第5章 §5.4 第2课时 奇偶性的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学函数奇偶性的应用，系统梳理根据奇偶性求对称区间解析式、结合单调性比较大小和解不等式的核心知识点。通过定义回顾搭建基础，以例题（如已知x>0时解析式求x<0时解析式）、延伸探究（奇偶性条件变化）、跟踪训练形成从理论到应用的学习支架。 该资料以问题驱动（如“奇函数在对称区间单调性如何”）引导学生用数学眼光观察函数性质，通过例题变式（如奇函数改偶函数）培养数学思维中的推理能力，课时对点练分层设计，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

第2课时　奇偶性的应用 学习目标　1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式. 一、根据奇偶性求函数的解析式 用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点对称的区间[-b，-a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x)，从而解出f(x). 例1　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，求f(x)的解析式. 解　当x<0时，-x>0， f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)=-f(-x)， 所以f(x)=-x2-2x-3. 即当x<0时，f(x)=-x2-2x-3. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)=0.故f(x)= 延伸探究1　在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式. 解　当x<0时，-x>0， f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3， 由于f(x)是偶函数，故f(x)=f(-x)， 所以f(x)=x2+2x+3. 即当x<0时，f(x)=x2+2x+3. (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=求函数f(x)，g(x)的解析式. 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)， 由f(x)+g(x)= ① 用-x代替①式中的x， 得f(-x)+g(-x)= ∴f(x)-g(x)= ② (①+②)÷2，得f(x)=(x≠±1)； (①-②)÷2，得g(x)=(x≠±1). 反思感悟　(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为-x，此时-x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式. (2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为-x，构造方程组求解. 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)=0，但若为偶函数，未必有f(0)=0. 跟踪训练　(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=-x2-x，求函数f(x)的解析式. 解　设x>0，则-x<0， 则f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x. 又f(x)是R上的奇函数， ∴f(x)=-f(-x)=x2-x. 又∵函数定义域为R， ∴f(0)=0， 综上可知f(x)= (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=x2+2x，求函数f(x)，g(x)的解析式. 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)， 由f(x)+g(x)=2x+x2， ① 用-x代替x，得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2， ∴f(x)-g(x)=-2x+x2， ② (①+②)÷2，得f(x)=x2； (①-②)÷2，得g(x)=2x. 二、利用奇偶性与单调性比较大小 问题　想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(-2，-1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(-2，-1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？ 提示　奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增. 知识梳理　函数的奇偶性与单调性 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. 例2　已知f(x)是奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则f(-0.5)，f(-1)，f(0)的大小关系是(　　) A.f(-0.5)<f(0)<f(-1) B.f(-1)<f(-0.5)<f(0) C.f(0)<f(-0.5)<f(-1) D.f(-1)<f(0)<f(-0.5) 答案　B 解析　∵函数f(x)为奇函数， 且f(x)在区间[0，+∞)上单调递增， ∴f(x)在R上单调递增， ∴f(-1)<f(-0.5)<f(0). 延伸探究2　把条件“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数”，其余条件不变. (1)比较f(-0.5)，f(-1)，f(0)三者之间的大小； (2)比较f(-2)，f(π)，f(-3)三者之间的大小. 解　(1)由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞)，f(x)单调递增， 则当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减， ∴f(-1)>f(-0.5)>f(0). (2)由(1)知当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减， 故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小， ∵|-2|<|-3|<π， ∴f(π)>f(-3)>f(-2). 反思感悟　比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上 (1)若在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小. (2)若不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 三、利用单调性与奇偶性解不等式 例3　设定义在[-2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)<f(m)，求实数m的取值范围. 解　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上单调递减，所以f(x)在[-2，2]上单调递减. 所以不等式f(1-m)<f(m)等价于 解得-1≤m<. 所以实数m的取值范围为. 延伸探究3　在本例中，把条件“奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减”改为“偶函数f(x)在区间[-2，0]上单调递减”，其余不变，求实数m的取值范围. 解　因为f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)=f(|x|)， 所以不等式f(1-m)<f(m)等价于f(|1-m|)<f(|m|)， 因为f(x)在区间[-2，0]上单调递减，所以f(x)在[0，2]上单调递增， 所以解得<m≤2. 所以实数m的取值范围为. 反思感悟　利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； (2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题. 提醒：(1)在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如0=f(1)，f(x-1)<0，则f(x-1)<f(1)，并注意偶函数f(x)中结论f(x)=f(|x|)的灵活运用. (2)列不等式(组)时不要忘掉函数定义域. 1.知识清单： (1)根据奇偶性求函数的解析式. (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式. 2.方法归纳：转化法、数形结合法. 3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.设函数f(x)=若f(x)是奇函数，则g(-2)等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案　B 解析　由已知可得g(-2)=f(-2)=-f(2)=-(22-2×2)=0. 2.已知函数f(x)是R上的奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递减，则下列结论正确的是(　　) A.f(2)<f(-1)<f(0) B.f(2)<f(0)<f(-1) C.f(-1)<f(0)<f(2) D.f(0)<f(-1)<f(2) 答案　B 解析　因为f(x)是R上的奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递减， 则f(x)在(-∞，0]上也单调递减， 所以f(x)在R上单调递减， 因为-1<0<2，所以f(2)<f(0)<f(-1). 3.如果奇函数f(x)在区间[-3，-1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上(　　) A.单调递增且最小值为-5 B.单调递增且最大值为-5 C.单调递减且最小值为-5 D.单调递减且最大值为-5 答案　A 解析　∵f(x)为奇函数， ∴f(x)在[1，3]上的单调性与[-3，-1]上的一致，则在[1，3]上f(1)为最小值， 又已知f(-1)=5，∴f(-1)=-f(1)=5， ∴f(1)=-5. 4.奇函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，且f(2)=3，则满足-3≤f(1-x)≤3的x的取值范围是(　　) A.[0，2] B.[-1，3] C.[-2，0] D.[-1，5] 答案　B 解析　由f(x)为奇函数， 得f(-2)=-f(2)=-3，且f(0)=0， 所以不等式-3≤f(1-x)≤3等价于f(-2)≤f(1-x)≤f(2). 根据已知f(x)在[0，+∞)上单调递增，以及奇函数的对称性， 可知f(x)在R上单调递增， 所以-2≤1-x≤2，解得-1≤x≤3. 5.函数f(x)=的图象大致为(　　) 答案　A 解析　f(x)的定义域为R， ∵f(-x)===f(x)， ∴f(x)为偶函数，排除B，D， 又∵f(x)≥0，故选A. 6.(多选)奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域均为R，在区间(a，b)上都单调递增，则(　　) A.0∉(a，b) B.f(x)在区间(-b，-a)上单调递增，g(x)在区间(-b，-a)上单调递减 C.f(x)g(x)是奇函数，且在区间(a，b)上单调递增 D.f(x)-g(x)不具有奇偶性，且在区间(a，b)上的单调性不确定 答案　ABD 解析　对于A，若0∈(a，b)，因为g(x)为偶函数，则函数g(x)在区间(a，0)和区间(0，b)上的单调性相反， 与函数g(x)在区间(a，b)上单调递增矛盾，所以0∉(a，b)，故A正确； 对于B，因为奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域均为R，在区间(a，b)上都单调递增， 根据奇函数和偶函数图象的性质，则f(x)在区间(-b，-a)上单调递增，g(x)在区间(-b，-a)上单调递减，故B正确； 对于C，令f(x)=x，g(x)=-x2，则f(x)g(x)=-x3在R上为减函数，故C错误； 对于D，设F(x)=f(x)-g(x)，其定义域为R， 由题意得f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)， 则F(-x)=f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)， 所以f(x)-g(x)不具有奇偶性. 因为f(x)在区间(a，b)上单调递增， 而g(x)在区间(a，b)上单调递增， 则-g(x)在区间(a，b)上单调递减， 所以F(x)=f(x)-g(x)在区间(a，b)上的单调性不确定，故D正确. 7.(5分)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-4x，那么，不等式f(x)<5的解集是　　　　　.  答案　(-5，5) 解析　当x≥0时，令x2-4x<5，即x2-4x-5=(x-5)(x+1)<0， 解得-1<x<5，又x≥0，故0≤x<5. 又f(x)是定义域为R的偶函数， 故f(x)<5的解集是(-5，5). 8.(5分)已知函数f(x)是定义在[-3，3]上的奇函数，当x>0时，f(x)=-x(x+1).则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　.  答案　f(x)= 解析　设-3<x<0，则3>-x>0， 则有f(-x)=x(-x+1)=-x(x-1)， 又因为f(x)=-f(-x)， 所以f(x)=x(x-1)，又f(0)=0， 所以f(x)= 9.(10分)已知f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，且f(x)在(-1，1)上单调递减，解不等式f(1-x)+f(1-2x)<0. 解　∵f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数， ∴由f(1-x)+f(1-2x)<0， 得f(1-x)<-f(1-2x)， 即f(1-x)<f(2x-1). 又∵f(x)在(-1，1)上单调递减， ∴ 解得0<x< ∴原不等式的解集为. 10.(10分)已知定义在R上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)=x2-4x+3. (1)求函数f(x)在R上的解析式；(5分) (2)若函数f(x)在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围.(5分) 解　(1)当x<0时，-x>0， f(-x)=(-x)2-4(-x)+3=x2+4x+3， 又∵f(x)为偶函数， ∴f(x)=f(-x)=x2+4x+3. ∴当x<0时，f(x)=x2+4x+3， ∴f(x)= (2)由(1)知f(x)=(x-2)2-1(x≥0)在[0，2]上单调递减，函数f(x)是偶函数. ∴f(x)=x2+4x+3(x<0)在[-2，0]上单调递增. 又∵f(x)在[-1，a-2]上单调递增， ∴[-1，a-2]⊆[-2，0]. ∴则1<a≤2， 故实数a的取值范围是(1，2]. 11.(多选)已知函数f(x)是偶函数，且在区间[0，5]上单调.若f(-4)<f(-2)，则下列不等式不成立的是(　　) A.f(-1)<f(3) B.f(2)<f(3) C.f(-3)<f(5) D.f(0)>f(1) 答案　ABC 解析　由题意可得，函数f(x)在区间[-5，0]上也单调，再根据f(-4)<f(-2)，可得函数f(x)在区间[-5，0]上单调递增，所以函数f(x)在区间[0，5]上单调递减，故f(-1)=f(1)>f(3)，f(2)>f(3)，f(-3)=f(3)>f(5)，f(0)>f(1). 12.设奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(1)=0，则不等式<0的解集为(　　) A.(-1，0)∪(1，+∞) B.(-∞，-1)∪(0，1) C.(-∞，-1)∪(1，+∞) D.(-1，0)∪(0，1) 答案　C 解析　∵f(x)为奇函数<0， ∴<0， ∵f(x)在(0，+∞)上单调递减且f(1)=0， ∴当x>1时，f(x)<0<0. ∵奇函数图象关于原点对称， ∴f(x)在(-∞，0)上单调递减且f(-1)=0， ∴当x<-1时，f(x)>0<0. 综上，所求不等式的解集为(-∞，-1)∪(1，+∞). 13.(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3，则(　　) A.[f(x)]2-3g(x)是偶函数 B.f(x)=-x C.g(x)=2x2+1 D.g(2)=4 答案　ABC 解析　令F(x)=[f(x)]2-3g(x)， 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 所以F(-x)=[f(-x)]2-3g(-x)=[-f(x)]2-3g(x)=[f(x)]2-3g(x)=F(x)， 所以F(x)=[f(x)]2-3g(x)是偶函数，故A正确； 因为2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3， ① 所以2f(-x)+3g(-x)=-2f(x)+3g(x)=6x2+2x+3， ② 由①②，得f(x)=-x，g(x)=2x2+1，故B，C正确； 易得g(2)=8+1=9，故D错误. 14.(5分)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x)-2.若f(m+1)<f(2-m)，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　 解析　由于f(x)是偶函数，且在[0，+∞)上单调递增， 则f(m+1)<f(2-m)⇔f(|m+1|)<f(|2-m|)⇔|m+1|<|2-m|，解得m< 所以实数m的取值范围是. 15.(5分)若函数f(x)=(t≠0)在[-2 022，2 022]上的最大值为M，最小值为N，且M+N=2 024，则实数t的值为　　　　.  答案　506 解析　由题意，f(x)=2t+x∈[-2 022，2 022]， 设g(x)=x∈[-2 022，2 022]， 其定义域关于原点对称， 则f(x)=2t+g(x)，x∈[-2 022，2 022]. 因为g(-x)==-=-g(x)， 所以g(x)=x∈[-2 022，2 022]为奇函数，其图象关于原点对称， 所以g(x)max+g(x)min=0， 所以f(x)max+f(x)min=2t+g(x)max+2t+g(x)min=4t+0=M+N=2 024， 所以t=506. 16.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x++1. (1)求f(x)在R上的解析式；(3分) (2)判断f(x)在(0，1)上的单调性，并给出证明；(3分) (3)若f(2a-1)+f(4a-3)>0，求实数a的取值范围.(6分) 解　(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)=0， 当x>0时，f(x)=x++1. ∴当x<0时，-x>0， 则f(-x)=-x-+1=-f(x)， ∴f(x)=x+-1(x<0)， ∴f(x)= (2)函数f(x)在(0，1)上单调递减，证明如下： ∀x1，x2∈(0，1)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=x1++1-x2--1 =(x1-x2)+=(x1-x2)=(x1-x2)· ∵0<x1<x2<1， ∴x1-x2<0，0<x1x2<1，x1x2-1<0， 则f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，即函数f(x)在(0，1)上单调递减. (3)由(2)同理可证f(x)在(1，+∞)上单调递增， 即f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，且当x>0时，f(x)>0，又f(x)为R上的奇函数， ∴f(x)在(-∞，-1)上单调递增，在(-1，0)上单调递减，且当x<0时，f(x)<0. ∵f(2a-1)+f(4a-3)>0，则f(2a-1)>-f(4a-3)， 即f(2a-1)>f(3-4a)， 若 即a≥则f(2a-1)>0，f(3-4a)≤0， f(2a-1)>f(3-4a)恒成立； 若 即a≤ 则f(2a-1)≤0，f(3-4a)>0， 不等式f(2a-1)>f(3-4a)显然不成立； 当<a<时，0<2a-1<0<3-4a<1，要使f(2a-1)>f(3-4a)， 则 解得<a< 综上可得<a<或a≥ 即实数a的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $