第5章 §5.1 第2课时 函数的图象（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“函数的图象”核心知识点，系统构建从理解图象含义到绘制（含描点法、分段函数图象截取），再到应用（比较函数值大小、求值域）的完整学习支架，衔接函数概念与性质，夯实数形结合基础。 该资料以“龟兔赛跑”等情境激发兴趣，通过分层例题（如分段函数作图、二次函数图象应用）与延伸探究培养几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维），规范列表描点等表达（数学语言）。课中助力教师引导学生直观理解，课后通过课时对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　函数的图象 学习目标　1.理解函数图象的含义.2.会画简单的函数图象.3.能利用图象研究函数的值域. 导语 同学们，函数的图象在整个函数的学习中占据重要的地位，因为它能带领我们直观的感受变量的发生、发展过程，就好像是有了“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”，就能在我们的脑海里呈现出一幅优美的图画. 一、画函数的图象 例1　(课本例4)试画出下列函数的图象： (1)f(x)=x+1； (2)f(x)=(x-1)2+1，x∈[1，3). 解　描点作出图象，函数图象分别如图(1)和图(2)所示. 函数f(x)=(x-1)2+1，x∈[1，3)的图象为函数g(x)=(x-1)2+1，x∈R的图象上x∈[1，3)的一段.其中，点(1，1)在图象上，用实心点表示；而点(3，5)不在图象上，用空心点表示. 例1　画出下列函数的图象： (1)y=x2+x，x∈{-1，0，1，2，3}； (2)y=x2+x，x∈R； (3)y=x2+x，x∈[-1，1). 解　(1)列表： x -1 0 1 2 3 y 0 0 2 6 12 描点得该函数的图象如图①所示. (2)y=x2+x=- 故函数图象的对称轴为直线x=- 顶点为. 又y=x2+x的图象开口向上，且与x轴、y轴分别交于点(-1，0)，(0，0)，故图象如图②所示. (3)y=x2+x，x∈[-1，1)的图象是y=x2+x，x∈R的图象上x∈[-1，1)的一段，如图③所示， 其中点(-1，0)在图象上，用实心圆点表示； 点(1，2)不在图象上，用空心圆圈表示. 反思感悟　作函数y=f(x)的图象分两种类型 (1)若y=f(x)是已学过的基本初等函数，则通过描出y=f(x)的图象上的一些关键点画出y=f(x)的图象. (2)若y=f(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表、描点、连线这些基本步骤作出y=f(x)的图象. 跟踪训练1　作出下列函数的图象： (1)y=1-x(x∈Z且|x|≤2)； (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3)； (3)y=(-2≤x<1且x≠0). 解　(1)图象如图(1)所示. (2)图象如图(2)所示. (3)图象如图(3)所示. 二、由函数图象比较函数值的大小 例2　(课本例6)试画出二次函数f(x)=x2+1的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(-2)，f(1)，f(3)的大小； (2)若0<x1<x2，试比较f(x1)与f(x2)的大小. 解　函数图象如图所示. (1)根据图(1)，容易发现f(-2)=f(2)， f(1)<f(2)<f(3)， 所以f(1)<f(-2)<f(3). (2)根据图(2)容易发现，当0<x1<x2时，f(x1)<f(x2). 例2　用描点法画出函数f(x)=-x2+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小. 解　因为函数f(x)=-x2+2x+3的定义域为R，列表： x … -2 -1 0 1 2 3 4 … f(x) … -5 0 3 4 3 0 -5 … 描点，连线，得函数图象如图所示. (1)f(0)=3，f(1)=4，f(3)=0， 所以f(3)<f(0)<f(1). (2)根据图象，容易发现当x1<x2<1时， 有f(x1)<f(x2). 延伸探究1　把本例(2)中的“若x1<x2<1”改为“x2>x1>1”，其他条件不变，结果怎样？ 解　根据图象，容易发现当x2>x1>1时， 有f(x1)>f(x2). 延伸探究2　把本例(2)中的“若x1<x2<1”改为“x1<x2”，其他条件不变，结果怎样？ 解　此时要对x1，x2所处的范围分情况讨论. 根据图象，若x1<x2≤1，则f(x1)<f(x2)； 若1≤x1<x2，则f(x1)>f(x2)； 若x1<1<x2，①当1-x1>x2-1时， f(x1)<f(x2)； ②当1-x1=x2-1时，f(x1)=f(x2)； ③当1-x1<x2-1时，f(x1)>f(x2). 反思感悟　常借助函数图象解决下列问题 (1)比较函数值的大小. (2)求函数的值域. (3)求解不等式或参数范围. 三、由函数图象求函数的值域 例3　作出下列函数的图象并求出其值域. (1)y=2x+1，x∈[0，2]； (2)y=x2+2x，x∈[-2，2]. 解　(1)列表： x 0 1 2 y 1 2 3 4 5 当x∈[0，2]时，函数的图象是一次函数y=2x+1的图象的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]. (2)列表： x -2 -1 0 1 2 y 0 -1 0 3 8 当x∈[-2，2]时，函数的图象是二次函数y=x2+2x的一部分.由图象可得函数的值域是[-1，8]. 反思感悟　(1)数形结合法求函数值域要注意找函数的最高点与最低点，并注意定义域的影响. (2)求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m，n]上的值域的步骤： ①配方，找对称轴； ②判断对称轴与区间的关系； ③借助图象求值域. 跟踪训练2　已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图； (2)根据图象写出f(x)的值域. 解　(1)f(x)图象的简图如图所示. (2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1，3]， 则f(x)的值域是[-1，3]. 1.知识清单： (1)函数图象的概念. (2)函数图象的应用. (3)由函数图象求函数的值域. 2.方法归纳：数形结合法、换元法、配方法. 3.常见误区：未弄清“实”、“虚”点导致画函数图象错误. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是(　　) A.R B.(-∞，1)∪(1，+∞) C.(-∞，0)∪(0，+∞) D.(-1，0) 答案　C 解析　由题图知x≠0， 即x∈(-∞，0)∪(0，+∞). 2.函数y=x-1(x≥0)的图象是(　　) A.一条射线 B.一条线段 C.两条射线 D.一条直线 答案　A 解析　函数y=x-1为一次函数，图象为直线，但是当x≥0时，所得到的图象为一条射线. 3.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是(　　) 答案　B 解析　A中是同时到达；B中乌龟到达时，兔子还没到；C中乌龟到达时，兔子还在睡觉；D中兔子先到，乌龟后到. 4.函数y=的大致图象是(　　) 答案　A 解析　y=的定义域为{x|x≠-1}， 排除C，D；当x=0时，y=0，排除B. 5.函数f(x)=x2+x-2(-1≤x≤2)的值域为(　　) A.[-2，4] B. C. D. 答案　B 解析　作出函数y=x2+x-2，x∈[-1，2]的图象，观察图象可知值域为. 6.(多选)若函数y=f(x)的图象为如图所示的曲线m和线段n，曲线m与直线t无限接近，但永不相交，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的定义域为[-3，-1]∪[0，2] B.f(x)的值域为[1，+∞) C.在f(x)的定义域内任取一个值，总有唯一的y值与之对应 D.f(-2)>f(2) 答案　BC 解析　由题意得，定义域为(-3，-1]∪[0，2]，A错误； 由图象知f(x)的最小值为1，当x→-3时，f(x)→+∞，故值域为[1，+∞)，B正确； 由函数定义及图象可知，在f(x)的定义域内任取一个值，总有唯一的y值与之对应，C正确； 由图象可知，f(-2)<f(2)，D错误. 7.(5分)如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f =　　　. 答案　2 解析　由题意知，f(3)=1， 所以f =f(1)=2. 8.(5分)若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定义域和值域都为R，则a的值是　　　　.  答案　-1 解析　由一次函数、二次函数的图象知，f(x)为一次函数，则满足所以a=-1. 9.(10分)画出下列函数的图象： (1)y=x+1(x≤0)；(4分) (2)y=x2-x(x>1，或x<-1).(6分) 解　(1)y=x+1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)所示. (2)y=x2-x(x>1，或x<-1)的图象是二次函数y=x2-x去掉x∈[-1，1]之间的部分图象后的剩余图象.如图(2)所示. 10.(10分)画出函数f(x)=x2+2x+3的图象，根据图象回答下列问题. (1)比较f(-2)，f(1)，f(2)的大小；(3分) (2)若函数f(x)的定义域为[-2，2]，求函数的值域；(4分) (3)若x1<x2<-1，比较f(x1)与f(x2)的大小.(3分) 解　函数f(x)=x2+2x+3的图象如图所示. (1)由图象知 f(-2)<f(1)<f(2). (2)当x∈[-2，2]时，由图象知f(x)的值域为[2，11]. (3)当x1<x2<-1时，有f(x1)>f(x2). 11.已知函数f(x)=x2-3x-4的定义域是[-1，m]，值域为则m的取值范围是(　　) A.(0，4] B. C. D. 答案　B 解析　函数f(x)=x2-3x-4=-在[-1，4]上的图象如图所示，易知f(-1)=f(4)=0，f=- 由图可知，要使函数f(x)=x2-3x-4的定义域是[-1，m]，值域为 则m的取值范围是. 12.(多选)记无理数e=2.718 281 828 459 045 …小数点后第n位上的数字为m，则m是关于n的函数，记作m=f(n)，其定义域为A，值域为B，则(　　) A.f(5)=8 B.函数f(n)的图象是一群孤立的点 C.n是关于m的函数 D.B⊆A 答案　AB 解析　根据函数的定义可知，定义域A=N*， 对应关系：数位n对应数字7，1，8，2，8，1，8，2，8，…， f(5)=8，函数f(n)的图象是一群孤立的点，故A，B正确； 对于C，n不是关于m的函数，如m=8时，n可能为3，5，7，9，不符合函数的定义，故C错误； 因为0∈B，0∉A，故D错误. 13.(多选)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象不可能是(　　) 答案　BCD 解析　由二次函数的图象可知开口向上，因此a>0；对称轴为x=->0⇒b<0； 当x=0时，y=c<0. 因为c<0，所以反比例函数y=的图象在第二、四象限，则B，C不可能； 因为a>0，b<0，所以一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，故D不可能. 14.(5分)函数y=x+2的值域为　　　　　　.  答案　[0，+∞) 解析　设=t，t∈[0，+∞)，所以f(t)=t2+2t，由图象易知值域为[0，+∞). 15.一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示.某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口) 给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水也不出水. 则正确论断的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，故①正确；从题干丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量也保持不变，故③错. 16.(12分)已知函数f(x)=x2-x+是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 解　存在.理由如下： f(x)=x2-x+=(x-1)2+1的图象的对称轴为x=1，顶点为(1，1)，且开口向上. ∵m>1， ∴当x∈[1，m]时，函数图象是二次函数f(x)=(x-1)2+1的图象的一部分， ∴由函数的图象可得，要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有 ∴m2-m+=m，即m2-4m+3=0， ∴m=3或m=1(舍)， ∴存在实数m=3满足条件. 学科网（北京）股份有限公司 $