第5章 培优课 函数性质的综合问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学函数性质的综合应用，系统梳理对称性（含对称轴、对称中心条件）、奇偶性、单调性等核心知识点，通过表格归纳性质条件与结论，结合例题及跟踪训练构建从基础到综合的学习支架。 资料以知识清单与方法归纳为特色，通过数形结合、等价转化培养数学思维，例题推导严谨提升推理能力，课时对点练强化应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾强化、弥补知识盲点。

培优课　函数性质的综合问题 函数的性质是高中数学的核心内容，包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，历年来高考中函数的性质都占有非常重要的地位.命题时常常多种性质结合在一起进行考查，难度较大，技巧性比较强. 一、函数的对称性 1.函数图象关于直线对称 y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称轴 f(a+x)=f(a-x) 直线x=a f(x)=f(a-x) 直线x= f(a+x)=f(b-x) 直线x= 2.函数图象关于点对称 y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称中心 f(a-x)=-f(a+x) (a，0) f(x)=-f(a-x) f(a+x)=-f(b-x) f(a+x)+f(b-x)=c 注意点： (1)若函数f(x+a)是偶函数，则函数f(x)关于x=a对称. (2)若函数f(x+a)是奇函数，则函数f(x)关于(a，0)对称. 例1　定义在R上的偶函数y=f(x)，其图象关于点对称，且当x∈[0，1]时，f(x)=-x+则f等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D. 答案　B 解析　∵y=f(x)的图象关于点对称， ∴f+f=0， 即f(1+x)+f(-x)=0. 又∵y=f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x)， ∴f(1+x)+f(x)=0，即f(1+x)=-f(x)， ∴f=-f=0. 反思感悟　解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法 (1)图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论. (2)性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题. 注意：使用性质要规范，切不可自创性质！ 跟踪训练1　已知奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(4)+f(5)=　　　　.  答案　-1 解析　由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，由于f(x+2)为偶函数，所以f(x)关于直线x=2对称，所以f(4)+f(5)=f(0)+f(-1)=-f(1)=-1. 二、函数性质的综合问题 例2　已知函数f(x)=是定义在(-1，1)上的奇函数，且f=. (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义证明f(x)是增函数； (3)解不等式f(t-1)+f(t)<0. (1)解　根据题意得 即解得∴f(x)= 检验：此时f(-x)==-f(x)， ∴f(x)为奇函数，满足题意，∴f(x)=. (2)证明　任取x1，x2∈(-1，1)，且令x1<x2， f(x1)-f(x2)=- =. ∵-1<x1<x2<1， ∴x1-x2<0，1+>0，1+>0， 1-x1x2>0， ∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)是增函数. (3)解　f(t-1)<-f(t)=f(-t). ∵f(x)是增函数， ∴解得0<t<. ∴不等式的解集为. 反思感悟　奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域. 跟踪训练2　已知函数f(x)的定义域为(-2，2)，函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x). (1)求函数g(x)的定义域； (2)若f(x)为奇函数，并且是减函数，求不等式g(x)≤0的解集. 解　(1)由题意可知 所以解得<x< 故函数g(x)的定义域为. (2)由g(x)≤0，得f(x-1)+f(3-2x)≤0， 所以f(x-1)≤-f(3-2x). 因为f(x)为奇函数， 所以f(x-1)≤f(2x-3). 又f(x)是减函数， 所以 解得<x≤2. 所以不等式g(x)≤0的解集为. 1.知识清单： (1)函数的对称性. (2)函数性质的综合问题. 2.方法归纳：数形结合、等价转化. 3.常见误区：容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)=0. 课时对点练 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(2)的值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 答案　A 解析　由题意得f(0+2)=f(2)=f(0)=0. 2.已知f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(2，5)上(　　) A.单调递增 B.单调递减 C.不单调 D.单调性不确定 答案　B 解析　由f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x)，得m=0，所以f(x)=-x2+3，由函数f(x)=-x2+3的图象(图略)知，f(x)在区间(2，5)上单调递减. 3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)=f(4-x)，当-2≤x<0时，f(x)=则f等于(　　) A.-2 B.- C. D.2 答案　D 解析　∵f(x)=f(4-x)， ∴f(x)的图象关于直线x=2对称， ∴f=f.又∵函数f(x)为奇函数， ∴f=-f=-(-2)=2， 即f=2. 4.已知定义在R上的函数f(x)在(-∞，2)上单调递减，且f(x+2)为偶函数，则f(-1)，f(4)，f的大小关系为(　　) A.f(4)<f(-1)<f B.f(-1)<f(4)<f C.f<f(4)<f(-1) D.f(-1)<f<f(4) 答案　A 解析　函数y=f(x+2)为偶函数， 则函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称，函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称， 则f=ff(4)=f(0)， ∵f(x)在(-∞，2)上单调递减，-<-1<0， ∴f>f(-1)>f(0)， 即f(4)<f(-1)<f. 5.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是(　　) A.f(x)-1为奇函数 B.f(x)-1为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数 答案　C 解析　∵对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1， ∴令x1=x2=0，得f(0)=-1. 令x1=x，x2=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)+1. ∴f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1]， ∴f(x)+1为奇函数. 6.设定义在R上的奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0，则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为(　　) A.{x|-1<x<0或x>1} B.{x|x<-1或0<x<1} C.{x|x<-1或x>1} D.{x|-1<x<0或0<x<1} 答案　D 解析　∵奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增， f(-x)=-f(x)， x[f(x)-f(-x)]<0， ∴xf(x)<0，又f(1)=0，∴f(-1)=0， 从而有函数f(x)的大致图象如图所示. 则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为 {x|-1<x<0或0<x<1}. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.若函数y=f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是(　　) A.3个交点的横坐标之和为0 B.3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关 C.f(0)=0 D.f(0)的值与函数解析式有关 答案　AC 解析　因为函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，所以其图象关于y轴对称，所以当函数图象与x轴的交点有3个时，则必有一个交点是原点，另两个交点关于y轴对称，所以3个交点的横坐标之和为0，f(0)=0，故选项A，C正确，B，D错误. 8.已知定义域为R的函数f(x)在(-∞，-1)上单调递增，且f(x-1)为偶函数，则(　　) A.f(x)的图象关于直线x=-1对称 B.f(x)在(-1，+∞)上单调递增 C.f(1)=f(-2) D.f(-3)<f(0)<f 答案　AD 解析　因为f(x-1)为偶函数，且函数f(x)在(-∞，-1)上单调递增， 所以f(x)的图象关于直线x=-1对称，且f(x)在(-1，+∞)上单调递减，所以A正确，B不正确； 因为f(x)的图象关于直线x=-1对称，所以f(1)=f(-3)≠f(-2)，所以C不正确； 因为f(x)的图象关于直线x=-1对称， 所以f(0)=f(-2)，f=f 又f(x)在(-∞，-1)上单调递增， 所以f(-3)<f(-2)<f 即f(-3)<f(0)<f所以D正确. 9.已知定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的函数f(x)满足： ①对任意x，y∈(-∞，0)∪(0，+∞)，f(x·y)=f(x)+f(y)； ②当x>1时，f(x)>0，且f(2)=1. 则下列结论正确的是(　　) A.f(1)=f(-1)=0 B.函数f(x)是奇函数 C.函数f(x)在(0，+∞)上单调递增 D.函数f(x)在区间[-4，0)∪(0，4]上的最大值为2 答案　ACD 解析　在①中，令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，得f(1)=0， 令x=y=-1，则f(1)=f(-1)+f(-1)=0，得f(-1)=0，故A正确； 在①中，令y=-1，则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)， 又函数f(x)的定义域关于原点对称， ∴函数f(x)为偶函数，故B错误； 任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2，则>1. ∵当x>1时，f(x)>0，∴f>0， ∴f(x2)=f=f(x1)+f>f(x1)， ∴函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，故C正确； 由以上分析知函数f(x)在区间[-4，0)∪(0，4]上是偶函数，且在(0，4]上单调递增， ∴函数f(x)在区间[-4，0)∪(0，4]上的最大值为f(-4)=f(4). ∵f(2)=1，∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4，4)，且在(-4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是　　　　.  答案　(-4，-2)∪(0，2) 解析　根据f(x)为偶函数，g(x)为奇函数补全其图象(图略). 设h(x)=f(x)g(x)， 则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x) =-h(x)，所以h(x)是奇函数， 由图象可知，当-4<x<-2时，f(x)>0， g(x)<0，即h(x)<0； 当0<x<2时，f(x)<0，g(x)>0， 即h(x)<0， 所以h(x)<0的解集为(-4，-2)∪(0，2). 11.设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线x=对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=　　　　.  答案　0 解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)=0. 又f(x)的图象关于直线x=对称， ∴f=f. ① 在①式中，当x=时，f(0)=f(1)=0. 在①式中，以+x代替x，得 f=f 即f(-x)=f(1+x). ∴f(2)=f(1+1)=f(-1)=-f(1)=0， f(3)=f(1+2)=f(-2)=-f(2)=0， 同理，f(4)=f(5)=0. ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0. 12.已知函数f(x)是R上的偶函数，且对任意的x∈R有f(x+3)=-f(x)，当x∈(-3，0)时，f(x)=x+2，则f(8)=　　　　.  答案　- 解析　根据题意，函数f(x)满足f(x+6)=f(x)， 则f(8)=f(2)， 由函数f(x)为偶函数，得f(2)=f(-2). 当x∈(-3，0)时，f(x)=x+2， 则f(8)=f(2)=f(-2)=-. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0]上单调递增. (1)比较f(a2-2a+4)与f(-2)的大小；(6分) (2)若f(a)>f(a+6)，求实数a的取值范围.(7分) 解　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0]上单调递增， 则函数f(x)在[0，+∞)上单调递减. (1)由于a2-2a+4=(a-1)2+3>2， 则f(a2-2a+4)<f(2)=f(-2). (2)若f(a)>f(a+6)，即f(|a|)>f(|a+6|)， 则|a|<|a+6|，解得a>-3， 所以实数a的取值范围为(-3，+∞). 14.(14分)已知函数f(x)=是定义在(-3，3)上的奇函数，且f(1)=. (1)求实数a和b的值；(4分) (2)判断函数f(x)在(-3，3)上的单调性，并证明你的结论；(5分) (3)若f(t2-1)+f(1-4t)<0，求实数t的取值范围.(5分) 解　(1)因为函数f(x)=是定义在(-3，3)上的奇函数， 所以f(0)==0，解得b=0，则f(x)= 又因为f(1)=则=解得a=2， 经检验当a=2，b=0时，f(x)是奇函数， 所以a=2，b=0. (2)f(x)=x∈(-3，3)， 函数f(x)在(-3，3)上单调递增. 证明：任取x1，x2∈(-3，3)，x1<x2， 所以f(x1)-f(x2)=- = = = 因为-3<x1<x2<3，所以9->0，9->0，x1x2+9>0，x1-x2<0， 则<0， 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 故函数f(x)在(-3，3)上单调递增. (3)函数f(x)是定义在(-3，3)上的奇函数， 且f(t2-1)+f(1-4t)<0， 则f(t2-1)<-f(1-4t)=f(4t-1)， 因为函数f(x)在(-3，3)上单调递增， 所以则 解得0<t<1， 所以实数t的取值范围是(0，1). 学科网（北京）股份有限公司 $