第十七章因式分解暑假预习练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦因式分解核心技能，通过基础巩固、综合应用、探究拓展三层设计，实现从概念识别到实际问题解决的能力进阶，适配暑假分层复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|公因式确定、公式识别、简单分解|单选题（如公因式选择）、填空题（直接分解），夯实运算能力| |中档|提公因式与公式法综合运用|解答题（多步骤分解），培养推理意识| |提升|图形解释、实际应用、规律探究|图形面积因式分解（几何直观）、密码翻译（应用意识），发展创新意识|

第十七章因式分解 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各式能够用完全平方公式因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．将用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 4．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 5．对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 6．小刚是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：东、爱、我、山、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美丽 B．山东美丽 C．我爱山东 D．美我山东 7．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 8．下列分解因式正确的是(    ) A． B． C． D． 9．与相等的是（   ） A． B． C． D． 10．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 11．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 12．把多项式分解因式，下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．计算：_______． 14．分解因式：___________． 15．若n为正整数，则一定能被最大的正整数_______整除． 16．因式分解：_________ 17．因式分解：______． 三、解答题 18．分解因式： (1)； (2)． 19．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．写一个可以进行因式分解的多项式，并用图形解释． 21．【发现问题】现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式． (1)【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）． (2)【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形． 22．如图，在半径为的圆形钢板上冲去半径为的四个小圆孔．若，，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积．（取3.14） 23．已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 24．两个差为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方． (1)是正整数______的平方； (2)设较小的一个正整数为，写出这两个正整数的积与1的和，并说明它是一个正整数的平方； (3)两个差为12的正偶数，设较小的数为（为正整数），若它们的积与常数的和是一个正整数的平方，求的值． 《第十七章因式分解》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A D C B D C B 题号 11 12 答案 C D 1．B 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握是解题的关键． 【详解】解：A.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意； B.符合完全平方公式的特征，故符合题意； C.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意； D.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意； 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，要确定多项式的公因式，需找出各项的系数最大公约数和公共因式，系数3和的最大公约数为3，公共因式为，因此公因式为． 【详解】确定系数公因式：第一项系数为3，第二项系数为，最大公约数为3； 确定公共因式：两项均含有因式； 组合公因式：将系数公因式3与公共因式相乘，得到公因式， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∴M为：， 故选：D． 4．A 【分析】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解． 【详解】解：多项式的公因式是． 故选：A． 【点睛】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 5．D 【分析】本题考查了新运算法则，因式分解，理解题意是解决本题的关键． 根据新运算定义，先计算得到多项式，然后进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了因式分解的应用． 将原式提取公因式后，利用平方差公式进一步分解，结合各因式对应的字即可得出结果． 【详解】解： ， 对应“爱”，对应“我”，对应“东”，对应“山”． 四个因式组合为“爱、我、东、山”， 只有C“我爱山东”符合， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式把原式化为，再整理即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：B． 8．D 【分析】此题主要考查了提公因式法因式分解，以及公式法因式分解，因式分解首先要提取公因式，再根据公式特点进行分解即可． 【详解】解：A. ，原式不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；      B. ，原式因式分解错误，故该选项不正确，不符合题意； C. ，原式因式分解不彻底，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 9．C 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了平方差公式分解因式． 根据平方差公式，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A：，不符合平方差公式； B：符合平方差公式，分解为，正确； C：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； D：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； 故选：B 11．C 【分析】依据因式分解的相关规则（平方差公式、完全平方公式、因式分解的结果形式要求等），对每个选项逐一分析，判断其因式分解是否正确．本题主要考查了因式分解的相关知识（平方差公式、完全平方公式的应用，以及因式分解需化为乘积形式等要求 ），熟练掌握因式分解的公式和正确形式是解题的关键． 【详解】A. ，故A错误． B. 的右边 不是乘积形式，未完成因式分解，故B错误． C. ，故C正确． D. ， 故选：C． 12．D 【分析】分解因式要求结果为几个整式乘积的形式，将原式根据完全平方公式变形即可得到结果． 【详解】解： 选项：结果不是整式乘积的形式，不符合分解因式要求； 选项：展开得，与原式不符； 选项：展开得，与原式不符； 选项：，正确． 13．1 【分析】将分解成，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】 ． 故答案为：1. 【点睛】本题考查了利用因式分解简化运算，掌握完全平方公式是解题的关键． 14． 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式x即可分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 15．12 【分析】本题考查了平方差公式，提公因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 原式利用平方差公式变形，再提公因式，即可解答． 【详解】解： ． ∴一定能被最大的正整数12整除． 故答案为：12 16． 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 17． 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找到公因式是解题的关键； （1）提取公因式m，即可分解因式； （2）提取公因式x，即可分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （4）先利用多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 20．（答案不唯一）示例多项式为，因式分解结果为，图形为： 图形解释：如图一个大长方形被分割成一个边长为的正方形，一个长、宽分别为和的长方形，一个长、宽分别为和的长方形，以及一个长、宽分别为3和2的长方形，则大长方形的面积为，而此时大长方形的边长分别为和，故面积为，因此得到． 【详解】略 21．(1) (2)， 图形如图所示： 【分析】本题主要考查了因式分解的应用： （1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案； （2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案； 【详解】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， 图3的面积为， 又图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ； （2）解：是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的 同理可得； 22． 【分析】本题是因式分解的应用，用大圆的面积减去4个小圆的面积即可得到剩余部分的面积，然后把和的值代入后分解因式可得结果，熟练进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， ． 23．等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用和等边三角形的判定，正确变形、熟知非负数的性质是解题的关键；先将原式变形为，再根据非负数的性质得出且，进而可得结论． 【详解】解：该三角形是等边三角形，理由见解析： ∵， ∴， 即， ∵，， ∴且， ∴， ∴该三角形是等边三角形． 24．(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查的是完全平方式的应用，把所求代数式合并成完全平方式的形式是解答此题的关键． （1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （2）用代数式把连续的正整数表示出来，按照题中给出的关系列出式子，进行验证，只要会把最后形式写成一个完全平方式的形式就能证明此结论； （3）可根据此结果是平方数求出常数的值． 【详解】（1）解：∵； ∴是3的平方； （2）解：设较小的正整数为，则另一个正整数为， 这两个数的积与1的和为， ∴ ， ∴原式为正整数的平方． （3）解：设较小的正偶数为，则另一个正偶数为， 它们的积与常数a的和为， ∴ ， 由配方法可知， ∴， 原式． 综上：． 学科网（北京）股份有限公司 $