第5章 章末复习课 统计与概率（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

该高中数学讲义通过知识网络框架图系统构建了统计与概率的单元知识体系，梳理了抽样方法的选取、用样本估计总体、古典概型等核心内容，明确各知识点的适用范围与内在逻辑，呈现重难点分布。 讲义亮点在于“知识点-例题-反思-训练”的递进设计，如分层抽样例题突出“按比例分配”方法，样本估计总体结合频率分布直方图提升数据分析素养，跟踪训练涵盖选择与解答题，助力不同层次学生掌握，为教师提供精准教学支持。

一、抽样方法的选取及应用 1.两种抽样方法的适用范围：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法；当总体中个体差异较显著时，可采用分层抽样. 2.掌握两种抽样方法，提升数据分析素养. 例1　某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑测试合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)，若用分层抽样的方法从中抽取9人进行复测，那么应从两项都合格的人中抽取(　　) A.1人 B.2人 C.5人 D.6人 答案　C 解析　由题意知，两项都不合格的有5人，两项都合格的有5+30+35-45=25(人)，仅立定跳远合格的有30-25=5(人)，仅100米跑合格的有35-25=10(人).从45人中抽取9人进行复测，则抽样比为=，故应从两项都合格的人中抽取25×=5(人). 反思感悟　分层抽样的特点是“按比例分配”，即=. 跟踪训练1　以下抽样方法为简单随机抽样的是(　　) A.在某年明信片的销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的是三等奖 B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其质量是否合格 C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解其对学校机构改革的意见 D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验 答案　D 解析　选项A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样. 二、用样本估计总体 1.为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度. 2.掌握样本数据的众数、中位数、平均数及方差的计算方法，提升数据分析和数学运算素养. 例2　某市体育部门随机抽取了200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照运动时间(单位：分钟)分成6组：[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]，并绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值； (2)求样本中体育运动时间在[50，70)内的群众人数； (3)估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数). 解　(1)由频率分布直方图可得， 10×(0.01+0.02+0.03+2a+0.01)=1， 解得a=0.015. (2)由题图可得运动时间在[50，70)内的频率为(0.03+0.015)×10=0.45， 所以样本中体育运动时间在[50，70)内的群众人数为200×0.45=90. (3)由图可知，该市群众每天体育运动时间的众数约为=55. 该市群众每天体育运动时间的平均数约为 0.01×10×35+0.02×10×45+0.03×10×55+0.015×10×65+0.015×10×75+0.01×10×85=58.5. 由题意知， 前两组的频率为0.1+0.2=0.3<0.5， 前三组的频率为0.3+0.03×10=0.6>0.5. 所以中位数在[50，60)内，设中位数为x，则0.3+ (x-50)×0.03=0.5，解得x≈56.7， 即该市群众每天体育运动时间的中位数约为56.7. 反思感悟　通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，呈现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实现对总体的估计. (1)一般情况下，需要将平均数和标准差结合，得到更多样本数据的信息，从而对总体作出较好的估计.因为平均数容易掩盖一些极端情况，使我们对总体作出片面的判断，而标准差较好地避免了极端情况. (2)若两组数据的平均数差别很大，也可以只比较平均数，估计总体的平均水平，从而作出判断. 跟踪训练2　某汽车租赁公司为了调查A型汽车与B型汽车的出租情况，现随机抽取这两种车各50辆，分别统计每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如表所示. A型汽车 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 3 30 5 7 5 B型汽车 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 10 10 15 10 5 (1)试根据上面的统计数据，判断这两种车在某个星期内的出租天数的方差的大小关系(只需写出结果)； (2)如果A型汽车与B型汽车每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车，并说明你的理由. 解　(1)由数据的离散程度，可以看出B型汽车在某个星期内出租天数的方差较大. (2)50辆A型汽车出租天数的平均数为 ==4.62， 50辆B型汽车出租天数的平均数为 ==4.8， 方案一：A型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.8，选择B型汽车的出租车的利润较大，应该购买B型汽车. 方案二：A型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.8，平均数相差不大，而B型汽车出租天数的方差较大，所以应该购买A型汽车. 三、古典概型 1.古典概型的计算关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)=求解.有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏. 2.通过古典概型判断及运算，培养逻辑推理和数学运算素养. 例3　 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率. 解　甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示. (1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的样本空间为Ω={(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)}，共包含9个样本点. 记事件M为“选出的2名教师性别相同”， 则M={(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)}，共包含4个样本点， 所以选出的2名教师性别相同的概率P(M)=. (2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的样本空间为Ω={(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共包含15个样本点. 记事件N为“从中选出的2名教师来自同一学校”则N={(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共包含6个样本点. 所以选出的2名教师来自同一学校的概率 P(N)==. 反思感悟　解决古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件总数和随机事件包含的基本事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. 跟踪训练3　甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各随机出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)若用A表示和为6的事件，求P(A)； (2)现连玩三次，若用B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件，为什么？ (3)这种游戏规则公平吗？试说明理由. 解　(1)基本事件个数与点集S={(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤5，1≤y≤5}中的元素一一对应， 所以S中点的总数为5×5=25， 所以基本事件总数n=25. 事件A包含的基本事件有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共有5个，故P(A)==. (2)B与C不是互斥事件.因为B与C可以同时发生， 如甲赢一次，乙赢两次时，B，C同时发生. (3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共13个， 所以甲赢的概率为，乙赢的概率为，两者不相等， 所以这种游戏规则不公平. 四、互斥事件与对立事件、相互独立事件的概率计算 1.互斥和对立、相互独立都是反映事件相互关系的重要概念.互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式是基本公式，必须学会正确运用.运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式可以解决复杂的概率问题. 2.使用互斥事件和对立事件、相互独立事件的概率公式求解问题，培养正难则反的思想，提高数学运算和逻辑推理的数学素养. 例4　设甲、乙、丙三台机器是否需要照看相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照看的概率为0.05，甲、丙都需要照看的概率为0.1，乙、丙都需要照看的概率为0.125. (1)分别求甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要照看的概率； (2)计算这一小时内至少有一台机器需要照看的概率. 解　记甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要照看分别为事件A，B，C，则A，B，C两两相互独立. (1)由题意得 P(AB)=P(A)P(B)=0.05， P(AC)=P(A)P(C)=0.1， P(BC)=P(B)P(C)=0.125， ∴P(A)=0.2，P(B)=0.25，P(C)=0.5， ∴甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要照看的概率分别为0.2，0.25，0.5. (2)∵A，B，C两两相互独立， ∴，，两两相互独立， ∴甲、乙、丙三台机器在这一小时内都不需要照看的概率为P()=P()P()P()=0.8×0.75×0.5=0.3， ∴这一小时内至少有一台机器需要照看的概率P=1-P()=1-0.3=0.7. 反思感悟　求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)=1-P(B)求解. 跟踪训练4　甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是，乙、丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立. (1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率； (2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求{ξ=3}的概率. 解　(1)记甲、乙、丙各自能被聘用的事件分别为A1，A2，A3，则A1，A2，A3相互独立，且满足 解得 所以乙、丙两人各自能被聘用的概率分别为，. (2)P(ξ=3)=P(A1A2A3)+P()=P(A1)P(A2)P(A3)+[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]=××+××=. 五、概率与统计的综合问题 1.概率与统计相结合，是新课程的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大. 2.借助概率与统计的综合问题，培养数据分析、数学运算等素养. 例5　某海水养殖场进行某水产品的新、旧养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各网箱中水产品的产量(单位：kg).其频率分布直方图如图： (1)根据图1的频率分布直方图，求x； (2)按照上述两个频率分布直方图，用样本频率估计总体概率，设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于60 kg，且新养殖法的箱产量不低于60 kg”，估计事件A的概率. 解　(1)由图1的频率分布直方图知 (0.012+0.014+0.024+0.034+x+0.032+0.020+0.012×2)×5=1，解得x=0.040. (2)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于60 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于60 kg”， 旧养殖法的箱产量低于60 kg的频率为1-0.012×2×5=0.88，即P(B)的估计值为0.88， 新养殖法的箱产量不低于60 kg的频率为(0.010+0.008)×5=0.09，即P(C)的估计值为0.09， 因此事件A的概率估计值为P(A)=P(B)P(C)=0.88×0.09=0.079 2. 反思感悟　(1)概率的应用问题是与统计紧密相联系的，因此要熟悉统计中的各种图表的应用，才能正确的解答概率应用问题. (2)实际问题中的概率问题，要注意首先找出事件的和与事件的积，才能正确使用互斥事件的概率加法公式与独立事件的概率乘法公式. 跟踪训练5　某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到数据统计如表和各年龄段人数的频率分布直方图： 组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率 第一组 [25，30) 120 0.6 第二组 [30，35) 195 p 第三组 [35，40) 100 0.5 第四组 [40，45) a 0.4 第五组 [45，50) 30 0.3 第六组 [50，55] 15 0.3 (1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值； (2)从年龄段在[40，50)的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率. 解　(1)第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3，所以高为=0.06.频率分布直方图如下： 第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2， 所以n==1 000. 由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3=300，所以p==0.65.第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15=150，所以a=150×0.4=60. (2)因为[40，45)岁年龄段的“低碳族”与[45，50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30=2∶1，所以采用分层抽样的方法抽取6人，在[40，45)岁的“低碳族”有4人，在[45，50)岁的“低碳族”有2人. 设[40，45)岁“低碳族”中抽的4人为a，b，c，d，[45，50)岁“低碳族”中抽的2人为m，n，则选取2人作为领队对应的样本空间Ω={(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)}，共包含15个样本点，其中恰有1人年龄在[40，45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8个样本点. 所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $