＋α).所以sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 诱导公式一~四   终边关系 图示 公式 公式一 角α＋2kπ与角α的终边相同   sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ) ＝ cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z 公式二 角－α与角α的终边关于 轴对称   sin(－α)＝________， cos(－α)＝________， tan(－α)＝_______ －sin α cos α －tan α x 知识梳理   终边关系 图示 公式 公式三 角π＋α与角α的终边关于 对称   sin(π＋α)＝ ， cos(π＋α)＝________， tan(π＋α)＝_______ 公式四 角π－α与角α的终边关于 轴对称   sin(π－α)＝_______， cos(π－α)＝_________， tan(π－α)＝_______ －sin α －cos α tan α sin α －cos α －tan α 原点 y (1)函数名称不变. (2)运用公式时把α“看作”锐角来确定符号. (3)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠＋kπ，k∈Z. 注 意 点 <<< 11 (1)(课本例9)求下列各三角函数值： ①sin 81π； 例 1 sin 81π＝sin(40×2π＋π)＝sin π＝0； 解 12 ②tan 765°. tan 765°＝tan(2×360°＋45°)＝tan 45°＝1. 解 13 (2)(课本例10)求下列各三角函数值： ①sin； sin－sin －； 解 ②cos ； cos －cos －； 解 14 ③tan ； tan 1； 解 ④cos . cos＝cos＝cos＝cos. 解 15 求下列各三角函数式的值. (1)sin 1 320°； 例 1 方法一　sin 1 320°＝sin(240°＋3×360°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－. 方法二　sin 1 320°＝sin(－120°＋4×360°) ＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°) ＝－sin 60°＝－. 解 16 (2)cos； 方法一　coscos cos ＝cos－cos －. 方法二　coscos ＝cos－cos －. 解 17 (3)tan(－945°). tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°) ＝－tan 45°＝－1. 解 18 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或二来转化. (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”：用公式三或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 反 思 感 悟 19 (1)sin 750°＝　　　　；cos(－2 040°)＝　　　　；  跟踪训练 1 sin 750°＝sin(30°＋2×360°)＝sin 30°. cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(240°＋5×360°) ＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－. 解析 － 20 (2)sin ＋tan －cos　　　.  原式＝sin＋tan－cos ＝sin ＋tan－cos＝sin －tan ＋cos －1＋0. 解析 0 21 二 利用公式进行化简 　 (课本例11)化简：··. 例 2 原式＝··＝··＝－1. 解 23 化简：(1)； 例 2 原式1. 解 (2). 原式－1. 解 24 三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数. (3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan. 反 思 感 悟 25 化简：. 跟踪训练 2 原式·1. 解 26 给值(式)求值 三 已知cos则cos＝　　　　.  例 3 coscos＝－cos－. 解析 － 28 若本例中的条件不变，如何求cos？ 延伸探究 1 coscos＝cos＝cos. 解 29 若本例中的条件不变，求cos－sin2的值. 延伸探究 2 sin2sin2＝1－cos2＝1－ 所以cos－sin2－＝－. 解 30 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 反 思 感 悟 31 　(1)已知sin(π＋α)且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是 A.－ B. C.± D. 跟踪训练 3 由sin(π＋α)得sin α＝－ 因为α是第四象限角， 所以cos(α－2π)＝cos α. 解析 √ 32 (2)已知sin－且θ∈则cos　　　　.  coscos＝－cos ∵θ∈∴θ－∈∴cos>0， 即cos ∴cos－. 解析 － 33 1.知识清单： (1)特殊关系角的终边对称性. (2)诱导公式一~四及其应用. 2.方法归纳：公式法、角的构造. 3.常见误区：符号的确定. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D B A AD 题号 11 12 13 14 15 答案 C BD > － {0，1} 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)f(α)－cos α. (2)∵sin(α－π)＝－sin α ∴sin α＝－.又α是第三象限角，∴cos α＝－.∴f(α). (3)∵α＝－－6×2π＋ ∴f(α)＝f －cos＝－cos －cos －. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得sin Asin B， cos Acos B， 等式两边分别平方并相加得 2cos2A＝1，cos A＝± 又因为A∈(0，π)，所以A或. 当A时，cos B＝－<0，所以B∈ 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以A，B均为钝角，不符合题意，舍去. 所以Acos B 所以B所以C. 综上所述，ABC. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为角α的终边与单位圆交于第四象限内的点P(x0，y0)， 所以sin α＝y0，cos α＝x0，tan α1，y0<0， 由x0得y0＝－－ sin2(π－α)－sin(π＋α)cos(π－α)－2cos2(－α)＝sin2α－sin αcos α－2cos2α. 方法一　sin2α－sin αcos α－2cos2α－x0y0－2 ×－2×. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　tan α＝－2， sin2α－sin αcos α－2cos2α . 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)方法一　tan α＋ 因为sin α＋cos α ① 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α 即sin αcos α＝－ 所以tan α＋－ 由角α的终边在第四象限，得sin α<0，cos α>0， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以sin α－cos α＝－－－ ② 由①②得sin α＝－cos α 所以点P的坐标为. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　由角α的终边在第四象限，得sin α<0，cos α>0， 因为sin α＋cos α ① 且sin2α＋cos2α＝1， ② 所以由①②得sin α＝－cos α 所以tan α＋－－ 点P的坐标为. 基础巩固 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.sin 585°的值是 A.－ B. C. D.－ √ sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225° ＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的结果为 A.1 B.2sin2α C.0 D.2 √ 原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1 ＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若sin(π＋α)α∈则tan(3π－α)等于 A.－ B.－ C.－ D.－ √ ∵sin(π＋α)α∈ ∴sin α＝－cos α＝－－ tan α∴tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于 A. B.－ C. D.－ √ ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)＝－sin 70°＝a， ∴sin 70°＝－a， ∴cos 70° ∴tan 70°－. 解析 5.已知sin(－π－α)且α为第二象限角，则等于 A.－ B. C. D.－ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵sin(－π－α) ∴－sin(π＋α)∴sin α ∵α为第二象限角，∴cos α＝－ ∴cos α＝－. 解析 6.(多选)已知△ABC的内角A，B，C，下列式子中正确的有 A.sin(B＋C)＝sin A B.cos(B＋C)＝cos A C.tan(B＋C)＝tan A D.sin2A＋cos2(B＋C)＝1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A， sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确； cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B错误； tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－tan A，C错误； sin2A＋cos2(B＋C)＝sin2A＋cos2A＝1，D正确. 解析 7.计算：sincos 　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式＝－sincos ＝－sin·sin ·cos . 解析 8.　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －2 原式 －2. 解析 9.已知f(α). (1)化简f(α)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(α)－cos α. 解 (2)若α是第三象限角，且sin(α－π)求f(α)的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵sin(α－π)＝－sin α ∴sin α＝－.又α是第三象限角， ∴cos α＝－.∴f(α). 解 (3)若α＝－求f(α)的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵α＝－－6×2π＋ ∴f(α)＝f －cos＝－cos －cos －. 解 10.在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得sin Asin B， cos Acos B， 等式两边分别平方并相加得 2cos2A＝1，cos A＝± 又因为A∈(0，π)，所以A或. 当A时，cos B＝－<0，所以B∈ 所以A，B均为钝角，不符合题意，舍去. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以Acos B 所以B所以C. 综上所述，ABC. 解 11.已知sin且α∈则cos的值为 A. B.－ C. D.－ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵sinsin＝sin 且α∈ ∴－α∈ ∴cos. 解析 12.(多选)已知A(k∈Z)，则A的值是 A.－1 B.－2 C.1 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当k＝2n，n∈Z时， A2， 当k＝2n＋1，n∈Z时， A＝－2. 解析 13.比较大小：sin 570°　　　　cos 510°.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > sin 570°＝sin(360°＋210°)＝sin 210° ＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－ cos 510°＝cos(360°＋150°)＝cos 150° ＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－ ∵－>－∴sin 570°>cos 510°. 解析 14.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形， 由此我们可得sin 198°＝　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 － 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，在△ABC中，A＝36°，AB＝AC，点D为BC的中点，底与腰之比为黄金分割比， 所以∠BAD＝18° 所以sin∠BAD ·sin 18°， 所以sin 198°＝－sin 18°＝－. 解析 15.高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数f(x)＝[x]也被广泛应用于生活、生产的各个领域，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[3.65]＝3，[－1.27]＝－2.若函数f(k)(k∈Z)，则f(k)的值域为　　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {0，1} 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当k为偶数时，sinsin 所以f(k)1； 当k为奇数时，sin－sin 所以f(k)＝[0]＝0， 所以f(k)的值域为{0，1}. 解析 16.在平面直角坐标系xOy中，角α以x轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于第四象限内的点P(x0，y0). (1)若x0求sin2(π－α)－sin(π＋α)cos(π－α)－2cos2(－α)的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为角α的终边与单位圆交于第四象限内的点P(x0，y0)， 所以sin α＝y0，cos α＝x0，tan α1，y0<0， 由x0得y0＝－－ sin2(π－α)－sin(π＋α)cos(π－α)－2cos2(－α)＝sin2α－sin αcos α－2cos2α. 方法一　sin2α－sin αcos α－2cos2α－x0y0－2 ×－2×. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　tan α＝－2， sin2α－sin αcos α－2cos2α . 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若sin α＋cos α求tan α＋的值及点P的坐标. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　tan α＋ 因为sin α＋cos α ① 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α 即sin αcos α＝－ 所以tan α＋－ 由角α的终边在第四象限，得sin α<0，cos α>0， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以sin α－cos α＝－－－② 由①②得sin α＝－cos α 所以点P的坐标为. 方法二　由角α的终边在第四象限，得sin α<0，cos α>0， 因为sin α＋cos α ① 且sin2α＋cos2α＝1， ② 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以由①②得sin α＝－cos α 所以tan α＋－－ 点P的坐标为. 解 第5章　 5.2.3　诱导公式 <<< $