第4章 习题课 方程的根与函数的零点的应用（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦方程的根与函数零点的应用，核心知识点包括根据零点情况求参数范围和一元二次方程根的分布问题。课堂导入通过复习函数零点存在定理，衔接函数单调性等前置知识，搭建从基础到复杂问题的学习支架，帮助学生逐步掌握参数求解和根分布的分析方法。 其亮点在于以数形结合和分类讨论为核心方法，通过分段函数零点分析、二次方程根的区间分布等实例，培养学生的数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。反思感悟系统总结直接法、分离参数法等解题策略，课堂小结梳理知识清单与方法归纳，助力学生提升问题解决能力，也为教师提供结构化的教学资源和高效的教学思路。

习题课 方程的根与函数的零点的应用 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 <<< 1.进一步应用函数零点存在定理,已知零点(方程的解)的情况求参数范围. 2.掌握一元二次方程的根的分布情况. 学习目标 一、根据零点情况求参数 二、一元二次方程根的分布问题 课时对点练 内容索引 根据零点情况求参数 一 　 已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是 A. B. C. D. 例 1 √ 5 ∵f(x)在R上单调递减, ∴y＝x2＋(4a－3)x＋3a在(－∞,0)上单调递减, y＝loga(x＋1)＋1在[0,＋∞)上单调递减,且f(x)在(－∞,0)上的最小值大于或等于f(0). 即解得≤a≤ 作出函数y＝|f(x)|和y＝2－的草图如图所示. ∵|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解,∴3a<2,即a<故≤a<. 解析 6 已知函数有零点(方程有解)求参数的常用的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的解,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决. (3)数形结合法：先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解. 反 思 感 悟 7 　 若方程xlg(x＋2)＝1的实数解在区间(k,k＋1)(k∈Z)上,则k等于 A.－2 B.1 C.－2或1 D.0 跟踪训练 1 √ 由题意知,x≠0,则原方程即为lg(x＋2)＝在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝的图象,如图所示,由图象可知,原方程有两个解,一个在区间(－2,－1)上,一个在区间(1,2)上(由lg 3<1,lg 4>lg可得),所以k＝－2或k＝1. 解析 8 二 一元二次方程根的分布问题 　 已知关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0. (1)若方程有两个实根,且一个比2大,一个比2小,求实数m的取值范围； 例 2 设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6, f(x)的大致图象如图1所示, ∴f(2)<0,即4＋4(m－1)＋2m＋6<0,得m<－1, ∴实数m的取值范围为(－∞,－1). 解 10 (2)若方程有两个实根α,β,且满足0<α<1<β<4,求实数m的取值范围； f(x)的大致图象如图2所示, ∴ 解得－<m<－ ∴实数m的取值范围为. 解 11 (3)若方程至少有一个正根,求实数m的取值范围. 12 方程至少有一个正根,则有三种可能的情况, ①有两个正根,此时如图3,可得 即∴－3<m≤－1. 解 13 ②有一个正根,一个负根,此时如图4, 可得f(0)<0,得m<－3. ③有一个正根,另一根为0,此时如图5, 可得∴m＝－3. 综上所述,当方程至少有一个正根时,实数m的取值范围为(－∞,－1]. 解 14 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的分布问题 反 思 感 悟 根的分布(m,n,p为常数) 图象 满足条件 x1<x2<m   m<x1<x2   15 反 思 感 悟 根的分布(m,n,p为常数) 图象 满足条件 x1<m<x2   f(m)<0 m<x1<x2<n   16 反 思 感 悟 根的分布(m,n,p为常数) 图象 满足条件 m<x1<n<x2<p   x1,x2有且只有一个在(m,n)之间且f(m)·f(n)≠0   f(m)·f(n)<0 17 　已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0的两根分别在区间(0,1),(1,3)上,则 实数a的取值范围为　　　　.  跟踪训练 2 (0,1) 设函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a＋1), 由题意得即 解得0<a<1. 解析 18 1.知识清单： (1)根据零点情况求参数. (2)一元二次方程根的分布问题. 2.方法归纳：判别式法、数形结合法. 3.常见误区：不能把函数、方程问题相互灵活转化. 课堂小结 课时对点练 三 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C C A ABC (e,e2) (－1,1) 题号 11 12 13 14 15 答案 A AD B (0,1) B 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2, 因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个零点, 所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点, 画出函数y＝2|x|－x2的图象,如图所示, 观察图象可知,0<a－1<1,即1<a<2, 所以实数a的取值范围是(1,2). 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当m＝0时,f(x)＝4x－2x＋1 ＝(2x)2－2·2x＝2x(2x－2). 令f(x)＝0,可得2x＝2,即x＝1. ∴函数f(x)的零点是1. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)令2x＝t,显然t>0,则y＝t2－2t－m. ∵函数f(x)有两个零点,且t＝2x为单调函数, ∴方程t2－2t－m＝0在(0,＋∞)上有两个不相等的解, ∴ 解得－1<m<0. ∴实数m的取值范围是(－1,0). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)若函数有两个零点, 则方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根, 易知Δ>0,即4＋12(1－m)>0,解得m<. 由Δ＝0,解得m＝；由Δ<0,解得m>. 故当m<时,函数有两个零点； 当m＝时,函数有一个零点；当m>时,函数无零点. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由题意知0是方程－3x2＋2x－m＋1＝0的根, 故有1－m＝0,解得m＝1. (3)由题意可得即 解得m<－7, 故实数m的取值范围为(－∞,－7). 基础巩固 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.当|x|≤1时,函数f(x)＝ax＋2a＋1的值有正也有负,则实数a的取值范围是 A. B.(－∞,－1] C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |x|≤1⇒－1≤x≤1. 当a＝0时,f(x)＝1,函数值恒为正,不符合题意； 当a≠0时,要想函数f(x)＝ax＋2a＋1的值有正也有负, 只需f(1)·f(－1)<0, 即(a＋2a＋1)(－a＋2a＋1)＝(3a＋1)(a＋1)<0 ⇒－1<a<－. 综上所述,－1<a<－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.方程x＋log3x＝3的解为x0,若x0∈(n,n＋1),n∈N,则n等于 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 设f(x)＝x＋log3x－3, 则f(1)＝1＋log31－3＝－2<0, f(2)＝2＋log32－3＝log32－1<0, f(3)＝3＋log33－3＝1>0, 又易知f(x)为增函数,f(2)·f(3)<0, 所以方程x＋log3x＝3的解在(2,3)内,因此n＝2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知关于x的方程x2－kx＋k＋3＝0的两个不相等的实数根都大于2,则实数k的取值范围是 A.k>6 B.4<k<7 C.6<k<7 D.k<－2或k>6 √ ∵关于x的方程x2－kx＋k＋3＝0的两个不相等的实数根都大于2, ∴解得6<k<7. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若函数f(x)＝(其中a>0,a≠1)存在零点,则实数a的取值范围是 A.∪(1,3) B.(1,3] C.(2,3) D.(2,3] √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由函数的解析式可知a>2, 因为指数函数y＝ax单调递增,在区间(2,a]上无零点, 所以函数y＝loga(x－2)在区间(a,＋∞)上存在零点, 由于y＝loga(x－2)单调递增, 故当x＝a时,有loga(a－2)<0＝loga1, 从而a－2<1⇒a<3, 所以实数a的取值范围是(2,3). 解析 5.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1,另一个大于2,则a的取值范围是 A.(0,3) B.[0,3] C.(－3,0) D.(－∞,1)∪(3,＋∞) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为方程－x2＋ax＋4＝0有两根,一个大于2,另一个小于－1, 所以函数 f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点,一个大于2,另一个小于－1,由二次函数的图象可知, 即 解得0<a<3. 解析 6.(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1,x2,则 A.a<1 B.若x1x2≠0,则 C.f(－1)＝f(3) D.函数y＝f(|x|)有四个零点 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点, 则对于方程x2－2x＋a＝0,Δ>0, 即4－4a>0,解得a<1,故A正确； 因为x1＋x2＝2,x1x2＝a, 所以故B正确； 因为f(－1)＝1＋2＋a＝3＋a, f(3)＝9－6＋a＝3＋a, 所以f(－1)＝f(3),故C正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由选项A知a<1, 当0<a<1时,y＝f(|x|)有四个零点, 当a＝0时,y＝f(|x|)有三个零点, 当a<0时,y＝f(|x|)有两个零点,故D错误. 解析 7.已知函数f(x)＝若正实数a,b,c互不相等,且f(a)＝f(b)＝f(c),则abc的取值范围为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (e,e2) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出f(x)的图象如图所示, ∵正实数a,b,c互不相等,且f(a)＝f(b)＝f(c), 不妨设a<b<c, 则由图象可得0<a<1<b<e<c<e2, 且－ln a＝ln b,则可得ab＝1, ∴abc＝c∈(e,e2). 解析 8.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有三个零点,则k的取值范围是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－1,1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令g(x)＝f(x)－k＝0,可得f(x)＝k, 作出y＝f(x)的图象,如图, 由图可知,当y＝k与y＝f(x)的图象有三个不同 的交点时,－1<k<1, 所以k的取值范围是(－1,1). 解析 9.已知函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个零点,求实数a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2, 因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个零点, 所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点, 画出函数y＝2|x|－x2的图象,如图所示, 观察图象可知,0<a－1<1,即1<a<2, 所以实数a的取值范围是(1,2). 解 10.已知函数f(x)＝4x－2x＋1－m. (1)当m＝0时,求函数f(x)的零点； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m＝0时,f(x)＝4x－2x＋1 ＝(2x)2－2·2x＝2x(2x－2). 令f(x)＝0,可得2x＝2,即x＝1. ∴函数f(x)的零点是1. 解 (2)若函数f(x)有两个零点,求实数m的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令2x＝t,显然t>0,则y＝t2－2t－m. ∵函数f(x)有两个零点,且t＝2x为单调函数, ∴方程t2－2t－m＝0在(0,＋∞)上有两个不相等的解, ∴ 解得－1<m<0.∴实数m的取值范围是(－1,0). 解 11.设x1,x2,x3均为实数,且＝log2(x1＋1)＝log3x2＝log2x3,则 A.x1<x3<x2 B.x3<x2<x1 C.x1<x2<x3 D.x3<x1<x2 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示,由图象可知,x1<x3<x2. 解析 12.(多选)已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c在(0,2)上有两个零点.下列说法正确的有 A.f(0)>0且f(2)>0 B.f(1)<0 C.f(0)·f(2)>1 D.f(0)和f(2)中至少有一个小于1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 不妨设二次函数f(x)＝x2＋bx＋c在(0,2)上的两个零点为x1,x2,且x1<x2, 所以故A正确； 当x1,x2∈(0,1)时,f(1)>0,故B错误； 若x1＝1,x2＝则f(x)＝(x－1)＝x2－x＋ 此时f(0)＝f(2)＝则f(0)·f(2)＝<1,故C错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　当f(1)＝1＋b＋c<0时,4＋2b＋2c<2,即f(0)＋f(2)<2, 所以f(0)和f(2)中至少有一个小于1； 当f(1)＝1＋b＋c≥0时,－∈(0,1)或(1,2), 若－∈(0,1),则f(0)＝c<<1, 若－∈(1,2),则f(2)＝4＋2b＋c<4＋2b＋<1,故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　若f(0)≥1,f(2)≥1,即c≥1,4＋2b＋c≥1, 由Δ＝b2－4c>0,得b2>4c≥4, 则b<－2或b>2,结合0<－<2, 得－4<b<－2, 则f(2)＝4＋2b＋c<4＋2b＋<1, 这与f(2)≥1矛盾,故f(0)和f(2)至少有一个小于1,故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.对实数a,b,定义运算“*”：a*b＝设函数f(x)＝(x2＋1)* (x＋2),若函数y＝f(x)－c有两个零点,则实数c的取值范围是 A.(2,4)∪(5,＋∞) B.(1,2]∪(4,5] C.(－∞,1)∪(4,5] D.[1,2] 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知, 当(x2＋1)－(x＋2)≤1, 即－1≤x≤2时,f(x)＝x2＋1； 当(x2＋1)－(x＋2)>1, 即x<－1或x>2时,f(x)＝x＋2.∴f(x)＝ ∵函数y＝f(x)－c有两个零点, ∴函数y＝f(x)的图象与函数y＝c的图象有两个交点. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出函数y＝f(x)的图象,如图所示. 由图可知,当c∈(1,2]∪(4,5]时,函数y＝f(x)－c有两个零点. 解析 14.已知函数f(x)＝若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)＝f(x2),则实数a的取值范围是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (0,1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)＝f(x2),故函数不是单调函数, 又y＝x＋1与y＝2x交于(0,1)和(1,2)点,画出图象如图所示, 由图可知,当0<a<1时,满足题意. 即实数a的取值范围是(0,1). 解析 15.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2＋3f(x)＋m(m∈R)有三个零点,则m的取值范围为 A.m< B.m≤－28 C.－28≤m< D.m>28 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出函数f(x)的大致图象如图所示. 设t＝f(x),则由图象知, 当t≥4时,t＝f(x)有两个根, 当t<4时,t＝f(x)只有一个根. 函数g(x)＝[f(x)]2＋3f(x)＋m(m∈R)有三个零点, 等价于函数g(x)＝h(t)＝t2＋3t＋m有两个零点t1,t2, 其中t1<4,t2≥4,则满足解得即m≤－28. 解析 16.已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1. (1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若函数有两个零点, 则方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根, 易知Δ>0,即4＋12(1－m)>0,解得m<. 由Δ＝0,解得m＝；由Δ<0,解得m>. 故当m<时,函数有两个零点； 当m＝时,函数有一个零点； 当m>时,函数无零点. 解 (2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知0是方程－3x2＋2x－m＋1＝0的根, 故有1－m＝0,解得m＝1. 解 (3)若f(x)＝0有两个根,且一个根大于2,一个根小于2,求实数m的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得即 解得m<－7, 故实数m的取值范围为(－∞,－7). 解 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 <<< $