第5章 5.1.2 第1课时 最值、平均数、中位数、百分位数、众数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

5.1.2　数据的数字特征

第1课时　 最值、平均数、中位数、百分位数、众数

学习目标　1.理解数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数的意义和作用.2.会计算数据的这些数字特征，并能解决有关实际问题.

导语

某酒店打出的招聘宣传语是“本酒店待遇丰厚，平均工资是每周800元”，小强入职后工作了一段时间，发现上当了，前去质问经理：“您宣传工资一周是800元是欺诈行为，我问过其他员工了，没有一个人每周的工资超过800元.”而经理说：“我当时说的是平均周工资800元，我的周工资是3 000元，3名副经理的周工资都是1 000元，5名领班的周工资是700元，10名服务员的周工资是600元，1名清洁工的周工资是500元.”小强一听，哭笑不得.你能从数学的角度解释这种现象吗？

一、最值与平均数

问题1　若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，则平均数是多少？最高分是多少？最低分是多少？

提示　==91.5；最高分是96；最低分是87.

知识梳理

1.一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况.一般地，最大值用max表示，最小值用min表示.

2.平均数

(1)如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为=(x1+x2+…+xn)，简记为=xi.

(2)求和符号∑具有以下性质：

①(xi+yi)=xi+yi；② (kxi)=kxi；③t=nt.

(3)性质：一般地，如果x1，x2，…，xn的平均数为，且a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b.

注意点：

(1)求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计.

(2)数据同时增加或减少相同的数，平均数也随之增加或减少相同的数.

例1　(1)求一组数据：68，69，71，63，70，68，69，71，69，72的最值、平均数.

解　把所给数据从小到大排列为63，68，68，69，69，69，70，71，71，72，

则最大值为72，最小值为63.平均数为

=69.

(2)某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数为(　　)

A.85 B.86 C.87 D.88

答案　C

解析　平均数为

=87.

反思感悟　求平均数的方法

(1)用定义式；

(2)用平均数的性质；

(3)在容量为n的一组数据中，若数据x1有n1个，x2有n2个，…，xk有nk个，且n=n1+n2+…+nk，则这组数据的平均数为(n1x1+n2x2+…+nkxk)=x1+x2+…+xk.

跟踪训练1　(1)设一组数据x1，x2，…，xn的平均数为1，则数据3x1+1，3x2+1，…，3xn+1的平均数为(　　)

A.1 B.3 C.4 D.9

答案　C

解析　记数据x1，x2，…，xn的平均数为，

数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为'，

则'=

=

==a+b，

故数据3x1+1，3x2+1，…，3xn+1的平均数为3+1=3×1+1=4.

(2)已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a；x4，x5，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为(　　)

A. B. C. D.

答案　A

解析　∵x1，x2，x3的平均数为a，∴x1，x2，x3的和为3a.

∵x4，x5，…，x10的平均数为b，∴x4，x5，…，x10的和为7b.

∴样本数据的和为3a+7b，

∴样本数据的平均数为.

二、中位数与众数

问题2　若某校高二年级7个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，92，96，你能把数据从小到大排列吗？正中间的数据是多少？出现次数最多的数据是多少？

提示　87，89，90，91，92，92，96； 91；92.

知识梳理

1.中位数

如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n+1，则称xn+1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数.

2.众数

一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个.

注意点：

(1)求中位数时一定要先对数据按从小到大排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数.中位数不一定是数据中的数.

(2)若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数都一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数都一样多，则没有众数.

例2　“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交水稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是(　　)

A.24，25 B.23，23

C.23，24 D.24，24

答案　C

解析　苗高由小到大排列为23，23，23，24，25，25，26，所以这组数据的众数和中位数分别是23，24.

反思感悟　(1)众数、中位数的计算方法

计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算.

(2)众数、中位数、平均数的意义

①样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了样本数据中更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.