第7章 7.3.2 第4课时 正切函数的图象与性质（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦正切函数的图象与性质，通过导语引导学生类比正弦、余弦函数的研究经验，从定义域、周期性等方面展开探究，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以表格结构化呈现性质，分角度设计例题与反思感悟，结合数学思维中的推理与运算能力，如通过换元法求定义域、利用单调性比较大小。课堂小结梳理知识清单与方法，帮助学生系统掌握，教师可借助此资料提升教学效率，培养学生数学语言表达与问题解决能力。

第4课时 正切函数的图象与性质 第7章　§7.3　7.3.2　三角函数的图象与性质 <<< 1.了解正切函数的画法，理解并掌握正切函数的性质. 2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题. 学习目标 我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究.我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？ 导 语 一、正切函数的图象与性质 二、正切函数图象与性质的综合应用 课时对点练 内容索引 一 正切函数的图象与性质 提示　采用平移正弦线的方法，先画出一个周期的图象，再向左、右平移得到正弦函数的图象. 我们采用什么方法画正弦函数图象的？ 问题1 我们能否采用类似的方法画出函数y=tan x的图象呢？ 问题2 提示　可以参照画正弦函数的方法，先利用正切线画出y=tan x，x∈的图象，如图；再根据函数的周期性，只要把函数y=tan x，x∈的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y=tan x的图象. 解析式 y=tan x 图象   曲线 正切函数的图象称为正切曲线 定义域 正切函数的图象与性质 知识梳理 解析式 y=tan x 值域 R 最小 正周期 ____ 奇偶性 奇函数 单调性 每个开区间________________________都是函数的增区间 对称性 对称中心_______________ π (k∈Z) (k∈Z) 10 (1)研究正切函数时应注意定义域； (2)正切曲线是由被互相平行的直线x=kπ+(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的. 注 意 点 <<< 11 　　　(课本例6)求函数y=tan的定义域. 例 1 角度1　定义域、值域 因为y=tan z的定义域为 令z=2x-由2x-≠+kπ， 得x≠+. 所以y=tan的定义域是. 解 12 　　　(1)函数y=tan的定义域是 A. B. C. D. 例 1 √ 由x-≠kπ+k∈Z，得x≠kπ+k∈Z. 解析 13 (2)函数f(x)=tanx∈的值域为　　　　.  令z=x+ ∵x∈∴z∈. ∵函数y=tan z在上单调递增， ∴tan 0≤tan z≤tan即0≤tan z≤1， ∴函数f(x)在上的值域是[0，1]. 解析 [0，1] 14 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线. (2)处理与正切函数有关的函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解. (3)注意换元法的应用. 反 思 感 悟 15 　　　(1)函数f(x)=tan的最小正周期为 A. B. C.π D.2π 例 2 角度2　奇偶性与周期性 √ 方法一　T===. 方法二　f(x)=tan=tan =tan=f∴T=. 解析 16 (2)函数f(x)=sin x+tan x的奇偶性为 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 √ f(x)的定义域为 关于原点对称，又f(-x)=sin(-x)+tan(-x) =-sin x-tan x=-f(x)， ∴f(x)为奇函数. 解析 17 与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 (1)一般地，函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T=常常利用此公式来求周期. (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(-x)与f(x)的关系. 反 思 感 悟 18 　　　(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)： ①tan　　tan；  例 3 角度3　单调性 tan=tan且0<<< 又y=tan x在上单调递增， 所以tan<tan即tan<tan. 解析 < 19 ②tan　　tan.  tan=tantan=tan 因为0<<< 又y=tan x在上单调递增， 所以tan<tan 则tan<tan. 解析 < 20 (2)求函数y=tan的单调区间. ∵y=tan x在(k∈Z)上是增函数，∴-+kπ<2x-<+kπ(k∈Z)， 即-+<x<+(k∈Z). ∴函数y=tan的增区间是 (k∈Z)，无减区间. 解 21 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系. (2)求函数y=Atan(ωx+φ)的单调区间的方法 y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体，解-+kπ<ωx+φ<+kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把x的系数化为正值再求单调区间. 反 思 感 悟 22 　　　　　(1)函数f(x)= A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 跟踪训练 1 √ 23 要使f(x)有意义，必须满足 即x≠kπ+且x≠(2k+1)π(k∈Z)， ∴函数f(x)的定义域关于原点对称. 又f(-x)==-=-f(x)， 故f(x)=是奇函数. 解析 24 (2)函数y=3tan的定义域为　　　　　 　.  由-≠+kπ，k∈Z， 得x≠--4kπ，k∈Z， ∴函数的定义域为. 解析 25 (3)函数y=3tan的减区间为　　　　　　　　　　　　　　　.  y=3tan可化为 y=-3tan 由kπ-<x-<kπ+k∈Z， 得2kπ-<x<2kπ+k∈Z， 故减区间为k∈Z. 解析 k∈Z 26 二 正切函数图象与性质的综合应用 　　　设函数f(x)=tan. (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； 例 4 28 由-≠+kπ(k∈Z)， 得x≠+2kπ(k∈Z)， 所以f(x)的定义域是. 因为ω= 所以最小正周期T===2π. 由-+kπ<-<+kπ(k∈Z)， 得-+2kπ<x<+2kπ(k∈Z). 解 29 所以函数f(x)的增区间是(k∈Z)，无减区间. 由-=(k∈Z)，得x=kπ+(k∈Z)， 故函数f(x)的对称中心是(k∈Z). 解 30 (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集. 由-1≤tan≤ 得-+kπ≤-≤+kπ(k∈Z)， 解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z). 所以不等式-1≤f(x)≤的解集是. 解 31 解答正切函数图象与性质问题的注意点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴. (2)单调性：正切函数在每个开区间(k∈Z) 上都是增函数，但不能说其在定义域内是增函数. 反 思 感 悟 32 　　　　　画出函数y=|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性. 跟踪训练 2 33 由y=|tan x|得 y= 其图象如图， 由图象可知，函数y=|tan x|的定义域为值域为 [0，+∞)，是偶函数.函数y=|tan x|的周期T=π， 函数y=|tan x|的增区间为k∈Z，减区间为k∈Z. 解 34 1.知识清单： (1)正切函数的图象与性质. (2)正切函数图象与性质的综合应用. 2.方法归纳：整体代换、换元法. 3.常见误区：最小正周期T=(ω>0)，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z). 课堂小结 课时对点练 三 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C B A AD B k∈Z 题号 8 11 12 13 14 15 答案 B D [-4，4] -2 027 D 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵ω= ∴最小正周期T===3π. 令-=(k∈Z)， 得x=π+(k∈Z)， ∴f(x)的对称中心是(k∈Z). 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)令-=0，则x=π； 令-=则x=； 令-=-则x=-. 从而得到函数y=f(x)在一个周期内的简图(如图). 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为f(x)=3tan =-3tan 所以T===4π. 由kπ-<-<kπ+(k∈Z)， 得4kπ-<x<4kπ+(k∈Z). 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为y=3tan在(k∈Z)内是增函数， 所以f(x)=-3tan在(k∈Z)内是减函数. 故原函数的最小正周期为4π. 减区间为(k∈Z). 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)f(π)=3tan=3tan=-3tan f=3tan=3tan=-3tan 因为0<<< 且y=tan x 在上单调递增， 所以tan<tan 所以f(π)>f. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意可得f(x)的周期为 T=-==所以ω= 得f(x)=Atan它的图象过点 所以tan=0， 即tan=0， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以+φ=kπ，k∈Z，得φ=kπ-k∈Z， 又|φ|< 所以φ=- 于是f(x)=Atan 它的图象过点(0，-3)， 所以Atan=-3，得A=3. 所以f(x)=3tan. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)因为3tan≥ 所以tan≥ 得kπ+≤x-<kπ+k∈Z， 解得+≤x<+k∈Z， 所以满足f(x)≥的x的取值范围是k∈Z. 基础巩固 1.函数f(x)=-2tan的定义域是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由2x+≠+kπ，k∈Z，得x≠+k∈Z. ∴函数f(x)=-2tan的定义域是. 解析 2.函数y=tan的最小正周期为 A.2π B.π C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据周期公式计算得T==. 解析 3.函数f(x)=sin xtan x A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)的定义域为关于原点对称，又f(-x)=sin(-x)· tan(-x)=sin x·tan x=f(x)，∴f(x)为偶函数. 解析 4.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点则φ可以是 A.-　　　　　B. 　C.- 　　　　D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数的图象过点 所以tan=0， 所以+φ=kπ，k∈Z， 所以φ=kπ-k∈Z. 解析 5.(多选)与函数y=tan的图象不相交的一条直线是 A.x= B.x=- C.x= D.x=- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令2x-=+kπ，k∈Z， 得x=+k∈Z， ∴直线x=+k∈Z与函数 y=tan的图象不相交， ∴令k=-1，x=-. k=0，x=. 解析 6.下列关于函数y=tan的说法正确的是 A.在区间上单调递增 B.最小正周期是π C.图象关于点对称 D.图象关于直线x=对称 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令kπ-<x+<kπ+k∈Z，解得kπ-<x<kπ+k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误； 易知该函数的最小正周期为π，故B正确； 令x+=k∈Z，解得x=-k∈Z，任何k值都不能得到x=故C错误； 正切函数没有对称轴，因此函数y=tan的图象也没有对称轴，故D错误. 解析 7.函数y=tan的增区间是　　　　　　　　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令-+kπ<3x+<+kπ，k∈Z， 则-<x<+k∈Z， 所以函数y=tan的增区间是k∈Z. 解析 k∈Z 8.函数y=的值域为　　　　　　　　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-∞，-1)∪(1，+∞) 当-<x<0时，-1<tan x<0， 所以<-1； 当0<x<时，0<tan x<1， 所以>1. 即当x∈∪时，函数y=的值域是(-∞，-1)∪(1，+∞). 解析 9.设函数f(x)=tan. (1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ω= ∴最小正周期T===3π. 令-=(k∈Z)，得x=π+(k∈Z)， ∴f(x)的对称中心是(k∈Z). 解 (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令-=0，则x=π； 令-=则x=； 令-=-则x=-. 从而得到函数y=f(x)在一个周期内的简图(如图). 解 10.已知函数f(x)=3tan. (1)求f(x)的最小正周期和减区间； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)=3tan =-3tan 所以T===4π. 由kπ-<-<kπ+(k∈Z)， 得4kπ-<x<4kπ+(k∈Z). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为y=3tan在(k∈Z)内是增函数， 所以f(x)=-3tan在(k∈Z)内是减函数. 故原函数的最小正周期为4π. 减区间为(k∈Z). 解 f(π)=3tan=3tan=-3tan f=3tan=3tan=-3tan 因为0<<< 且y=tan x 在上单调递增， 所以tan<tan所以f(π)>f. 解 (2)试比较f(π)与f的大小. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知函数y=tan ωx在区间内单调递减，则 A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵y=tan ωx在内单调递减， ∴ω<0且T=≥π，∴-1≤ω<0. 解析 12.下列图形分别是①y=|tan x|；②y=tan x；③y=tan(-x)；④y=tan|x|在x∈ 内的大致图象，那么 由a到d对应的函数关系式应是 A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y=tan(-x)=-tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应③，故选D. 解析 13.函数y=-tan2x+4tan x+1，x∈的值域为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵-≤x≤∴-1≤tan x≤1. 令tan x=t，则t∈[-1，1]， ∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5. ∴当t=-1，即x=-时，ymin=-4， 当t=1，即x=时，ymax=4. 故所求函数的值域为[-4，4]. 解析 [-4，4] 14.已知函数f(x)=asin x+btan x-1(a，b∈R)，若f(-2)=2 025，则f(2)=______. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -2 027 依题意，f(x)的定义域为且定义域关 于原点对称， 设g(x)=f(x)+1=asin x+btan x，x≠+kπ，k∈Z， 则g(-x)=asin(-x)+btan(-x) =-(asin x+btan x)=-g(x)， 所以g(x)为奇函数， 则有g(2)+g(-2)=f(2)+1+f(-2)+1=0， 而f(-2)=2 025，所以f(2)=-2 027. 解析 15.若函数f(x)=tan-m在上的最大值为3，最小值为-1，则mn等于 A. B. C.- D.- 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x∈ 所以2x-∈所以2n->- 因为函数f(x)=tan-m在上的最大值为3，最小值为-1， 所以2n-< 令t=2x-则y=tan t-m. 因为y=tan t-m在上单调递增，t=2x-在定义域内单调递增， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以函数f(x)=tan-m在上单调递增， 所以f=tan-m=-1，解得m=-2， 所以f(n)=tan-m=tan+2=3， 所以tan=. 因为-<2n-<所以2n-=解得n=.故mn=-2×=-. 解析 16.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和且过点(0，-3). (1)求f(x)的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得f(x)的周期为 T=-==所以ω= 得f(x)=Atan它的图象过点 所以tan=0， 即tan=0， 所以+φ=kπ，k∈Z，得φ=kπ-k∈Z， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又|φ|< 所以φ=- 于是f(x)=Atan 它的图象过点(0，-3)， 所以Atan=-3，得A=3. 所以f(x)=3tan. 解 (2)求满足f(x)≥的x的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为3tan≥ 所以tan≥ 得kπ+≤x-<kπ+k∈Z， 解得+≤x<+k∈Z， 所以满足f(x)≥的x的取值范围是k∈Z. 解 第7章　§7.3　7.3.2　三角函数的图象与性质 <<< $