第3章 3.2.1 第1课时 函数的单调性与最值（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦函数的单调性与最值，通过科考队沙漠气温变化曲线导入，引导学生直观感知函数图象变化规律，再经定义梳理、证明步骤讲解及应用实例分析，构建从直观到抽象的知识支架，衔接前后认知。 其亮点在于结合现实情境培养数学眼光，通过定义证明的严谨步骤训练数学思维，以符号语言和分段函数、参数范围等例题提升数学表达能力。学生能深化理解，教师可借助清晰结构高效教学，助力核心素养发展。

第1课时 函数的单调性与最值 第3章　3.2.1　函数的单调性与最值 <<< 1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念. 2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念. 3.能运用定义法证明函数的单调性. 4.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 学习目标 科考队对沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线： 导 语 请你根据曲线图说说气温的变化情况？ 一、函数的最大(小)值 二、直观感知函数的单调性 课时对点练 三、利用定义证明函数的单调性 内容索引 四、函数单调性的简单应用 函数的最大(小)值 一 如图所示是函数y＝－x2－2x,y＝－2x＋1(x∈[－1,＋∞)),y＝f(x)的图象.观察并描述这三个图象的共同特征. 问题1 提示　函数y＝－x2－2x的图象有最高点A,函数y＝－2x＋1,x∈[－1,＋∞)的图象有最高点B,函数y＝f(x)的图象有最高点C,也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点. 你是怎样理解函数图象最高点的？ 问题2 提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值. 函数的最大(小)值 设D是函数f(x)的定义域,I是D的一个非空子集. (1)如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a),称M为f(x)的　　　　,a为f(x)的　　　　　. (2)如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=b处取到最小值m=f(b)，称m为f(x)的 ，b为f(x)的 . 最大值 最大值点 最小值 最小值点 知识梳理 (1)最大(小)值的几何意义：函数图象最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值,比如y＝x,x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值. (4)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M),那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)＝M时,M才是函数的最大(小)值,否则不是.比如f(x)＝－x2≤3成立,但3不是f(x)的最大值,0才是它的最大值. 注 意 点 <<< 9 　　　 已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值. 例 1 作出函数f(x)的图象,如图所示. 由图象可知,当x＝±1时, f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1. 当x＝0时,f(x)取最小值为f(0)＝0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0. 解 10 图象法求函数最值的一般步骤 反 思 感 悟 11 　　　　 　已知函数f(x)＝ 求函数f(x)的最大值、最小值. 跟踪训练 1 作出函数f(x)的图象如图所示. 由图象可知,当x＝2时,f(x)取最大值为2； 当x＝时,f(x)取最小值为－. 所以f(x)的最大值为2,最小值为－. 解 12 二 直观感知函数的单调性 观察下面三个函数图象,他们的图象有什么变化规律？ 问题3 提示　函数y＝x的图象从左向右看是上升的；函数y＝x2的图象从左向右看在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图象从左向右看在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的. 如何理解函数图象是上升的？ 问题4 提示　按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大. 1.函数的单调性 f(x1)<f(x2) f(x1)> f(x2) 增函数 减函数 知识梳理 2.单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)　　　　,区间I叫作y＝f(x)的　　　　　. 单调性 单调区间 (1)区间I可以是整个定义域D,也可以是定义域的真子集,即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性,即x1,x2∈I. (3)任意性,即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性,即要规定x1,x2的大小. (5)“单调递增(递减)”“x1,x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一. 注 意 点 <<< 18 　已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3,x∈R.根据图象写出它的单调区间. 例 2 f(x)＝x2－4|x|＋3 ＝ 函数图象如图所示. 由图象可知,函数的单调递增区间为[－2,0),[2,＋∞),单调递减区间为 (－∞,－2),[0,2). 解 19 (1)求函数单调区间时,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,可根据其单调性写出函数的单调区间,若函数不是上述函数且函数图象容易作出,可作出其图象,根据图象写出其单调区间. (2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”或“,”连接. 反 思 感 悟 20 　画出函数y＝|x|(x－2)的图象,并指出函数的单调区间. 跟踪训练 2 y＝|x|(x－2)＝ 函数的图象如图实线部分所示. 由函数的图象知,函数的单调递增区间为(－∞,0]和 [1,＋∞),单调递减区间为(0,1). 解 21 利用定义证明函数的单调性 三 　　　 (课本例1)已知函数f(x)＝3x＋b(x∈R)，判断该函数的单调性. 例 3 设x1和x2是定义域R上任意两个实数，且x1<x2，则x2－x1>0， f(x2)－f(x1)＝(3x2＋b)－(3x1＋b)＝3(x2－x1)>0. 于是f(x2)>f(x1). 由函数单调性的定义可知，函数f(x)是R上的增函数. 解 23 　　　证明函数f(x)＝在区间(2,＋∞)上单调递减. 例 3 24 ∀x1,x2∈(2,＋∞),且x1<x2, f(x1)－f(x2)＝ ＝. 因为2<x1<x2, 所以x2－x1>0,x1＋x2>0>4>4, 所以f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)＝在(2,＋∞)上单调递减. 证明 25 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2； (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的关系式； (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号,当符号不确定时,进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 反 思 感 悟 26 　求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞,0)上单调递增. 跟踪训练 3 27 ∀x1,x2∈(－∞,0),且x1<x2, 因为f(x1)－f(x2)＝－－1－ ＝ 由题设可得,x1－x2<0,x1x2>0, 所以f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函数f(x)＝－－1在区间(－∞,0)上单调递增. 证明 28 函数单调性的简单应用 四 　　　 (1)(课本例3)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞,4)上单调递减,求实数a的取值范围. 例 4 因为二次函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的图象的对称轴为直线x＝1－a,且开口向上,所以函数f(x)在区间(－∞,1－a]上单调递减. 又已知该函数在区间(－∞,4)上单调递减,则1－a≥4,即a≤－3. 故实数a的取值范围为(－∞,－3]. 解 30 　　　 (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　　.  例 4 函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间为(－∞,－a－1], 由f(x)在(－∞,3]上单调递增知3≤－a－1, 解得a≤－4,即实数a的取值范围为(－∞,－4]. 解析 (－∞,－4] 31 (2)已知函数y＝f(x)是(－∞,＋∞)上的增函数,且f(2x－3)>f(5x－6),则实数x的取值范围为　　　 　.  ∵f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数, 且f(2x－3)>f(5x－6), ∴2x－3>5x－6,即x<1. ∴实数x的取值范围为(－∞,1). 解析 (－∞,1) 32 (3)若函数f(x)＝是定义在R上的减函数,则a的取值范围为 A. B. C. D.∪ √ 33 因为f(x)是定义在R上的减函数, 所以 解得≤a<. 解析 34 　　　　　 在本例(1)中,若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞,3],则实数a的值为　　　　.  延伸探究 1 －4 函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞,－a－1], 由题意得－a－1＝3,a＝－4. 解析 35 　　　　　 若本例(2)的函数f(x)是定义在(0,＋∞)上的减函数,求x的取值范围. 延伸探究 2 由题意可知解得x> ∴x的取值范围为. 解 36 　　　　　若本例(3)改为函数f(x)＝(t>0)是增函数,则实数t的取值范围是 A.{1} B.(0,＋∞) C.(1,＋∞) D.[1,＋∞) 延伸探究 3 √ 因为f(x)＝(t>0)是增函数, 所以所以t≥1. 解析 37 由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件； 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性； 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合,探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时,若要解不等式,可以依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”去掉,列出关于自变量的不等式(组),然后求解,此时要注意函数的定义域. 反 思 感 悟 38 1.知识清单： (1)函数的最值. (2)增函数、减函数的定义. (3)函数的单调区间. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区： (1)函数的单调区间不能用并集. (2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域. 课堂小结 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C D D ABC 4 题号 11 12 13 14 15 答案 D C [－3,0] (3,4] (－∞,－2)∪(1,＋∞) 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)函数图象如图所示, f(x)的单调递增区间为[－2,＋∞), 单调递减区间为(－∞,－2). (2)函数图象如图所示, f(x)的单调递增区间为和[2,＋∞), 单调递减区间为(－∞,1)和. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 任取x1,x2∈(－1,＋∞),且x1<x2, 则f(x1)－f(x2)＝＝. ∵x2>x1>－1, ∴x2－x1>0,(x1＋1)(x2＋1)>0, 因此f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在(－1,＋∞)上单调递减. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)令t＝＝2＋≠2,则x＝ 则f(t)＝所以f(x)＝x≠2. (2)因为1－x2≤1,－1－|x|≤－1, f(x)＝＝2＋在(－∞,2)上单调递减, 若f(1－x2)<f(－1－|x|),则1－x2>－1－|x|,即x2－|x|－2<0, 则或解得0≤x<2或－2<x<0, 所以不等式f(1－x2)<f(－1－|x|)的解集为(－2,2). 基础巩固 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示,则函数f(x)的最小值、最大值分别是 A.f(－2),0 B.0,2 C.f(－2),2 D.f(2),2 √ 由图象可知,函数f(x)的最小值是f(－2),最大值是2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增,则对实数a>0,b>0,“a>b”是“f(a)>f(b)”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增,且a>0,b>0, 由增函数的定义可知,当a>b时,有f(a)>f(b), 充分性成立；当f(a)>f(b)时,若a＝b,由函数定义可知矛盾, 若a<b,由函数单调性的定义可知矛盾,则a>b,必要性成立. 即对实数a>0,b>0,“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.函数f(x)＝|x|,g(x)＝x(2－x)的单调递增区间分别是 A.(－∞,0],(－∞,1] B.(－∞,0],(1,＋∞) C.[0,＋∞),(－∞,1] D.[0,＋∞),[1,＋∞) √ 分别作出f(x)与g(x)的图象(图略),得f(x)在[0,＋∞)上单调递增,g(x)在 (－∞,1]上单调递增. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知定义域为R的函数f(x)在(4,＋∞)上单调递减,且函数y＝f(x)的对称轴为x＝4,则 A.f(2)>f(3) B.f(2)>f(5) C.f(3)>f(5) D.f(3)>f(6) √ ∵f(x)关于x＝4对称且在(4,＋∞)上单调递减, ∴f(x)在(－∞,4)上单调递增,且f(5)＝f(3),f(6)＝f(2),∴f(3)>f(2)＝f(6). 解析 5.已知函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞,5]上具有单调性,则实数k的取值范围是 A.(－24,40) B.[－24,40] C.(－∞,－24] D.[40,＋∞) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵函数f(x)＝4x2－kx－8的图象的对称轴方程为x＝且函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞,5]上具有单调性, ∴根据二次函数的性质可知≥5,解得k≥40,则k的取值范围为[40,＋∞). 解析 6.(多选)下列函数中,满足“∀x1,x2∈(－∞,0),都有>0”的有 A.f(x)＝－ B.f(x)＝x C.f(x)＝－x2 D.f(x)＝1－x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 由题意知,所求函数需满足在(－∞,0)上单调递增,由函数的图象知f(x)＝－f(x)＝x,f(x)＝－x2 在(－∞,0)上单调递增,故ABC满足题意. 解析 7.函数y＝|x2－2x－3|在x∈[－1,3]上的最大值为　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|, 作出该函数的图象,如图所示. 由图象可知, 当x＝1时,ymax＝|－4|＝4. 解析 8.已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数,且f(1－a)<f(2a－1),则实数a 的取值范围为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知解得0<a<即所求a的取值范围是. 解析 9.画出下列函数的图象,并写出它的单调区间. (1)f(x)＝|x＋2|； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数图象如图所示, f(x)的单调递增区间为[－2,＋∞), 单调递减区间为(－∞,－2). 解 (2)f(x)＝|x2－3x＋2|. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数图象如图所示, f(x)的单调递增区间为和[2,＋∞), 单调递减区间为(－∞,1)和. 解 10.已知函数f(x)＝证明：函数f(x)在(－1,＋∞)上单调递减. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 任取x1,x2∈(－1,＋∞),且x1<x2, 则f(x1)－f(x2)＝ ＝. ∵x2>x1>－1, ∴x2－x1>0,(x1＋1)(x2＋1)>0, 因此f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在(－1,＋∞)上单调递减. 证明 11.已知函数f(x)＝在(－∞,＋∞)上是增函数,则实数a的取值范围是 A.(－∞,－2] B.[－2,0) C.[－3,0) D.[－3,－2] 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于函数f(x)＝在(－∞,＋∞)上是增函数, 因此函数h(x)＝－x2－ax－5在区间(－∞,1]上单调递增, g(x)＝在区间(1,＋∞)上单调递增, 且g(1)≥h(1),即 解得－3≤a≤－2,即实数a的取值范围是[－3,－2]. 解析 12.函数y＝1－的单调递增区间是 A. B.(－∞,3] C. D.[3,＋∞) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由－x2＋6x≥0,解得0≤x≤6, 所以函数y＝1－的定义域为 令t＝－x2＋6x,其图象是开口向下的抛物线,对称轴方程为x＝－＝3, 该函数在上单调递减, 则函数y＝1－的单调递增区间是. 解析 13.若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1,＋∞)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [－3,0] 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①当a＝0时,f(x)＝－3x＋1在R上单调递减,满足条件； ②当a≠0时,f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1, 对称轴为x＝－ ∴ 解得－3≤a<0. 由①②得－3≤a≤0,故a的取值范围是[－3,0]. 解析 14.已知f(x)是定义在区间(0,＋∞)上的增函数,且f ＝f(x)－f(y),f(2)＝1,如果x满足f(x)－f ≤2,则x的取值范围为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3,4] 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在f ＝f(x)－f(y)中, 令x＝4,y＝2,则f(2)＝f(4)－f(2),则f(4)＝2, 由f(x)－f ≤2可得,f(x(x－3))≤f(4), 因为f(x)是定义在区间(0,＋∞)上的增函数, 所以解得3<x≤4. 则x的取值范围为(3,4]. 解析 15.已知函数y＝f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立.若f(x2－2)＋f(x)<0,则x的取值范围为 　 　　 　　. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－∞,－2)∪(1,＋∞) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设x1<x2,则x2－x1>0, 当x>0时,f(x)<0恒成立,则f(x2－x1)<0, ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)<0,即f(x2)<f(x1), ∴函数y＝f(x)是R上的减函数. 易知f(0)＝2f(0),则f(0)＝0. f(x2－2)＋f(x)<0⇔f(x2－2＋x)<f(0), ∴x2＋x－2>0,解得x>1或x<－2, 故x的取值范围是(－∞,－2)∪(1,＋∞). 解析 16.已知f(x)满足f ＝x. (1)求f(x)的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令t＝＝2＋≠2,则x＝ 则f(t)＝所以f(x)＝x≠2. 解 (2)解不等式f(1－x2)<f(－1－|x|). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为1－x2≤1,－1－|x|≤－1, f(x)＝＝2＋在(－∞,2)上单调递减, 若f(1－x2)<f(－1－|x|),则1－x2>－1－|x|,即x2－|x|－2<0, 则或解得0≤x<2或－2<x<0, 所以不等式f(1－x2)<f(－1－|x|)的解集为(－2,2). 解 第3章　3.2.1　函数的单调性与最值 <<< $