第2章 周末练5 范围：§2.2～§2.3（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

这是一份高中数学周测资料“周末练5”，范围为§2.2~§2.3，共37页，包含单选、多选、填空、解答四种题型，覆盖一元二次函数、方程和不等式的核心知识点，解析详细，如第13题含参数不等式求解、第14题实际应用问题的分步推导，为学生提供学习支架。 资料特色突出，融合数学核心素养，通过第14题无人机企业工资调整问题引导学生用数学眼光观察现实，第12题函数恒成立问题的分类讨论培养数学思维，规范的符号表达和逻辑推导强化数学语言。题型多样且梯度合理，能帮助学生巩固基础提升解题能力，为教师提供分层教学素材。

范围：§2.2~§2.3 周末练5 第2章　一元二次函数、方程和不等式 <<< 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A A B B BCD AD 题号 9 10 11 12 答案 CD 1 {x|－3<x<0} 1≤m<19 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)－3∈M等价于原不等式对x＝－3成立, 即9a－15－2a＋1<0. 解得a<2,所以a的取值范围是{a|a<2}. (2)M＝意味着a>0,且ax2＋5x－2a＋1＝a(x－m) . 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 展开并比较系数可知 故a＝a＝1. 而a>0,故m2＋m＋2＝－m－>0, 从而解得m＝－3,进而得到a＝＝2. 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 经验证,当a＝2,m＝－3时满足条件, 所以a＝2,m＝－3. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)依题意可得调整后研发人员的年人均工资为[1＋(2x)%]a万元, 则(200－x)[1＋(2x)%]a≥200a(a>0), 整理得0.02x2－3x≤0,解得0≤x≤150, 因为x∈N且50≤x≤100, 所以50≤x≤100,故100≤200－x≤150, 所以要使这(200－x)名研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为100人. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资, 得(200－x)[1＋(2x)%]a≥xa, 整理得m≤＋3, 由条件②技术人员的年人均工资始终不减少,得a≥a,解得m≥＋1, 假设存在这样的实数m,使得技术人员在已知范围内调整后,始终满足以上两个条件, 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 即＋1≤m≤＋3(50≤x≤100)恒成立, 因为＋3≥2＋3＝11, 当且仅当即x＝50时等号成立,所以m≤11, 又因为50≤x≤100,当x＝100时＋1取得最大值11,所以m≥11, 所以11≤m≤11,即m＝11, 即存在这样的m满足条件,m＝11. 一、单项选择题 1.不等式16x2－8x＋1≤0的解集是 A. B. C.∅ D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 原不等式可化为(4x－1)2≤0, 故不等式的解集为. 解析 2.已知A＝若2∈A,则m的取值范围是 A.－≤m< B.－≤m≤ C.m≤－或m> D.m≤－或m≥ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为2∈A,所以≤0,等价于 解得－≤m<. 解析 3.设a∈R,则“2<a<3”是“(a＋1)(a－6)<0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由(a＋1)(a－6)<0,得－1<a<6, 因为{a|2<a<3}是{a|－1<a<6}的真子集, 所以“2<a<3”是“(a＋1)(a－6)<0”的充分而不必要条件. 解析 4.不等式ax2－bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1},则函数y＝ax2－bx＋c的图象大致为 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为ax2－bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}, 所以方程ax2－bx＋c＝0的两根分别为－2和1,且a<0, 则 变形可得 故函数y＝ax2－bx＋c＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)的图象开口向下, 且与x轴的交点坐标为(1,0)和(－2,0),故A选项的图象符合. 解析 5.已知集合A＝B＝{x|x2－3x<0},则A∪B等于 A.{x|x≤2或x≥3} B.{x|－2<x<3} C.{x|0<x≤2} D.{x|x≤－2或x≥3} 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ ≤0,则(x－2)(x＋2)≤0,且x＋2≠0,解得－2<x≤2, 则集合A＝{x|－2<x≤2},B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0<x<3}, 则A∪B＝{x|－2<x<3}. 解析 6.某地每年销售木材约20万立方米,每立方米价格为2 400元,为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是 A.{t|1≤t≤3} B.{t|3≤t≤5} C.{t|2≤t≤4} D.{t|4≤t≤6} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元, 则y＝2 400×t%＝60(8t－t2), 令y≥900,即60(8t－t2)≥900,解得3≤t≤5. 解析 二、多项选择题 7.设a,b,c为实数,不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<1或x>3},则下列说法正确的是 A.a<0 B.ab<0 C.ac>0 D.a∶b∶c＝1∶(－4)∶3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设a,b,c为实数,不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<1或x>3}, ∴a>0,1和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根, ∴ ∴b＝－4a<0,c＝3a>0, ∴ab<0,ac>0,a∶b∶c＝1∶(－4)∶3. 解析 8.若“>0”是“k<x<k＋2”的必要而不充分条件,则实数k可以是 A.－8 B.－4 C.0 D.4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 由不等式>0,可得x<－4或x>1, 因为>0是k<x<k＋2的必要而不充分条件,可得k＋2≤－4或k≥1, 解得k≤－6或k≥1,即实数k的取值范围为{k|k≤－6或k≥1}, 结合选项,可得A,D符合题意. 解析 9.下列说法正确的是 A.不等式4x2－5x＋1>0的解集是 B.不等式2x2－x－6≤0的解集是 C.若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立,则a的取值范围是∅ D.若关于x的不等式2x2＋px－3<0的解集是{x|q<x<1},则p＋q的值为－ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 对于A,4x2－5x＋1>0⇔(x－1)(4x－1)>0⇔x<或x>1,故A错误； 对于B,2x2－x－6≤0⇔(x－2)(2x＋3)≤0⇔－≤x≤2,故B错误； 若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立, 当a＝0时,21<0是不可能成立的, 所以只能而该不等式组无解,故C正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于D,由题意得q,1是一元二次方程2x2＋px－3＝0的两个根, 从而解得 而当p＝1,q＝－时,一元二次不等式 2x2＋x－3<0⇔(x－1)(2x＋3)<0⇔－<x<1,满足题意, 所以p＋q的值为－故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题 10.若关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab>0的解集为{x|x≠1},则ab的值为　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 由一元二次不等式的解集知, 方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0有相等的实数根1, 所以解得ab＝1. 解析 11.已知关于x的不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－3},则关于x的不等式ax2＋bx<0的解集为　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 {x|－3<x<0} 由ax＋b>0的解集为{x|x>－3}, 可得a>0,且方程ax＋b＝0的解为－3, 所以－3a＋b＝0,则b＝3a, 所以ax2＋bx＝a(x2＋3x)<0⇒x2＋3x<0⇒－3<x<0, 即关于x的不等式ax2＋bx<0的解集为{x|－3<x<0}. 解析 12.★★已知函数y＝(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1≤m<19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意得∀x∈R,(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3>0恒成立. 令m2＋4m－5＝0,解得m1＝1,m2＝－5. 当m＝1时,3>0对∀x∈R恒成立,符合题意； 当m＝－5时,24x＋3>0,其解集不是R,不符合题意； 当m≠1且m≠－5时,则有 解得1<m<19. 综上所述,实数m的取值范围是1≤m<19. 解析 四、解答题 13.★★已知关于x的不等式ax2＋5x－2a＋1<0的解集是M. (1)若－3∈M,求实数a的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 －3∈M等价于原不等式对x＝－3成立, 即9a－15－2a＋1<0. 解得a<2,所以a的取值范围是{a|a<2}. 解 (2)若M＝求实数a,m的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 M＝意味着a>0,且ax2＋5x－2a＋1＝a(x－m). 展开并比较系数可知 故a＝a＝1. 而a>0,故m2＋m＋2＝－m－>0, 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 从而解得m＝－3,进而得到a＝＝2. 经验证,当a＝2,m＝－3时满足条件, 所以a＝2,m＝－3. 解 14.某无人机企业原有200名科技人员,年人均工资a万元(a>0),现加大对无人机研发的投入,该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员,其中技术人员x名(x∈N且50≤x≤100),调整后研发人员的年人均工资增加(2x)%,技术人员的年人均工资调整为a万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资,求调整后的研发人员的人数最少为多少人； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 依题意可得调整后研发人员的年人均工资为[1＋(2x)%]a万元, 则(200－x)[1＋(2x)%]a≥200a(a>0), 整理得0.02x2－3x≤0,解得0≤x≤150, 因为x∈N且50≤x≤100, 所以50≤x≤100,故100≤200－x≤150, 所以要使这(200－x)名研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为100人. 解 (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性,企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资；②技术人员的年人均工资始终不减少.请问是否存在这样的实数m,使得技术人员在已知范围内调整后,始终满足以上两个条件,若存在,求出m的值或范围；若不存在,说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资, 得(200－x)[1＋(2x)%]a≥xa, 整理得m≤＋3, 由条件②技术人员的年人均工资始终不减少,得a≥a,解得m≥＋1, 假设存在这样的实数m,使得技术人员在已知范围内调整后,始终满足以上两个条件, 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 即＋1≤m≤＋3(50≤x≤100)恒成立, 因为＋3≥2＋3＝11, 当且仅当即x＝50时等号成立,所以m≤11, 又因为50≤x≤100,当x＝100时＋1取得最大值11,所以m≥11, 所以11≤m≤11,即m＝11, 即存在这样的m满足条件,m＝11. 解 第2章　一元二次函数、方程和不等式 <<< $