第2章 §2.2 充分条件、必要条件、充要条件（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦充分条件、必要条件、充要条件核心知识点，从“若p则q”形式命题切入，通过“绳锯木断”等情境问题引入，结合表格梳理真假命题推出关系，逐步延伸至充要条件判定及与判定定理、性质定理的联系，构建完整知识支架。 该资料以生活情境激发数学眼光，通过定义法、集合法等培养推理思维，例题与跟踪训练结合提升数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后课时对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

学习目标　1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系.3.理解充要条件的意义,会判断一些简单的充要条件问题. 导语 一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p,则q”“如果p,那么q”等形式.其中p称为命题的条件,q称为命题的结论.下面我们将进一步探究“若p,则q”形式的命题中p和q的关系. 一、充分条件与必要条件 问题1　如何理解“绳锯木断”“水滴石穿”？“木断”是否一定是因为“绳锯”？“石穿”是否一定是因为“水滴”？ 提示　“绳锯”可以导致“木断”,使“木断”的方法有很多,可以是电锯锯断,也许是直接掰断,也许是因为“绳锯”；同样“水滴”可以导致“石穿”,使“石穿”的方法也有很多,“水滴”只是其中的一种方式.正所谓“滴水能把石穿透,学习功到自然成”. 知识梳理　充分条件与必要条件 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题 推出 关系 p⇒q(读作p推出q) pq(读作p不能推出q) 条件 关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 注意点： (1)前提p⇒q,有方向,条件在前,结论在后. (2)如果p⇒q,那么称p是q的充分条件或q是p的必要条件. (3)改变说法,“p是q的充分条件”还可以换成“q的一个充分条件是p”；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”. (4)充分、必要条件不唯一. 例1　(1)(课本例1)下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有哪些？ ①p：x=2,q：x2-x-2=0； ②p：四边形的对角线相等,q：四边形是正方形； ③p：同位角相等,q：两条直线平行； ④p：四边形是平行四边形,q：四边形的对角线互相平分. 解　①因为p⇒q,所以p是q的充分条件. ②因为pq,所以p不是q的充分条件. ③因为p⇒q,所以p是q的充分条件. ④因为p⇒q,所以p是q的充分条件. (2)(课本例2)下列所给的各组p,q中,p是q的必要条件的有哪些？ ①p：|x|=1,q：x=1； ②p：两个直角三角形全等,q：两个直角三角形的斜边相等； ③p：同位角相等,q：两条直线平行； ④p：四边形是平行四边形,q：四边形的对角线互相平分. 解　①因为q⇒p,所以p是q的必要条件. ②因为qp,所以p不是q的必要条件. ③因为q⇒p,所以p是q的必要条件. ④因为q⇒p,所以p是q的必要条件. 例1　(1)下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有哪些？ ①p：a∈Q,q：a∈R； ②已知x,y∈R,p：x=1,q：(x-1)(x-2)=0； ③已知x∈R,p：x>2,q：x>4. 解　①由于QR,所以p⇒q,所以p是q的充分条件. ②由x=1⇒(x-1)(x-2)=0,所以p是q的充分条件. ③方法一　由x>2x>4,所以p不是q的充分条件. 方法二　设集合A={x|x>2},B={x|x>4}, 所以B⊆A,所以p不是q的充分条件. (2)下列所给的各组p,q中,q是p的必要条件的有哪些？ ①在△ABC中,p：∠B与∠C互余,q：△ABC为直角三角形； ②p：|x|>2,q：x>2. 解　①因为∠B+∠C=90°, 所以∠A=90°,所以△ABC为直角三角形, 所以p⇒q,所以q是p的必要条件. ②因为当|x|>2时,x>2或x<-2, 所以pq, 所以q不是p的必要条件. 反思感悟　充分条件或必要条件的判断方法 (1)若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)若p对应的集合为A,q对应的集合为B,A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. 跟踪训练1　下列所给的各组p,q中,分析p与q的关系. (1)p：α为锐角,q：α=45°； (2)p：x+1=0,q：(x+1)(x-2)=0. 解　(1)由于q⇒p,pq,故p是q的必要条件,q是p的充分条件. (2)由于p⇒q,qp,故p是q的充分条件,q是p的必要条件. 二、充要条件 问题2　下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题是真命题？如果条件和结论互换,这些命题的真假又是怎样的呢？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则ac<0； (4)若A∪B是空集,则A与B均是空集. 提示　上述命题中的命题(1)(4)是真命题,条件和结论互换后仍是真命题；命题(2)是真命题,但条件和结论互换后是假命题；命题(3)是假命题,但条件和结论互换后是真命题. 知识梳理 1.一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q的充要条件,也称q的充要条件是p. 2.如果p是q的充要条件,就记作p⇔q,称为“p与q等价”,或“p等价于q”. 注意点： (1)如果p⇒q且qp,则称p是q的充分且不必要条件. (2)如果pq且q⇒p,则称p是q的必要且不充分条件. (3)如果pq且qp,则称p是q的既不充分又不必要条件. (4)“⇒”和“⇔”具有传递性,即如果p⇒q,q⇒s,那么p⇒s；如果p⇔q,q⇔s,那么p⇔s. 例2　下列所给的各组p,q中,p是q的什么条件(用“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”作答). (1)p：x=1,q：x-1=； (2)p：-1≤x≤5,q：x≥-1且x≤5； (3)p：x+2≠y,q：(x+2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数. 解　(1)当x=1时,x-1=成立； 当x-1=时,x=1或x=2. 故p是q的充分且不必要条件. (2)由-1≤x≤5⇔x≥-1且x≤5, 故p是q的充要条件. (3)由q：(x+2)2≠y2, 得x+2≠y,且x+2≠-y,又p：x+2≠y, 故p是q的必要且不充分条件. (4)0是自然数,但0不是正数,故pq；又是正数,但不是自然数,故qp.故p是q的既不充分又不必要条件. 反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 跟踪训练2　下列所给的各组p,q中,p是q的什么条件(用“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”作答). (1)p：x2>0,q：x>0； (2)p：a能被6整除,q：a能被3整除； (3)p：两个角不都是直角,q：两个角不相等； (4)p：A∩B=A,q：∁UB⊆∁UA. 解　(1)p：x2>0, 则x>0或x<0,q：x>0, 故p是q的必要且不充分条件. (2)p：a能被6整除,故也能被3和2整除,q：a能被3整除, 故p是q的充分且不必要条件. (3)p：两个角不都是直角,这两个角可以相等, q：两个角不相等,则这两个角一定不都是直角, 故p是q的必要且不充分条件. (4)由A∩B=A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA, 故p是q的充要条件. 三、根据充要条件求参数范围 例3　已知p：-2≤x≤10,q：1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要且不充分条件,求实数m的取值范围. 解　因为p是q的必要且不充分条件, 所以q是p的充分且不必要条件, 即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10}, 故或 解得m≤3. 又m>0,则0<m≤3. 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 反思感悟　应用充分且不必要、必要且不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分且不必要条件、必要且不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 跟踪训练3　已知当a<0时,设p：3a<x<a,q：x<-4或x≥-2.若p是q的充分且不必要条件,求实数a的取值范围. 解　设A={x|3a<x<a,a<0}, B={x|x<-4,或x≥-2}. ∵p是q的充分且不必要条件, ∴AB, ∴a≤-4或3a≥-2, 即a≤-4或a≥-. 又∵a<0, ∴a≤-4或-≤a<0, 即实数a的取值范围为a≤-4或-≤a<0. 四、判定定理、性质定理与充分、必要条件 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件,性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件. 注意点： (1)判定定理是数学中一类重要的定理,阐述了结论成立的依据,也就是说判定定理给出了结论成立的充分条件. (2)性质定理同样是数学中一类重要的定理,阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质,其作用是揭示这个研究对象的某个特征,性质定理给出了结论成立的必要条件. 例4　指出下面的定理是判定定理还是性质定理,并用充分、必要条件的语言来表述. (1)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (2)正方形的对角线互相垂直且相等. 解　(1)是判定定理,用充分条件的语言表述为“一个平行四边形是正方形”的充分条件是“这个平行四边形的对角线互相垂直且相等”. (2)是性质定理,用必要条件的语言表述为“四边形的对角线互相垂直且相等”是“这个四边形为正方形”的必要条件. 反思感悟　(1)区分一个定理是判定定理还是性质定理关键是看定理阐述了结论成立的依据还是揭示了一个研究对象的某个特征,若定理阐述了结论成立的依据,则是判定定理,否则是性质定理. (2)判定定理可用充分条件的语言来表述,性质定理可用必要条件的语言来表述. 跟踪训练4　指出下面的定理是判定定理还是性质定理,并用充分、必要条件的语言来表述. (1)有一个角是直角的菱形是正方形； (2)平面四边形的外角和为360°. 解　(1)是判定定理,用充分条件的语言表述为“一个菱形是正方形”的充分条件是“这个菱形有一个角是直角”. (2)是性质定理,用必要条件的语言表述为“外角和为360°”是“平面多边形是四边形”的必要条件. 1.知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念. (2)充要条件的概念及应用. (3)充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系. 2.方法归纳：等价转化. 3.常见误区：充分条件、必要条件不唯一；条件和结论辨别不清. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共35分；多选题每小题6分,共18分 1.“m≥-1”是“m≥-2”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　由m≥-1可以推出m≥-2,但反之不成立,故“m≥-1”是“m≥-2”的充分且不必要条件. 2.下列选项中,p是q的充分条件的是(　　) A.p：a是无理数,q：a2是无理数 B.p：四边形为等腰梯形,q：四边形的对角线相等 C.p：x>2,q：x≥3 D.p：a>b,q：ac2>bc2 答案　B 解析　A中,因为a=是无理数,a2=2是有理数,所以p不是q的充分条件； B中,因为等腰梯形的对角线相等,所以p是q的充分条件； C中,因为x>2x≥3,所以p不是q的充分条件； D中,因为当c=0时,ac2=bc2,所以p不是q的充分条件. 3.使x>1成立的一个必要条件是(　　) A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2 答案　A 解析　只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出,所以使x>1成立的一个必要条件是x>0. 4.已知p：4-x≤6,q：x≥a-1,若p是q的充要条件,则(　　) A.a>-1 B.a≥-1 C.a≤-1 D.a=-1 答案　D 解析　由p：4-x≤6,得p：x≥-2,设A={x|x≥-2},B={x|x≥a-1},由p是q的充要条件,得A=B,即a-1=-2,得a=-1. 5.下列命题正确的是(　　) A.“x>3”是“x>5”的充分且不必要条件 B.“a+b=0”是“=-1”的充要条件 C.“x≠±1”是“|x|≠1”的必要且不充分条件 D.“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件 答案　D 解析　由x>5⇒x>3,所以“x>3”是“x>5”的必要且不充分条件,故A错误；当a=b=0时,a+b=0,但不存在,所以“a+b=0”不是“=-1”的充分条件, 故B错误；当x≠±1时,|x|≠1,反过来也成立,所以“x≠±1”是“|x|≠1”的充要条件, 故C错误；由A∪B=B得A⊆B,所以A∩B=A,反之,若A∩B=A,则A⊆B,进而得A∪B=B,故“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件,故D正确. 6.(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的一个充分且不必要条件是(　　) A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{-1,3,5} D.x≤0或x>2 答案　BC 解析　从集合的角度出发,在选项中判断哪个是题干中所给集合的真子集,只有B,C满足题意. 7.(5分)“x2=2x”是“x=0”的　　　　　　条件,“x=0”是“x2=2x”的　　　　　　条件(填“充分且不必要”“必要且不充分”或“充要”).  答案　必要且不充分　充分且不必要 解析　因为x=0⇒x2=2x,但x2=2x时,x=0或x=2, 所以“x2=2x”是“x=0”的必要且不充分条件, “x=0”是“x2=2x”的充分且不必要条件. 8.(5分)已知“p：x>m+3或x<m”是“q：-4<x<1”成立的必要且不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　　　　　. 答案　m≤-7或m≥1 解析　因为p是q成立的必要且不充分条件, 所以m+3≤-4或m≥1,故m≤-7或m≥1. 9.(10分)指出下列命题中,p是q的什么条件？ (1)p：x2=2x+1,q：x=；(3分) (2)p：a2+b2=0,q：a+b=0；(3分) (3)p：(x-1)2+(y-2)2=0,q：(x-1)(y-2)=0.(4分) 解　(1)∵x2=2x+1x= x=⇒x2=2x+1, ∴p是q的必要且不充分条件. (2)∵a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0, a+b=0a2+b2=0, ∴p是q的充分且不必要条件. (3)∵(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2 ⇒(x-1)(y-2)=0, 而(x-1)(y-2)=0(x-1)2+(y-2)2=0, ∴p是q的充分且不必要条件. 10.(10分)设M={x|x<-3,或x>5},N={x|-a≤x≤8},p：x∈M,q：x∈N. (1)当a=-6时,试判断p是q的什么条件；(4分) (2)若p是q的必要且不充分条件,求a的取值范围.(6分) 解　(1)当a=-6时,N={x|6≤x≤8}, 由题意得q⇒p,pq, 则p是q的必要且不充分条件. (2)由题意得NM, 当-a>8,即a<-8时,N=∅,满足题意； 当-a=8,即a=-8时,N={8},满足题意； 当-a<8,即a>-8时,N={x|-a≤x≤8}, 故-a>5,解得a<-5,即-8<a<-5. 综上所述,a的取值范围是{a|a<-5}. 11.“函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　若函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方,则Δ=4a2-4a<0,令y=4a2-4a,a∈R,由其图象(图略)可知若4a2-4a<0,则0<a<1,由集合的包含关系可知“函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的充分且不必要条件. 12.(多选)若p：x2-5x+6=0是q：ax-3=0的必要且不充分条件,则实数a的值为(　　) A.1 B. C.2 D.3 答案　AB 解析　由x2-5x+6=0,解得x=2或x=3,所以p：x=2或x=3, 因为p是q的必要且不充分条件,所以方程ax-3=0一定有解,则x=(a≠0), 所以=2或=3,解得a=或a=1. 13.(多选)设全集为S,集合A,B⊆S,下列选项中是A⊆B的充要条件的是(　　) A.A∪B=B B.∁SB⊆∁SA C.(∁SB)∩A=∅ D.(∁SA)∩B=∅ 答案　ABC 解析　当A∪B=B时,A⊆B；当A⊆B时,A∪B=B,A满足条件； 当∁SB⊆∁SA时,A⊆B；当A⊆B时,∁SB⊆∁SA,B满足条件； 当(∁SB)∩A=∅时,A⊆B；当A⊆B时(∁SB)∩A=∅,C满足条件； 当(∁SA)∩B=∅时,B⊆A,D不满足条件. 14.(5分)已知p：x<-2或x>10,q：x<1+a或x>1-a.若p是q的必要条件,则实数a的取值范围为　　　　.  答案　{a|a≤-9} 解析　∵q：x<1+a或x>1-a,∴a≤0. ∵p是q的必要条件,∴q⇒p, ∴ 解得a≤-9. 15.设m,n∈R,当mn≥0时,m⊗n=m+n；当mn<0时,m⊗n=|m+n|.例如-6⊗4=2,则“a=0,b=-1或a=-1,b=0”是“a⊗b=-1”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　当a=0,b=-1或a=-1,b=0时,ab=0, 由当mn≥0时,m⊗n=m+n知,a⊗b=-1+0=-1； 当a⊗b=-1时,根据定义可知ab≥0, 所以a+b=-1,故只要满足ab≥0且a+b=-1即可, 显然不止a=0,b=-1或a=-1,b=0这两种情况, 比如a=b=-a=-b=-等也满足, 所以“a=0,b=-1或a=-1,b=0”是“a⊗b=-1”的充分且不必要条件. 16.(12分)已知ab≠0,求证：a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是a-b=0. 提示：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 证明　充分性： 若a-b=0,则a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0, 即充分性成立； 必要性： 若a3-2a2b+2ab2-b3=0,而a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2), 则(a-b)(a2-ab+b2)=0,又a2-ab+b2=+ 由ab≠0,得a≠0且b≠0,则≥0,且>0, 因此a2-ab+b2=+>0,则a-b=0,即必要性成立, 所以a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是a-b=0. 学科网（北京）股份有限公司 $