第7章 7.3.2 第3课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学正弦函数、余弦函数的性质（二），核心知识点包括单调区间、利用单调性比较大小及对称性。通过观察函数图象引出问题，梳理基本单调区间，结合换元法解决复合函数单调区间问题，再应用单调性比较大小，最后探究对称性，构建完整知识支架。 该资料以问题驱动培养数学眼光，通过换元法与整体代换发展数学思维，例题、延伸探究及跟踪训练规范数学语言表达。课中助力教师引导学生深化理解，课后课时对点练帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

第3课时　正弦函数、余弦函数的性质(二) 学习目标　1.掌握正弦函数、余弦函数的单调区间.2.会比较三角函数值的大小.3.掌握正弦函数、余弦函数的对称性. 一、正弦函数、余弦函数的单调性 问题1　观察正弦函数y=sin x的函数图象，你能写出y=sin x在x∈上的单调区间吗？ 提示　由上图我们发现，区间正好是函数的一个周期，其中在区间上函数单调递增，在区间上函数单调递减. 知识梳理　正弦函数、余弦函数的单调性 y=sin x y=cos x 图象 单调性 在每一个闭区间 (k∈Z)上都单调递增， 在每一个闭区间 (k∈Z)上都单调递减 在每一个闭区间[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上都单调递增， 在每一个闭区间 [2kπ，2kπ+π](k∈Z)上都单调递减 例1　求函数y=2sin的单调区间. 解　令z=x-则y=2sin z. ∵z=x-是增函数， ∴y=2sin z是增(减)函数时， 函数y=2sin也是增(减)函数. 由z∈(k∈Z)， 得x-∈(k∈Z)， 即x∈(k∈Z)， 故函数y=2sin的增区间为 (k∈Z). 同理可求函数y=2sin的减区间为(k∈Z). 延伸探究1　求函数f(x)=2sinx∈[0，2π]的单调区间. 解　由例题知f(x)=2sin的增区间为k∈Z， 又∵x∈[0，2π]， ∴0≤x≤或≤x≤2π， 同理函数f(x)=2sinx∈[0，2π]的减区间为. ∴函数f(x)=2sinx∈[0，2π]的增区间为减区间为. 延伸探究2　求函数y=sin的增区间. 解　y=sin=-sin 令z=x- 而y=-sin z的增区间是 k∈Z， ∴令+2kπ≤x-≤+2kπ，k∈Z， 得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z， ∴函数y=sin的增区间为 k∈Z. 反思感悟　求正弦函数、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正弦函数、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间. (2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx+φ”看作一个整体“z”，即通过求y=Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上. 跟踪训练1　求函数y=2cos的单调区间. 解　令2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z)， 即2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z)， ∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z). ∴增区间为(k∈Z). 令2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)， 即2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z)， ∴kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)， ∴减区间为(k∈Z). ∴函数y=2cos的增区间为 (k∈Z)， 减区间为(k∈Z). 二、利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小 例2　(课本例5)不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小. (1)sin与sin； (2)cos与cos. 解　(1)因为y=sin x在区间上单调递增，且->- 所以sin>sin. (2)因为y=cos x在区间上单调递减，且< 所以cos>cos. 例2　比较大小： (1)sin 220°与sin 230°； (2)sin与cos. 解　(1)因为函数y=sin x在90°≤x≤270°上单调递减，且90°<220°<230°<270°， 所以sin 220°>sin 230°. (2)sin=sin=-sin cos=cos=-cos=-sin. 因为函数y=sin x在上单调递增， 而-<<< 所以sin<sin 所以-sin>-sin. 故sin>cos. 反思感悟　比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数. (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上. (3)利用函数的单调性比较大小. 跟踪训练2　比较大小： (1)cos与cos； (2)cos 1与sin 2. 解　(1)cos=cos=cos =-cos 而cos=-cos ∵函数y=cos x在上单调递减， 且0<<<∴cos>cos. ∴-cos<-cos∴cos<cos. (2)∵1∈∴cos 1=sin ∵y=sin x在上单调递减， 又+1，2∈且+1>2， ∴sin<sin 2，即cos 1<sin 2. 三、正弦函数、余弦函数的对称性 问题2　正弦函数y=sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？ 提示　有，(kπ，0)(k∈Z). 问题3　正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？ 提示　是轴对称图形，方程为x=+kπ(k∈Z). 问题4　类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？ 提示　对称轴方程是x=kπ(k∈Z)，对称中心的坐标为(k∈Z). 知识梳理　正弦函数、余弦函数的对称性 正弦函数 余弦函数 图象 对称轴 x=kπ+k∈Z x=kπ，k∈Z 对称 中心 (kπ，0)，k∈Z k∈Z 例3　函数y=sin的图象的对称轴是直线　　　　，对称中心是　　　　.  答案　x=+(k∈Z)　(k∈Z) 解析　要使sin=±1，必有2x+=kπ+(k∈Z)， ∴x=+(k∈Z)， 故函数y=sin的图象的对称轴是直线 x=+(k∈Z). ∵函数y=sin的图象与x轴的交点为对称中心，令y=0，即sin=0， ∴2x+=kπ(k∈Z)， 即x=-(k∈Z). 故函数y=sin的图象的对称中心是(k∈Z). 反思感悟　正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0. 跟踪训练3　已知函数f(x)=cos(2x+φ)若x=φ是函数f(x)图象的一条对称轴，则其图象的一个对称中心为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为直线x=φ是函数f(x)图象的一条对称轴， 所以3φ=kπ(k∈Z)，则φ=(k∈Z)， 又<φ<π，所以φ=所以f(x)=cos. 令2x+=+kπ(k∈Z)，得x=-+(k∈Z)， 所以函数f(x)图象的一个对称中心为. 1.知识清单： (1)正弦函数、余弦函数的单调性. (2)利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小. (3)正弦函数、余弦函数的对称性. 2.方法归纳：整体代换、换元法. 3.常见误区：单调区间漏写k∈Z. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.函数y=sin图象的一条对称轴是(　　) A.x=- B.x=- C.x= D.x= 答案　C 解析　逐一判断四个选项是否满足方程2x+=+kπ(k∈Z)即可. 2.函数y=|sin x|的一个增区间是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由y=|sin x|的图象知，该函数在上单调递增. 3.已知函数y=sin x与y=cos x，在下列区间内同为单调递增的是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵y=sin x的增区间为 k∈Z， y=cos x的增区间为[2kπ-π，2kπ]，k∈Z， 结合选项，可知当k=1时为正弦函数与余弦函数的增区间的交集， 即能使函数y=sin x与函数y=cos x同时单调递增的区间是(闭区间或开区间均可). 4.关于函数f(x)=sin 2x，下列选项中正确的是(　　) A.f(x)在上单调递增 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为2π D.f(x)的最大值为2 答案　B 解析　因为函数y=sin x在上单调递减， 所以f(x)=sin 2x在上单调递减，故A错误；因为f(x)的定义域为R，f(-x)=sin 2(-x)=-sin 2x=-f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期T==π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误. 5.函数y=2sin(ω>0)的周期为π，则其增区间为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　C 解析　∵周期T=π，∴=π，∴ω=2. ∴y=2sin. 由-+2kπ≤2x+≤2kπ+(k∈Z)， 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z). 6.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)若f(x)关于x=对称，则f(x)的一个增区间可以是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵f(x)关于x=对称， 则+φ=+kπ，k∈Z，∴φ=+kπ，k∈Z， 又∵|φ|<∴φ= ∴f(x)=-2sin. 由2kπ+≤2x+≤2kπ+k∈Z， 得kπ+≤x≤kπ+k∈Z. 当k=0时，得≤x≤. 即f(x)的一个增区间可以是. 7.(5分)函数y=cos x在区间[-π，a]上是增函数，则a的取值范围是　　　　.  答案　(-π，0] 解析　因为y=cos x在[-π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有-π<a≤0时满足条件，故a∈(-π，0]. 8.(5分)函数f(x)=sinx∈[0，π]的增区间为　　　　，减区间为　　　　.  答案　　 解析　f(x)=-sin 令-+2kπ≤x-≤+2kπ，k∈Z，即-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z时，f(x)是减函数. 又0≤x≤π，所以0≤x≤ 即f(x)的减区间为 同理得f(x)的增区间为 所以f(x)在x∈[0，π]上的减区间为 增区间为. 9.(10分)已知函数f(x)=2cos. (1)求f(x)的增区间；(5分) (2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.(5分) 解　(1)令2kπ-π≤3x+≤2kπ(k∈Z)， 解得-≤x≤-(k∈Z). ∴f(x)的增区间为(k∈Z). (2)当3x+=2kπ-π(k∈Z)时，f(x)取得最小值-2，即x=-(k∈Z)时，f(x)取得最小值-2. 10.(11分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)若f(x)的图象关于点对称，且图象上两个相邻最高点的距离为π. (1)求f(x)；(6分) (2)求f(x)的增区间.(5分) 解　(1)依题意T=π，∴ω=2， f(x)=sin(2x+φ)， 又f(x)的图象关于点对称， ∴2×+φ=kπ，k∈Z， 得φ=+kπ，k∈Z， 又|φ|≤ ∴φ= ∴f(x)=sin. (2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， ∴f(x)的增区间为k∈Z. 11.(多选)下列不等式中成立的是(　　) A.sin>sin B.cos 400°>cos C.sin 3<sin 4 D.sin>cos 答案　BD 解析　y=sin x在上单调递增， 又-<-<-<0， ∴sin<sin故A不成立. cos 400°=cos 40°>cos 50°=cos(-50°)，故B成立. y=sin x在上单调递减，又<3<4< ∴sin 3>sin 4，故C不成立.sin=-sin cos=-cos=-sin=-sin. ∵0<<<且y=sin x在上单调递增. ∴sin<sin∴sin>cos故D成立. 12.(多选)如果函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称，那么|φ|取最小值时，φ的值可以为(　　) A.- B. C.- D. 答案　CD 解析　由函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称， 可得2π+φ=+kπ，k∈Z， 即φ=-+kπ，k∈Z， 当|φ|取最小值时， k=1，即φ=-或k=2，即φ=. 故|φ|取最小值时，φ的值为±. 13.若f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在上单调递减，则ω的值为(　　) A.2 B. C. D. 答案　D 解析　当x=时，函数f(x)取得最大值，则sin=1，所以=2kπ+(k∈Z)，所以ω=6k+(k∈Z)，又ω>0，结合选项可知ω=符合题意. 14.(5分)将sin 1，sin 2，sin 3按从小到大的顺序排列为　　　　　　　.  答案　sin 3<sin 1<sin 2 解析　∵1<<2<3<π，sin(π-2)=sin 2， sin(π-3)=sin 3，y=sin x在上单调递增，且0<π-3<1<π-2< ∴sin(π-3)<sin 1<sin(π-2)， 即sin 3<sin 1<sin 2. 15.已知函数f(x)=sin在区间[-a，a]上单调递增，则实数a的最大值是(　　) A. B. C. D.π 答案　A 解析　令-+2kπ≤x-≤+2kπ，k∈Z， 解得-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z， 所以f(x)的增区间为k∈Z. 又f(x)在区间[-a，a]上单调递增， 所以[-a，a]⊆k∈Z， 所以-≤-a<0，即0<a≤则实数a的最大值是. 16.(12分)已知函数y=sin(ω>0)在区间上单调递增，求ω的取值范围. 解　∵函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增，当-<x<时，-+<ωx+<+ 又当x=0时，ωx+= ∴解得ω≤ ∵ω>0，∴0<ω≤ 因此，ω的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $