第4章 4.3.1 对数的概念（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦对数的概念、指数式与对数式互化、基本恒等式及计算，通过阅读“数学文化”导入，结合指数方程求解需求，建立指数与对数的互逆关系，搭建从指数到对数的学习支架。 其亮点是以问题驱动培养数学眼光，通过例题和跟踪训练强化逻辑推理的数学思维，用符号转化和恒等式应用提升数学语言表达。如分析对数式有意义条件、归纳互化思路，课堂小结梳理知识清单与方法，帮助学生构建知识体系，培养转化能力，为教师提供系统教学资源，便于实施分层教学。

第4章　 §4.3　对数函数 <<< 4.3.1 对数的概念 1.了解对数的概念. 2.会进行对数式与指数式的互化. 3.会求简单的对数值. 学习目标 大家阅读课本127页的“数学文化”(大约3分钟),可以发现,对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的.经过不断发展,人们发现,对数与指数存在互逆的关系,然而更有意思的是“对数源出于指数”,而对数的发明却先于指数,对数用来解决指数所不能解决的问题,让我们一起来发现对数与指数的关系吧！ 导 语 一、对数的概念 二、指数式与对数式的互化 课时对点练 三、对数的基本恒等式 内容索引 四、对数的计算 对数的概念 一 我们知道若2x＝4,则x＝2；若3x＝81,则x＝4；若＝128,则x＝－7等等这些方程,我们可以轻松求出x的值,但对于2x＝3,1.11x＝2,10x＝5等这样的指数方程,你能求出方程的解吗？ 问题1 提示　用指数方程不能解决上述方程,为了解决这个问题,早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案,那就是发现了指数与对数的互逆关系,用对数来表示指数方程的解. 对数的定义：如果ab＝N(a>0且a≠1,N>0),那么b叫作以a为底,正数N的对数,记作　　　　　.这里,a叫作对数的　　　,N叫作对数的　　　. b＝logaN 底数 真数 知识梳理 (1)对数是由指数转化而来,则底数a、指数或对数b、幂或真数N的范围不变,只是位置和名称发生了变换. (2)logaN的读法：以a为底N的对数. 注 意 点 <<< 8 　　　 (1)若对数式log(t－2)3有意义,则实数t的取值范围是 A.[2,＋∞) B.(2,3)∪(3,＋∞) C.(－∞,2) D.(2,＋∞) 例 1 √ 要使对数式log(t－2)3有意义, 需 解得t>2,且t≠3. 所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3,＋∞). 解析 9 (2)使对数log2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为 A. B. C. D. √ 由－2x＋1>0得x<. 解析 10 关于对数式的范围 利用式子logab⇒求字母的范围. 反 思 感 悟 11 　　　　 　在M＝log(x－3)(x＋1)中,要使式子有意义,则x的取值范围为 A.(－∞,3] B.(3,4)∪(4,＋∞) C.(4,＋∞) D.(3,4) 跟踪训练 1 √ 由对数的概念可得 解得3<x<4或x>4. 解析 12 二 指数式与对数式的互化 　 (课本例1)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)23＝8；(2)105＝100 000；(3)3x＝7；(4)log232＝5；(5)log3＝－3；(6)logxb＝2. 例 2 (1)log28＝3； (2)log10100 000＝5； (3)log37＝x； (4)25＝32； (5)3－3＝； (6)x2＝b(x>0且x≠1). 解 14 　将下列指数式与对数式互化： (1)log216＝4； 例 2 24＝16. 解 (2)lo27＝－3； ＝27. 解 15 (3)log5100≈4.606； 54.606≈100. 解 (4)43＝64； log464＝3. 解 16 (5)3－2＝； log3＝－2. 解 (6)10－3＝0.001. log100.001＝－3. 解 17 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 反 思 感 悟 18 　下列指数式与对数式互化不正确的一组是 A.100＝1与log101＝0 B.2与log27＝－ C.log39＝与＝3 D.log55＝1与51＝5 跟踪训练 2 因为＝3化为对数式应为log93＝故C不正确. 解析 √ 19 对数的基本恒等式 三 你能把20＝1,21＝2,log2x＝log2x,2x＝2x化成对数式或指数式吗？ 问题2 提示　log21＝0；log22＝1；＝x；x＝log22x. 对数的性质 (1)对数的基本恒等式：＝N(N>0,a>0且a≠1),b＝logaab(b∈R,a>0且a≠1). (2)logaa＝ (a>0且a≠1). (3)loga1＝ (a>0且a≠1). 1 0 知识梳理 　 (课本例2)求下列各式的值： (1)log2； 例 3 log2＝log22－1＝－1. 解 (2)log0.61； log0.61＝log0.60.60＝0. 解 23 (3)； ·2－2＝. 解 (4). ＝5. 解 24 　　 　求下列各式的值： (1)log981＝　　；  例 3 2 log981＝log992＝2. 解析 (2)log0.41＝　　；  log0.41＝log0.40.40＝0. 解析 0 25 (3)＝　　　.  ·3－2＝. 解析 26 利用对数恒等式求解的方法 首先利用指数的运算性质变形,变形为或logaab的形式,再利用对数恒等式计算求值. 反 思 感 悟 27 　求下列各式的值： (1)log28； 跟踪训练 3 log28＝log223＝3. 解 (2)log91； log91＝0. 解 28 (3)； ＝5. 解 (4). ·91＝(32×9 ＝()2×9＝72×9＝441. 解 29 对数的计算 四 　　　 (1)求下列各式中x的值. ①log27x＝－； 例 4 由log27x＝－ 得x＝2 ＝3－2＝. 解 31 ②logx16＝－4. 由logx16＝－4,得x－4＝16, 即x4＝ 又x>0,且x≠1,∴x＝. 解 32 (2)求下列各式中x的值： ①log2(log5x)＝0； ∵log2(log5x)＝0,∴log5x＝20＝1, ∴x＝51＝5. 解 33 ②log3(log10x)＝1； ∵log3(log10x)＝1,∴log10x＝31＝3, ∴x＝103＝1 000. 解 ③x＝. x＝＝7÷＝7÷5＝. 解 34 (1)对数式中求值的方法 ①将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算. (2)利用对数的性质求值的方法 ①求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1),进行变形求解,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算. ②已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log ”后再求解. 反 思 感 悟 35 　　　　　 求下列各式中x的值. (1)lox＝－3； 跟踪训练 4 x＝＝27. 解 (2)logx49＝4； 由x4＝49,x>0且x≠1,得x＝. 解 36 (3)log8[log7(log2x)]＝0； 由log8[log7(log2x)]＝0, 得log7(log2x)＝1,即log2x＝7,∴x＝27. 解 (4)log2[log3(log2x)]＝1. 由log2[log3(log2x)]＝1, 得log3(log2x)＝2,∴log2x＝9,∴x＝29. 解 37 1.知识清单： (1)对数的概念. (2)指数式与对数式的互化. (3)对数的基本恒等式. (4)对数的计算. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围. 课堂小结 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D B B AB 题号 11 12 13 14 15 答案 B BCD B A 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)log3243＝5. (2)log2＝－5. (3)＝81. (4)27＝128. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵lox＝m,∴＝x,x2＝. ∵loy＝m＋2,∴＝y,y＝. ∴＝16. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由log2[lo(log2x)]＝0, 得lo(log2x)＝1,log2x＝即x＝. 同理y＝z＝. ∵y＝x＝∴y>x. 又x＝＝3z＝＝2 ∴x>z,∴y>x>z. 基础巩固 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为 A.a>且a≠1 B.0<a< C.a>0且a≠1 D.a< √ 由题意知解得0<a<. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知logx16＝2,则x等于 A.4 B.±4 C.256 D.2 √ 由logx16＝2,得x2＝16＝(±4)2, 又x>0,且x≠1,∴x＝4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若log3(x－2)＝2y－3＝1,则x＋y的值为 A.2 B.3 C.5 D.8 √ 由log3(x－2)＝1,得x－2＝3,解得x＝5,由2y－3＝1,得y－3＝0,解得y＝3, 所以x＋y＝8. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.化简－2－log10 0.01＋log223等于 A.14 B.0 C.1 D.6 √ 原式＝4－(33－log10＋3 ＝4－32－(－2)＋3＝0. 解析 5.对于a>0且a≠1,下列说法正确的是 A.若M＝N,则logaM＝logaN B.若logaM＝logaN,则M＝N C.若logaM2＝logaN2,则M＝N D.若M＝N,则logaM2＝logaN2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A中,当M,N小于或等于0时,logaM＝logaN不成立； B正确； C中,M与N也可能互为相反数； D中,当M＝N＝0时等式不成立. 解析 6.(多选)下列命题正确的是 A.若lox＝3,则x＝2 B.若logx＝－则x＝64 C.若则x＝4 D.若lob2＝1,则a＝b √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由lox＝3,得x＝()3＝2则A正确； 由logx＝－得＝2－4,又(＝x,所以x＝(2－4＝26＝64,则B正确； 由3－2＝得log3＝－2,所以x－2＝即x＝2或x＝－2, 则C不正确； D中,a,b可能互为相反数,则D不正确. 解析 7.若a＝log23,则2a＋2－a＝　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a＝log23,∴2a＝＝3, ∴2a＋2－a＝2a＋＝3＋. 解析 8.若log7[log3(lox)]＝0,则x＝　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得log3(lox)＝1, ∴lox＝3,∴x＝. 解析 9.将下列指数式与对数式互化： (1)35＝243； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 log3243＝5. 解 (2)2－5＝； log2＝－5. 解 (3)lo81＝－4； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝81. 解 (4)log2128＝7. 27＝128. 解 10.若lox＝m,loy＝m＋2,求的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵lox＝m,∴＝x,x2＝. ∵loy＝m＋2,∴＝y,y＝. ∴＝16. 解 11.设f(log2x)＝2x(x>0),则f(2)的值是 A.128 B.16 C.8 D.256 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 令log2x＝2,可得x＝4, 所以f(2)＝24＝16. 解析 12.(多选)已知集合A＝{1,2,4,8},集合B＝{0,1,2,3,4,6,8,16},下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是 A.y＝2x B.y＝|x－2| C.y＝log2x D.y＝2x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A＝{1,2,4,8},B＝{0,1,2,3,4,6,8,16}, 当x＝1时,21＝2∈B,|1－2|＝1∈B,log21＝0∈B,2×1＝2∈B； 当x＝2时,22＝4∈B,|2－2|＝0∈B,log22＝1∈B,2×2＝4∈B； 当x＝4时,24＝16∈B,|4－2|＝2∈B,log24＝2∈B,2×4＝8∈B； 当x＝8时,28＝256∉B,|8－2|＝6∈B,log28＝3∈B,2×8＝16∈B, 所以y＝2x不能建立从集合A到集合B的函数关系,A错误； y＝|x－2|,y＝log2x,y＝2x可以建立从集合A到集合B的函数关系,B,C,D正确. 解析 13.若a>0则loa等于 A.2 　　B.3 　　　C.4 　　　D.5 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a>0, 所以a＝ 设loa＝x,所以＝a, 所以x＝3. 解析 √ 14.若a＝log102,b＝log103,则10的值为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a＝log102,∴10a＝2. ∵b＝log103,∴10b＝3. ∴10. 解析 15.已知正实数a,b满足ba＝4,且a＋log2b＝3,则a＋2b的值可以为 A.6或9 B.7或8 C.6 D.8 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a＋log2b＝3,所以log2b＝3－a, 所以b＝23－a, 所以ba＝(23－a)a＝＝4＝22, 所以－a2＋3a＝2,即a2－3a＋2＝0,解得a＝1或a＝2, 当a＝1时,b＝4,则a＋2b＝9；当a＝2时,b＝2,则a＋2b＝6. 解析 16.若log2[lo(log2x)]＝log3[lo(log3y)]＝log5[lo(log5z)]＝0,试确定x,y,z的大小关系. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由log2[lo(log2x)]＝0, 得lo(log2x)＝1,log2x＝即x＝. 同理y＝z＝. ∵y＝x＝ ∴y>x. 又x＝＝3z＝＝2 ∴x>z,∴y>x>z. 解 第4章　 §4.3　对数函数 <<< $