第7章 7.3.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦正弦函数、余弦函数的性质，以三角函数图象为基础，系统梳理定义域、值域（最值）、周期性和奇偶性等核心知识点，通过问题引导、知识梳理搭建学习支架，衔接三角函数图象与性质的探究脉络。 资料以问题驱动学生用数学眼光观察函数图象，结合换元法、数形结合等数学思维方法解析例题，通过规范解题步骤培养数学语言表达能力。课中例题与反思感悟助力教师高效授课，课后课时对点练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第2课时　正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标　1.会求与正弦函数、余弦函数有关的定义域.2.会求与正弦函数、余弦函数有关的值域(最值).3.解决正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性有关的问题. 导语 我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质. 一、正弦函数、余弦函数的定义域 问题1　观察正弦函数、余弦函数的图象，你能得到这两个函数的定义域、值域吗？ 提示　定义域都是R，值域都是[-1，1]. 知识梳理　正、余弦函数的定义域 y=sin x y=cos x 图象 定义域 R R 例1　求函数y=+lg(2sin x-1)的定义域. 解　要使函数有意义， 只要即 如图所示， cos x≤的解集为 ； sin x>的解集为 它们的交集为 即为函数的定义域. 反思感悟　用三角函数图象求解定义域的方法 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象. (2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集. (3)根据公式一写出方程或不等式的解集.同时注意区间端点的取舍. 跟踪训练1　求函数f(x)=的定义域. 解　要使函数有定义， 需满足2cos2x+sin x-1≥0， 即2sin2x-sin x-1≤0， 解得-≤sin x≤1， 由正弦函数的图象，可得函数的定义域为 . 二、正弦函数、余弦函数的最值(值域) 正、余弦函数的值域 正弦函数：当x=+2kπ，k∈Z时，ymax=1； 当x=-+2kπ，k∈Z时，ymin=-1. 余弦函数：当x=2kπ，k∈Z时，ymax=1； 当x=(2k+1)π，k∈Z时，ymin=-1. 例2　(课本例4)求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合： (1)y=cos； (2)y=2-sin 2x. 解　(1)函数y=cos的最大值为1. 因为使cos z取得最大值的z的集合为{z|z=2kπ，k∈Z}， 令z=由=2kπ，得x=6kπ. 所以使函数y=cos取得最大值的x的集合为{x|x=6kπ，k∈Z}. (2)函数y=2-sin 2x的最大值为2-(-1)=3. 因为使sin z取得最小值的z的集合为 令z=2x，由2x=-+2kπ，得x=-+kπ. 所以使函数y=2-sin 2x取得最大值的x的集合为. 例2　求下列函数的值域： (1)y=cosx∈； (2)y=cos2x-4cos x+5，x∈R. 解　(1)由y=cosx∈ 可得x+∈ 由函数y=cos x在区间上的图象(图略)可得值域为. (2)y=cos2x-4cos x+5，令t=cos x，x∈R， 则-1≤t≤1. y=t2-4t+5=(t-2)2+1，-1≤t≤1， 当t=-1时，函数取得最大值10； 当t=1时，函数取得最小值2， 所以函数的值域为[2，10]. 反思感悟　三角函数值域(最值)问题的求解方法 (1)形如y=asin x(或y=acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论. (2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型，可先由定义域求得ωx+φ的范围，然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围，最后结合三角函数图象求得值域(最值). (3)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型，可利用换元思想，设t=sin x，转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的范围需要根据定义域来确定. 跟踪训练2　已知f(x)=2sin+1，x∈求f(x)的最大值和最小值. 解　∵x∈ ∴-≤2x-≤ 当2x-=- 即x=0时，f(x)min=-+1， 当2x-= 即x=时，f(x)max=3， 综上，当x=0时，f(x)min=-+1， 当x=时，f(x)max=3. 三、正弦函数、余弦函数的奇偶性 问题2　观察正弦函数、余弦函数的图象，你能得到这两个函数的奇偶性吗？ 提示　由正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称可知，正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数. 问题3　知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有什么帮助？ 提示　通过研究一个周期内的函数图象，可推导出整个函数具有相同的性质. 知识梳理　正、余弦函数的奇偶性与周期性 y=sin x y=cos x 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性 2π 2π 例3　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=sin； (2)f(x)=|sin x|+cos x； (3)f(x)=x2cos. 解　(1)f(x)=sin=-cosx，x∈R. 因为∀x∈R，都有-x∈R， 又f(-x)=-cos=-cosx=f(x)， 所以函数f(x)=sin是偶函数. (2)函数f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R， 因为∀x∈R，都有-x∈R， 又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x)， 所以函数f(x)=|sin x|+cos x是偶函数. (3)f(x)=x2cos=-x2sin x，x∈R， 因为∀x∈R，都有-x∈R， 又f(-x)=-(-x)2sin(-x)=x2sin x=-f(x)， 所以函数f(x)=x2cos为奇函数. 反思感悟　三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解. (2)判断函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asin ωx(A≠0，ω>0)或y=Acos ωx(A≠0，ω>0)其中的一个. 跟踪训练3　函数f(x)=sin(ω≠0)，则f(x)是　　　　(填“奇函数”或“偶函数”)，若f(x)的周期为π，则ω=　　　　.  答案　偶函数　±2 解析　f(x)=sin=-cos ωx. ∴f(-x)=-cos(-ωx) =-cos ωx=f(x)， ∴f(x)为偶函数，又T=π， ∴=π， ∴ω=±2. 1.知识清单： (1)正弦函数、余弦函数的定义域. (2)正弦函数、余弦函数的值域(最值). (3)正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性. 2.方法归纳：整体代换法、换元法，数形结合法. 3.常见误区：求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.设函数y=1-2sin x，则函数的最大值及取到最大值时x的取值集合分别为(　　) A.3 B.1 C.3 D.1 答案　C 解析　因为-1≤sin x≤1， 所以-1≤1-2sin x≤3， 所以当x=2kπ+k∈Z时， 函数y=1-2sin x取最大值3. 2.设函数f(x)=sinx∈R，则f(x)是(　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 答案　B 解析　∵f(x)=sin =-sin =-cos 2x，x∈R， 又T==π， 且f(-x)=-cos(-2x) =-cos 2x=f(x)， ∴f(x)是最小正周期为π的偶函数. 3.函数y=f(x)=xsin x的部分图象是(　　) 答案　A 解析　∵f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x)， ∴函数是偶函数，排除B，D；当x取趋近于0的正数时，f(x)>0，排除C，故选A. 4.(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是(　　) A.y=|sin x| B.y=sin 2x C.y=sin D.y=cosx 答案　AC 解析　A中，由y=|sin x|的图象知， y=|sin x|是周期为π的偶函数，所以A正确； B中，函数为奇函数，所以B不正确； C中，y=sin=cos 2x为偶函数，T=π， 所以C正确； D中，函数y=cosx，T=4π，所以D不正确. 5.(多选)若y=asin x+b的最大值为3，最小值为1，则ab的值可以为(　　) A.2 B.-2 C.0 D.-1 答案　AB 解析　当a>0时得 所以ab=2. 当a<0时得 所以ab=-2， 综上所述，ab=±2. 6.函数y=cos2x+sin x的最大值为(　　) A.2 B. C.1 D.0 答案　B 解析　y=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x， 令t=sin x，t∈[-1，1]， y=-t2+t+1=-+ 当t=时，ymax=. 7.(5分)设函数f(x)=x3cos x+1，若f(a)=11，则f(-a)=　　　　.  答案　-9 解析　令g(x)=x3cos x， ∴g(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cos x =-g(x)， ∴g(x)为奇函数，又f(x)=g(x)+1， ∴f(a)=g(a)+1=11，g(a)=10， ∴f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-9. 8.(5分)函数f(x)=lg cos x+的定义域为　　　　　　　　.  答案　∪∪ 解析　由题意得x满足不等式组 即 作出y=cos x的图象，如图所示. 结合图象可得函数的定义域为 ∪∪. 9.(10分)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=2cos；(5分) (2)f(x)=cos x-x3sin x.(5分) 解　(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称， ∵f(x)=2cos=2cos =-2sinx， 又f(-x)=-2sin =2sinx=-f(x). ∴f(x)为奇函数. (2)f(x)的定义域为R，关于原点对称， ∵f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x) =cos x-x3sin x=f(x)，∴f(x)为偶函数. 10.(10分)已知函数f(x)=. (1)求函数f(x)的定义域并判断它的奇偶性；(6分) (2)求函数f(x)的最小正周期.(4分) 解　(1)由cos x+1≠0，得x≠2kπ+π，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，x≠2kπ+π，k∈Z}. f(x)== == =2-cos x. 因为f(-x)=f(x)，且函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，所以函数f(x)为偶函数. (2)因为f(x)=2-cos x(x≠2kπ+π，k∈Z)， 所以f(x)的最小正周期为2π. 11.(多选)已知y=2sin(4x+φ)+B为偶函数，则φ和B的可能取值分别为(　　) A.0 B.-2 C.0 D.π，-2 答案　ABC 解析　因为y=2sin(4x+φ)+B为偶函数， 所以2sin(-4x+φ)+B=2sin(4x+φ)+B， 则-4x+φ+4x+φ=π+2kπ，k∈Z， 所以φ=+kπ，k∈Z，B为任意实数， 故A，B，C选项符合题意. 12.设函数f(x)=2sin.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1-x2|的最小值为(　　) A.4 B.2 C.1 D. 答案　B 解析　依题意得f(x1)是f(x)的最小值，f(x2)是f(x)的最大值.因此|x1-x2|min=T=×=2. 13.已知函数f(x)=sin x，g(x)=cos x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 答案　C 解析　选项A，因为f(x)g(x)=sin xcos x的定义域为R， 且f(-x)g(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x)g(x)， 所以f(x)g(x)是奇函数，故A错误； 选项B，因为|f(x)|g(x)=|sin x|cos x的定义域为R， 且|f(-x)|g(-x)=|sin(-x)|cos(-x)=|sin x|cos x=|f(x)|g(x)， 所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B错误； 选项C，因为f(x)|g(x)|=sin x|cos x|的定义域为R， 且f(-x)|g(-x)|=sin(-x)|cos(-x)|=-sin x|cos x|=-f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C正确； 选项D，因为|f(x)g(x)|=|sin xcos x|的定义域为R， 且|f(-x)g(-x)|=|sin(-x)cos(-x)|=|sin xcos x|=|f(x)g(x)|， 所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D错误. 14.(5分)函数y=sin x的定义域为[a，b]，值域为则b-a的最大值与最小值之和为　　　　.  答案　2π 解析　作出函数y=sin x的图象，如图所示.由图可知， b-a的最大值为-=b-a的最小值为-=. 所以最大值与最小值之和为+=2π. 15.(5分)函数y=的值域为　　　　.  答案　 解析　方法一　由题意得sin x+1≠0，即sin x≠-1.y===1-. ∵sin x+1∈(0，2]，∴∈. ∴当sin x=1时，ymax=- 故该函数的值域为. 方法二　由题意得sin x+1≠0，即sin x≠-1.又由y=得(sin x+1)y=sin x-2， 即(1-y)sin x=y+2，显然y≠1，∴sin x=. ∵-1<sin x≤1，∴-1<≤1， 解得y≤-即函数的值域为. 16.(12分)若cos2θ+2msin θ-2m-2<0恒成立，求实数m的取值范围. 解　因为cos2θ+2msin θ-2m-2<0， 即sin2θ-2msin θ+2m+1>0恒成立， 令t=sin θ， 则t∈[-1，1]，所以不等式可化为 2m(t-1)<t2+1，t∈[-1，1]恒成立， 当t=1时，不等式变为0<2恒成立，所以m∈R； 当t∈[-1，1)时，不等式可化为2m>==2-恒成立， 因为2-≤2-2 当且仅当1-t=即t=1-时等号成立， 所以2m>2-2解得m>1- 所以实数m的取值范围是(1-+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $