第4章 4.2.1 对数的概念（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本高中数学讲义聚焦对数的概念这一核心知识点，从指数方程求解的现实问题切入，系统构建对数定义、常用对数与自然对数的概念体系，通过指数式与对数式互化、对数计算及性质应用形成递进式学习支架。 资料以问题链引导学生用数学眼光发现指数方程求解需求，通过定义辨析与互化推理培养数学思维，借助例题变式与分层练习强化数学语言表达。课中助力概念建构，课后通过对点训练帮助学生查漏补缺，提升对数运算能力。

4.2.1　对数的概念 学习目标　1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值. 导语 我们知道若2x=4，则x=2；若3x=81，则x=4；若=128，则x=-7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x=3，1.11x=2，10x=5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，这节课我们就一起来看看如何解决这一问题的. 一、指数式与对数式的互化 1.一般地，如果ab=N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN=b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数.如图所示： 2.两类特殊对数 (1)通常将以10为底的对数称为常用对数，对数log10N简记为lg N. (2)以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，正数N的自然对数logeN一般简记为ln N. 注意点： (1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数b、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换，即在对数式中，a>0，且a≠1，N>0. (2)logaN的读法：以a为底N的对数. 例1　(1)(课本例1)将下列指数式改写成对数式： ①24=16； ②3-3=； ③5a=20； ④=0.45. 解　①log216=4. ②log3=-3. ③log520=a. ④lo0.45=b. (2)(课本例2)将下列对数式改写成指数式： ①log5125=3； ②lo3=-2； ③log10a=-1.699. 解　①53=125. ②=3. ③10-1.699=a. 例1　将下列对数式化为指数式或将指数式转化为对数式： (1)33=27；(2)lo8=-3； (3)5a=16；(4)log5a=20. 解　(1)∵33=27，∴log327=3. (2)∵lo8=-3，∴=8. (3)∵5a=16，∴log516=a. (4)∵log5a=20，∴520=a. 反思感悟　指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 跟踪训练1　将下列对数式化为指数式或将指数式转化为对数式： (1)3-2=；(2)=125； (3)lo27=-3； (4)lo64=-6(x>0，且x≠1). 解　(1)log3=-2. (2)lo125=-3. (3)=27. (4)()-6=64(x>0，且x≠1). 二、对数的计算 例2　(课本例3)求下列各式的值： (1)log264； (2)log927. 解　(1)由26=64，得log264=6. (2)设x=log927，则根据对数的定义知9x=27，即32x=33， 得2x=3，x=所以log927=. 例2　(1)求下列各式的值. ①log981=　　　　；  ②log0.41=　　　　；  ③ln e2=　　　　.  答案　①2　②0　③2 解析　①设log981=x，所以9x=81=92， 故x=2，即log981=2. ②设log0.41=x，所以0.4x=1=0.40， 故x=0，即log0.41=0. ③设ln e2=x， 所以ex=e2，故x=2，即ln e2=2. (2)求下列各式中x的值. ①log27x=-；②logx16=-4. 解　①由log27x=- 得x=2==3-2=. ②由logx16=-4，得x-4=16， 即x4== 又x>0，且x≠1，∴x=. 反思感悟　求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤 (1)设logaN=m. (2)将logaN=m写成指数式am=N. (3)将N写成以a为底的指数幂N=ab，则m=b，即logaN=b. 跟踪训练2　求下列各式的值： (1)log28；(2)log9；(3)ln e；(4)lg 100. 解　(1)设log28=x，则2x=8=23. ∴x=3.∴log28=3. (2)设log9=x，则9x==9-1， ∴x=-1.∴log9=-1. (3)设ln e=x，则ex=e， ∴x=1，∴ln e=1. (4)设lg 100=x，则10x=100=102， ∴x=2， ∴lg 100=2. 三、利用对数的性质求值 对数的性质 (1)loga1=0(a>0，a≠1). (2)logaa=1(a>0，a≠1). (3)零和负数没有对数. (4)对数恒等式：=N； logaax=x(a>0，a≠1，N>0). 例3　求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)=0； (2)log3(lg x)=1； (3)x=. 解　(1)∵log2(log5x)=0， ∴log5x=20=1， ∴x=51=5. (2)∵log3(lg x)=1， ∴lg x=31=3， ∴x=103=1 000. (3)x==7÷=7÷5=. 反思感悟　利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算. (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解. 跟踪训练3　求下列各式中x的值. (1)log8[log7(log2x)]=0； (2)log2[log3(log2x)]=1. 解　(1)由log8[log7(log2x)]=0， 得log7(log2x)=1，即log2x=7， ∴x=27. (2)由log2[log3(log2x)]=1， 得log3(log2x)=2， ∴log2x=32=9，∴x=29. 1.知识清单： (1)对数的概念. (2)自然对数、常用对数. (3)指数式与对数式的互化. (4)对数的性质. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.lg 10 000等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 2.已知logx16=2，则x等于(　　) A.4 B.±4 C.256 D.2 答案　A 解析　logx16=2改写成指数式为x2=16，但x作为对数的底数，必须取正值，∴x=4. 3.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为(　　) A.a>且a≠1 B.0<a< C.a>0，且a≠1 D.a< 答案　B 解析　由题意知解得0<a<. 4.方程=的解是(　　) A.9 B. C. D. 答案　D 解析　∵==2-2，∴log3x=-2， ∴x=3-2=. 5.(多选)下列等式正确的有(　　) A.lg(lg 10)=0 B.lg(ln e)=0 C.若lg x=10，则x=10 D.若ln x=e，则x=ee 答案　ABD 解析　A项，lg(lg 10)=lg 1=0； B项，lg(ln e)=lg 1=0； C项，若lg x=10，则x=1010； D项，若ln x=e，则x=ee. 6.设a=log525，b=lgc=则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 答案　C 解析　a=log525=2，b=lg=-1，c===42=16， 所以b<a<c. 7.(5分)-2-lg 0.01+ln e3=　　　　.  答案　0 解析　-2-lg 0.01+ln e3=4-(33-lg 10-2+3=4-32-(-2)+3=0. 8.(5分)若a=log23，则2a+2-a=　　　　.  答案　 解析　∵a=log23，∴2a==3， ∴2a+2-a=2a+=3+=. 9.(12分)将下列指数式、对数式互化. (1)35=243；(3分)(2)2-5=；(3分) (3)lo81=-4；(3分)(4)log2128=7.(3分) 解　(1)log3243=5. (2)log2=-5. (3)=81. (4)27=128. 10.(10分)若lox=m，loy=m+2，求的值. 解　∵lox=m，∴=x，x2=. ∵loy=m+2，∴=y，y=. ∴====16. 11.已知x2+y2-4x-2y+5=0，则logxyx的值是(　　) A.1 B.0 C.x D.y 答案　B 解析　由x2+y2-4x-2y+5=0， 得(x-2)2+(y-1)2=0，∴x=2，y=1， ∴logxyx=log212=0. 12.(多选)下列命题正确的是(　　) A.若lox=3，则x=2 B.若logx=-则x=64 C.若=则x=4 D.若lob2=1，则a=b 答案　AB 解析　由lox=3，得x=()3=2则A正确；由logx=-得==2-4， 则(=x，所以x=(2-4=26=64，则B正确； 由3-2=得log3=-2，所以x-2=即x=2或x=-2，则C不正确； D中，a，b可能互为相反数. 13.(5分)若a=lg 2，b=lg 3，则的值为　　　　. 答案　 解析　∵a=lg 2，∴10a=2.∵b=lg 3， ∴10b=3.∴10===. 14.(5分)若log(1-x)(1+x)2=1，则x=　　　　.  答案　-3 解析　由log(1-x)(1+x)2=1，得(1+x)2=1-x， ∴x2+3x=0，∴x=0或x=-3. 又∴x=-3. 15.已知正实数a，b满足ba=4，且a+log2b=3，则a+2b的值可以为(　　) A.6或9 B.7或8 C.6 D.8 答案　A 解析　因为a+log2b=3，所以log2b=3-a， 所以b=23-a， 所以ba=(23-a)a==4=22， 所以-a2+3a=2，即a2-3a+2=0，解得a=1或a=2， 当a=1时，b=4，则a+2b=9；当a=2时，b=2，则a+2b=6. 16.(11分)若log2[lo(log2x)]=log3[lo(log3y)]=log5[lo(log5z)]=0，试确定x，y，z的大小关系. 解　由log2[lo(log2x)]=0， 得lo(log2x)=1，log2x=即x=. 同理y=z=. ∵y===x=== ∴y>x. 又x===3z===2 ∴x>z，∴y>x>z. 学科网（北京）股份有限公司 $