第5章 §5.4 第1课时 奇偶性的概念（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学函数奇偶性的概念，以生活对称现象为引入，通过观察函数图象特征，从直观感知到符号语言定义，构建“定义理解-判断方法-图象应用-求值计算”的学习支架，系统梳理奇偶性的核心知识。 资料特色在于以问题链驱动探究，通过表格对比函数值、图象补全活动，培养学生用数学眼光观察对称美，用数学思维抽象定义和推理判断，课中例题与延伸探究助力教师教学，课后对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第1课时　奇偶性的概念 学习目标　1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题. 导语 在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影…… 而对称美在函数中更是体现得淋漓尽致，今天我们来探究函数中的对称美. 一、函数奇偶性的概念及判断 问题1　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示　这两个函数图象都关于y轴对称. 问题2　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … g(x)=2-|x| … -1 0 1 2 1 0 -1 … 提示　可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等. 问题3　观察函数f(x)=x和g(x)=的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示　可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形. 知识梳理　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶 函 数 设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇 函 数 设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f(-x)=-f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数 关于原点对称 注意点： (1)函数的奇偶性是函数的整体性质. (2)判断函数的奇偶性应先判断定义域是否关于原点对称. (3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称. (4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0. (5)既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类，即f(x)=0，x∈A，A是关于原点对称的实数集. 例1　(课本例1)判定下列函数是否为偶函数或奇函数： (1)f(x)=x2-1； (2)f(x)=2x； (3)f(x)=2|x|； (4)f(x)=(x-1)2. 解　(1)函数f(x)=x2-1的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x)，所以函数f(x)=x2-1是偶函数. (2)函数f(x)=2x的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=2(-x)=-2x=-f(x)，所以函数f(x)=2x是奇函数. (3)函数f(x)=2|x|的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x)，所以函数f(x)=2|x|是偶函数. (4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R.因为f(1)=0，f(-1)=4，所以f(1)≠f(-1)，f(1)≠-f(-1). 因此，根据函数奇偶性定义可以知道，函数f(x)=(x-1)2既不是奇函数，也不是偶函数. 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=1-|x3|； (2)f(x)=+； (3)f(x)=； (4)f(x)=x-； (5)f(x)= 解　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(-x)=1-|-x3|=1-|x3|=f(x)， 所以f(x)为偶函数. (2)函数f(x)的定义域为{-1，1}，关于原点对称， 则f(x)=0， 又f(-x)=f(x)，且f(-x)=-f(x)， 所以f(x)既是偶函数又是奇函数. (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， 所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数. (4)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}， 关于原点对称，且f(-x)=-x-=-=-f(x)， 所以f(x)是奇函数. (5)函数f(x)的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称. 当x>0时，-x<0， f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x)； 当x<0时，-x>0， f(-x)=-x+1=f(x). 综上可知，对于x∈(-∞，0)∪(0，+∞)， 都有f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数. 反思感悟　判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数又不是偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x)，或判断f(-x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性. (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数. 跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=； (2)f(x)=x2(x2+2). 解　(1)f(x)=的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称， ∵f(-x)=-=-f(x)，∴f(x)=是奇函数. (2)f(x)=x2(x2+2)的定义域为R，关于原点对称. ∵f(-x)=f(x)， ∴f(x)=x2(x2+2)是偶函数. 二、奇、偶函数的图象及应用 例2　已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数y=f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y=f(x)的增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 解　(1)由题意作出函数图象如图. (2)据图可知，增区间为(-1，0)，(1，+∞). (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2<x<2，且x≠0}. 延伸探究1　在本例条件下，f(x)的取值范围为多少时，有四个不同的x值与之对应？ 解　结合图象可知，f(x)的取值范围是(-1，0). 延伸探究2　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 解　(1)由题意作出函数图象如图所示. (2)据图可知，增区间为(-1，1). (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为 {x|-2<x<0或x>2}. 反思感悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称. (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 三、利用函数的奇偶性求值 例3　(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是定义在[a-1，2a]上的偶函数，则a=　　　　，b=　　　　.  答案　　0 解析　∵偶函数的定义域关于原点对称， ∴a-1+2a=0，解得a= 又f(x)=x2+bx+b+1为二次函数，且为偶函数，其图象关于y轴对称， ∴b=0. (2)已知定义在R上的奇函数f(x)=则g(-1)=　　　　.  答案　-2 解析　由题意知f(x)为R上的奇函数， 所以g(-1)=f(-1)=-f(1)=-1-1=-2. (3)已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2，若f(-3)=-3，则f(3)=　　　　.  答案　7 解析　令g(x)=x7-ax5+bx3+cx， 则g(x)是奇函数， ∴f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2， 又f(-3)=-3，∴g(3)=5. 又f(3)=g(3)+2，∴f(3)=5+2=7. 反思感悟　利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 跟踪训练2　(1)设函数f(x)=为奇函数，则a=　　　　.  答案　-1 解析　因为f(x)为奇函数， 所以f(-x)=-f(x)， 即=- 显然x≠0，整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a，故a+1=0，得a=-1. (2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，+∞)时，f(x)=则f(f(-2))=　　　　.  答案　1 解析　因为f(x)为R上的偶函数，所以f(-2)=f(2)=0，所以f(f(-2))=f(0)=1. 1.知识清单： (1)函数奇偶性的概念. (2)奇函数、偶函数的图象特征. (3)利用函数的奇偶性求值. 2.方法归纳：特值法、数形结合法. 3.常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分 1.下列函数中为偶函数的是(　　) A.f(x)=x3 B.f(x)=x5 C.f(x)=x+ D.f(x)= 答案　D 解析　选项D中的函数满足f(-x)=f(x)，由偶函数的定义可知选D. 2.若f(x)=3x3+5x+a-1是定义在R上的奇函数，则a的值为(　　) A.0 B.-1 C.1 D.2 答案　C 解析　∵f(x)为R上的奇函数， ∴f(0)=0，得a=1. 3.已知y=f(x)，x∈(-a，a)，F(x)=f(x)+f(-x)，则F(x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 答案　B 解析　∵F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)， 又x∈(-a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数. 4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=x2-x，则f(1)等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　A 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(1)=-f(-1)=-. 5.函数f(x)=是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 答案　B 解析　若x是有理数，则-x也是有理数， ∴f(-x)=f(x)=1； 若x是无理数，则-x也是无理数， ∴f(-x)=f(x)=0.∴函数f(x)是偶函数. 6.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数 B.奇函数的图象一定过坐标原点 C.图象关于y轴对称的函数是偶函数 D.偶函数的图象一定与y轴相交 答案　AC 解析　图象关于坐标原点对称的函数满足f(-x)=-f(x)，所以是奇函数，即A正确； 图象关于y轴对称的函数满足f(-x)=f(x)，所以是偶函数，即C正确； 函数y=是奇函数，但其图象不过坐标原点，即B错误； 函数y=为偶函数，但与y轴不相交，即D错误. 7.(5分)已知y=f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=x2+ax，且f(3)=6，则a的值为　　　　　　，f(-2)=　　　　.  答案　5　-6 解析　因为f(x)是奇函数， 所以f(-3)=-f(3)=-6， 所以(-3)2+a(-3)=-6，解得a=5. f(-2)=(-2)2+5×(-2)=-6. 8.(5分)设奇函数f(x)的定义域为[-6，6]，当x∈[0，6]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集用区间表示为　　　　. 答案　[-6，-3)∪(0，3) 解析　由f(x)在[0，6]上的图象知， 满足f(x)<0的不等式的解集为(0，3). 又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[-6，0)上，不等式f(x)<0的解集为[-6，-3). 综上可知，不等式f(x)<0的解集为[-6，-3)∪(0，3). 9.(10分)判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=；(3分) (2)f(x)=；(3分) (3)f(x)=(4分) 解　(1)函数f(x)的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以f(x)=既不是奇函数又不是偶函数. (2)f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，1]，关于原点对称. f(-x)==-f(x)，所以f(x)为奇函数. (3)f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称， 当x>0时，-x<0， 则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)； 当x<0时，-x>0， 则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x)， 所以f(x)是偶函数. 10.(10分)(1)如图①，给出奇函数y=f(x)在y轴左侧的图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(5分) (2)如图②，给出偶函数y=f(x)在y轴左侧的图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.(5分) 解　(1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上的任一点P(-x，f(-x))关于原点的对称点为P'(x，-f(-x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)=-2. (2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上的任一点P(-x，f(-x))关于y轴的对称点为P'(x，f(-x))，图④为图②补充后的图象， 易知f(1)>f(3). 11.已知函数f(x)=a|x-2|+|x+2|，则“a=-1”是“f(x)为奇函数”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　C 解析　当a=-1时，f(x)=-|x-2|+|x+2|，其定义域为R， 则f(-x)=-|-x-2|+|-x+2|=-|x+2|+|x-2|=-f(x)， 即f(x)为奇函数； 若f(x)=a|x-2|+|x+2|为奇函数，其定义域为R， 则f(0)=2a+2=0，所以a=-1， 故“a=-1”是“f(x)为奇函数”的充要条件. 12.已知函数f(x)=ax3-bx++1满足f(-1)=2，则f(1)的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　A 解析　设g(x)=ax3-bx+ 显然，g(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称， 又∵g(-x)=-ax3+bx-=-g(x)， ∴g(x)是奇函数， 由题设可得f(-1)=g(-1)+1=2， 则g(-1)=1，于是f(1)=g(1)+1=-g(-1)+1=-1+1=0. 13.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中不正确的是(　　) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 答案　ABD 解析　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数. 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|是偶函数. 14.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=4x-x2，则下列说法中错误的是(　　) A.f(x)的单调递增区间为(-∞，-2]∪[0，2] B.f(-π)<f(5) C.f(x)的最大值为4 D.f(x)>0的解集为(-4，4) 答案　ABD 解析　两个单调区间中间要用“和”或“，”分开，故A错误； 因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(-π)=f(π)，又f(x)在[2，+∞)上单调递减，则f(-π)>f(5)，故B错误； 当x≥0时，f(x)=4x-x2=-(x-2)2+4，f(x)的最大值为4， 又f(x)是偶函数，所以f(x)的最大值为4，故C正确； 如图所示，f(x)>0的解集为(-4，0)∪(0，4)，故D错误. 15.已知函数f(x)=(x+2)3+x，若f(a)+f(b)=-4，则a+b等于(　　) A.-4 B.-2 C.0 D.4 答案　A 解析　由f(x)=(x+2)3+x+2-2，定义域为R， 令g(x)=f(x-2)+2，则g(x)=x3+x为奇函数， 则f(x)+2=g(x+2)， 由f(a)+f(b)=-4可得，f(a)+2=-f(b)-2=-[f(b)+2]， 即g(a+2)=-g(b+2)=g(-b-2)， 所以a+2=-b-2，即a+b=-4. 16.(12分)定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意的x，y∈(-1，1)，都有f(y)-f(x)=f且当x∈(-1，0)时，f(x)<0. (1)求证：f(x)是奇函数；(5分) (2)判断f+f的正负，并说明理由.(7分) (1)证明　因为函数f(x)的定义域为(-1，1)， 令x=y=0，得f(0)-f(0)=f(0)，即f(0)=0， 令y=0，得f(0)-f(x)=f(-x)，即-f(x)=f(-x)， 所以f(x)在(-1，1)上为奇函数. (2)解　f+f>0，理由如下： 因为f(x)在(-1，1)上为奇函数， 则f+f=f-f=f=f=-f 又当x∈(-1，0)时，f(x)<0，即f<0， 所以f+f=-f>0. 学科网（北京）股份有限公司 $