专题3.1 勾股定理的探究（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题3.1 勾股定理的探究 【本节预习目标】 1.通过网格割补、拼图操作探究直角三角形三边平方关系，自主归纳勾股定理，理解数形结合思想。 2.熟记勾股定理文字、符号表达式，掌握三种变形公式，能在直角三角形中已知两边求第三边。 3.掌握赵爽弦图、总统证法等面积证法，会用“算两次”面积法完成勾股定理简单证明。 4.能解决网格、生活测量、几何基础题型，结合数学文化提升几何直观与逻辑推理素养。 【前置旧知回顾】 旧知模块 核心内容 本节关联 正方形面积 正方形面积=边长平方；网格割补求不规则图形面积 探究勾股定理的核心工具，用三边正方形面积推导三边关系 平方根/无理数 开平方运算，表示无理线段长度 勾股计算结果常为无理数，数轴作无理线段的理论基础 直角三角形性质 直角三角形两锐角互余，三角形面积公式 证明、计算时构造辅助直角三角形的基础 完全平方公式 拼图证明勾股定理的代数化简依据 知识点1：勾股定理内容与变形 1.定理文字表述 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。古代称短直角为勾，长直角为股，斜边为弦，简称“勾股弦定理”。 2.符号公式与变形 在中，，直角边、，斜边： 基础式： 变形1：；变形2：；变形3： >重要前提：公式仅适用于直角三角形，斜边一定是最长边。 知识点2：勾股定理的面积证法（算两次思想） 1.证明核心思路 用两种不同方式表示同一个拼接图形的总面积，建立等式，化简推导。 2.三种经典证法对比表 证法名称 拼接图形 面积等式推导逻辑 赵爽弦图 大正方形内镶嵌4个全等直角三角形+小正方形 大正方形面积， 化简得 伽菲尔德总统证法 直角梯形，由2个全等直角三角形+1个等腰直角三角形拼成 梯形面积a+b， 化简得 毕达哥拉斯拼图 边长的大正方形分割型 大正方形面积(a+b， 化简得 知识点3：网格与数轴上的勾股应用 1.网格求线段长 格点线段横向、纵向格数为、，线段长度；网格直角三角形面积可用割补法求解。 2.数轴作无理数线段 以数轴原点直角边，构造直角三角形，斜边长度为，以原点为圆心画弧，交点即为无理数对应点。 【基础巩固题型】 【题型1】直接套用勾股求边长（定直角） 1.核心知识点 勾股定理基础公式；直角、斜边判定 2.解题方法技巧 ①先标记直角，区分直角边、与最长斜边； ②已知两直角直接用；已知斜边与一条直角边用变形公式； ③结果化简二次根式，长度只取正值。 【例题1】.（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）如图，中，，，，则____________． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 【变式题1-3】.（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在中，，，， __________． 【题型2】数轴上构造无理数线段 1.核心知识点 勾股定理；实数与数轴一一对应 2.解题方法技巧 ①拆分被开方数为两个完全数之和； ②在数轴原点作垂直短线段，构造直角三角形； ③以原点为圆心、斜边为半径画弧，交点即为目标无理数。 【例题2】.（25-26八年级下·山西大同·期末）如图．点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是1，线段与数轴垂直，且．以A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，长方形的边落在数轴上，两点在数轴上对应的数分别为和，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点E在数轴上所表示的数为（   ） A．3 B． C． D．2.2 【变式题2-2】.（25-26八年级下·陕西商洛·期末）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【变式题2-3】.（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点． (1)正方形的面积是 ，点表示的数是 ； (2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹） (3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值． 【题型3】已知两边分类求第三边（无直角标注） 1.核心知识点 斜边为最长边；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①分两种情况：已知两边均为直角边；较长边为斜边、短边为直角边； ②分别代入公式计算，两个结果均符合题意； ③舍去长度为负数的解。 【例题3】.（25-26八年级下·广东广州·期中）已知直角三角形的两边分别为6和8，则斜边上的高是（   ）． A． B． C．或 D．或 【变式题3-1】.（25-26八年级下·山西吕梁·阶段检测）已知，直角三角形中的两边为2和3，则第三边的长是（    ） A．5 B． C． D．或 【变式题3-2】.（25-26八年级下·福建厦门·期末）直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知直角三角形两边，满足，则该直角三角形面积为______． 【培优提升题型】 【题型4】梯子/竹竿跨生活情境应用题 1.核心知识点 实际模型转化；勾股建模 2.解题方法技巧 ①墙面、地面为直角，梯子为斜边，画出几何简图； ②梯子长度不变，滑动前后斜边长度相等列等式； ③结果结合生活实际，长度不取负根。 【例题4】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处C点离竹子底部A点3尺远．求折断后竹子的高度．（注：1丈=10尺） 【变式题4-1】.（25-26八年级下·福建南平·期中）要登上高的建筑物，为了安全需使用梯子，梯子底端需至少离建筑物，则梯子的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是米．梯子底端B在上，，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米，．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·贵州安顺·期末）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． (1)求钢丝绳的长度． (2)为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 【题型5】赵爽弦图相关计算（数学文化题） 1.核心知识点 弦图面积关系；完全平方公式 2.解题方法技巧 ①设直角边为、，大正方形面积，小正方形面积； ②利用建立等式； ③结合、整体代换求值。 【例题5】.（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【变式题5-3】.（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【题型6】作高构造直角三角形求面积 1.核心知识点 斜三角形化直；勾股方程思想 2.解题方法技巧 ①过三角形顶点向底边作高，设高为未知数； ②底边两段分别用含未知数式子表示，利用斜边平方列等式； ③解出高后，用求面积。 【例题6】.（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，有一块四边形的绿地，其中米，米，米，米，且，那么这块绿地的面积是______平方米． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·甘肃武威·期中）我国南宋时期数学家秦九韶提出“利用三角形的三边可以求这个三角形的面积”．他的方法大致如下：如图，，作于，此时为，的公共边，则运用勾股定理，先求，再求，从而求出的面积．若，，，请根据以上信息，求的面积． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·福建福州·期末）阅读材料，回答问题： 中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． (1)已知一个三角形的三边长分别为3，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______； (2)如图，已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，试根据勾股定理推导出秦九韶三角形面积公式；（提示：用含a，b，c的代数式表示） (3)若三角形的周长为，一边长为，求此三角形的面积的最大值． 【压轴素养题型】 【题型7】勾股定理拼图证明题 1.核心知识点 算两次面积；整式化简 2.解题方法技巧 ①分别写出整体图形面积、分割后各部分面积之和； ②建立面积相等等式，展开完全平方后消去同类项； ③规范书写化简步骤，完整推导出。 【例题7】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·广东惠州·期末）小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 【变式题7-2】.（26-27八年级·全国·暑假作业）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【变式题7-3】.（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【题型8】勾股定理新定义探究题 1.核心知识点 勾股定理；分类讨论、代数推理 2.解题方法技巧 ①读懂新定义：满足两边平方和/差与第三边关系的三角形； ②分直角、锐角、钝角三类代入平方关系验证； ③结合勾股建立方程求解边长比值。 【例题8】.（25-26八年级下·江西抚州·期中）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）通过对“勾股定理”的学习，我们知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)根据奇异三角形的定义，等边三角形_______（“是”或“不是”）奇异三角形． (2)在中，其三边长分别为，，，且，，这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·广东深圳·期末）我们定义：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形． (1)根据“奇异三角形”定义，等边三角形________奇异三角形，（填“是”或“不是”）； (2)在中，，，，，且，若是奇异三角形，求； (3)如图，以为斜边分别在的两侧作直角三角形，且，若四边形内存在点，使得，，求证：是奇异三角形． 【变式题8-3】.（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）综合与实践 【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形的研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 （1）用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有________．（填序号）； 【性质探究】 （2）乐思学习小组根据定义得出“邻等对补四边形”的边、角性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是“邻等对补四边形”，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，小组讨论后，针对此猜想做了以下证明：设，将绕着点A顺时针旋转度得到．请你补充解题思路完成对猜想的证明； 【拓展应用】 （3）某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件采用了如图2所示的“邻等对补四边形”结构．其中，主支架为13米，辅助支架为5米，支架夹角，工程师需要计算该零件四边形的材料用量，请你求出四边形的面积． 【题型9】勾股定理·数形结合最值构图探究题 1.核心知识点 勾股定理；两点之间线段最短；网格构图法；对称转化思想 2.解题方法技巧 ①将含根号代数式拆分为、形式，分别看作直角三角形斜边； ②水平线段设变量，竖直线段取固定常数，构造两条平行竖直线条搭建矩形模型； ③利用轴对称作对称点，将线段和/差转化为两点间直线距离； ④构造直角三角形，直接用勾股计算线段长度，即为代数式最值。 【例题9】.（25-26八年级下·河北邢台·期中）【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是______； (2)类比迁移：若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积； (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式的最小值． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·安徽安庆·期中）按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【变式题9-2】.（25-26八年级下·广东江门·阶段检测）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是________； (3)【感悟探索】 ①的最大值是________； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是________．（用含a，b的式子表示） ③已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·上海黄浦·期末）“数形结合”是数学中重要思想方法，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：代数式和中出现了两数平方和的形式，容易联想到直角三角形中三边之间的关系，可将看作是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，看作是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，于是，我们构造两个和（如图1），如图2，当直角边和在同一直线上且点与点重合． 这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？” (1)在图3中，代数式的最小值可用线段______的长表示，该线段的长为______． (2)若将原问题中“”改成“”，能否利用（1）的结论解决？（即求代数式的最小值）若能，请写出解答过程并求解；若不能，请说明理由． (3)请使用与（1）中类似的方法求的最大值．（请画出示意图并求解） 易错点 1、斜边判定错误：分不清最长边，将短边当作斜边代入公式，导致计算出错。 2、分类讨论遗漏：已知直角三角形两边长，未分“两边都是直角边/长边为斜边”两种情况漏解。 3、证明跳步：面积证法中省略整式化简步骤，直接写出，书写不规范扣分。 4、适用范围混淆：在锐角、钝角三角形中直接套用勾股定理，忽略定理仅适用于直角三角形。 重点 1、勾股定理基础公式与三种变形，能在直角三角形中已知两边求第三边。 2、网格线段计算、面积割补、数轴作无理线段的数形结合应用。 3、面积法（算两次）证明勾股定理的通用思路与经典弦图计算。 难点 1、直角标注时分类讨论求第三边，斜三角形作高构造直角三角形列方程。 2、弦图、勾股树、新定义探究类综合推理题型，数形结合与代数化简结合。 一、单选题 1．如图，、两地的距离为，、两地的距离为，，则、两地的距离为（     ） A． B． C． D． 2．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，图2由主题图案中相邻两个直角三角形组合而成．当时，的长为（    ） A．2 B． C． D． 3．如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至该灯5米及5米以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5米的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（     ） A．4米 B．3米 C．5米 D．7米 二、填空题 4．已知直角三角形两边长为1和，则此直角三角形斜边上的中线长是__________． 5．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，，则正方形G的面积是________． 三、解答题 7．如图，在下面数轴上标出表示的点． 8．风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 9．卸货时用斜坡木板，可以利用斜面原理实现省力搬运．如图，一辆汽车在卸货时，从车厢到地面搭了一个木板，其中，，，求木板的长． 10．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 勾股定理的探究 【本节预习目标】 1.通过网格割补、拼图操作探究直角三角形三边平方关系，自主归纳勾股定理，理解数形结合思想。 2.熟记勾股定理文字、符号表达式，掌握三种变形公式，能在直角三角形中已知两边求第三边。 3.掌握赵爽弦图、总统证法等面积证法，会用“算两次”面积法完成勾股定理简单证明。 4.能解决网格、生活测量、几何基础题型，结合数学文化提升几何直观与逻辑推理素养。 【前置旧知回顾】 旧知模块 核心内容 本节关联 正方形面积 正方形面积=边长平方；网格割补求不规则图形面积 探究勾股定理的核心工具，用三边正方形面积推导三边关系 平方根/无理数 开平方运算，表示无理线段长度 勾股计算结果常为无理数，数轴作无理线段的理论基础 直角三角形性质 直角三角形两锐角互余，三角形面积公式 证明、计算时构造辅助直角三角形的基础 完全平方公式 拼图证明勾股定理的代数化简依据 知识点1：勾股定理内容与变形 1.定理文字表述 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。古代称短直角为勾，长直角为股，斜边为弦，简称“勾股弦定理”。 2.符号公式与变形 在中，，直角边、，斜边： 基础式： 变形1：；变形2：；变形3： >重要前提：公式仅适用于直角三角形，斜边一定是最长边。 知识点2：勾股定理的面积证法（算两次思想） 1.证明核心思路 用两种不同方式表示同一个拼接图形的总面积，建立等式，化简推导。 2.三种经典证法对比表 证法名称 拼接图形 面积等式推导逻辑 赵爽弦图 大正方形内镶嵌4个全等直角三角形+小正方形 大正方形面积， 化简得 伽菲尔德总统证法 直角梯形，由2个全等直角三角形+1个等腰直角三角形拼成 梯形面积a+b， 化简得 毕达哥拉斯拼图 边长的大正方形分割型 大正方形面积(a+b， 化简得 知识点3：网格与数轴上的勾股应用 1.网格求线段长 格点线段横向、纵向格数为、，线段长度；网格直角三角形面积可用割补法求解。 2.数轴作无理数线段 以数轴原点直角边，构造直角三角形，斜边长度为，以原点为圆心画弧，交点即为无理数对应点。 【基础巩固题型】 【题型1】直接套用勾股求边长（定直角） 1.核心知识点 勾股定理基础公式；直角、斜边判定 2.解题方法技巧 ①先标记直角，区分直角边、与最长斜边； ②已知两直角直接用；已知斜边与一条直角边用变形公式； ③结果化简二次根式，长度只取正值。 【例题1】.（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜边与一条直角边，利用勾股定理求解另一条直角边长度即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）如图，中，，，，则____________． 【答案】 【分析】在 中，已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边． 【详解】 解：∵在 中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 【答案】A 【分析】因为直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以代入两条直角边的数值，计算平方和后开平方即可得到斜边长． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为. 【变式题1-3】.（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在中，，，， __________． 【答案】13 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接用勾股定理计算斜边的长度即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ，， ． 【题型2】数轴上构造无理数线段 1.核心知识点 勾股定理；实数与数轴一一对应 2.解题方法技巧 ①拆分被开方数为两个完全数之和； ②在数轴原点作垂直短线段，构造直角三角形； ③以原点为圆心、斜边为半径画弧，交点即为目标无理数。 【例题2】.（25-26八年级下·山西大同·期末）如图．点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是1，线段与数轴垂直，且．以A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用勾股定理求出，然后得到，即可得到点D表示的数． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图得，， ∴， ∴点D表示的数是． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，长方形的边落在数轴上，两点在数轴上对应的数分别为和，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点E在数轴上所表示的数为（   ） A．3 B． C． D．2.2 【答案】C 【分析】根据勾股定理求得，进而根据数轴上的两点距离即可求得点E在数轴上所表示的数． 【详解】解：四边形是长方形，两点在数轴上对应的数分别为和， ， 依题意， 则点在数轴上所表示的数为． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·陕西商洛·期末）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【答案】(1) (2)如图，点表示的实数为． 构造直角如图所示，直角边落在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，，则，， 由勾股定理得， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则， ∴点表示的实数为． 【分析】（1）根据勾股定理求出，得到，即可解答； （2）以实数为圆心，半径长作弧与数轴的交点即为表示的实数为，通过构造直角三角形得到半径长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由作图，可知， ∵点与数轴原点重合， ∴点表示的实数是； （2）略 【变式题2-3】.（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点． (1)正方形的面积是 ，点表示的数是 ； (2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹） (3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 如图，点为所求； (3) 【分析】（1）用割补法进行计算正方形的面积即可；再根据勾股定理求出边长即可得到答案； （2）以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案； （3）由题意可得：，再根据，得到答案即可． 【详解】（1）解：个小正方形的总面积是，阴影正方形的面积等于个小正方形面积的一半， 即； 根据勾股定理，正方形边长， 以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点，因此点表示的数为； （2）略 （3）解：由题意可得：， ，数轴正半轴上的点表示的数为， ， ． 【题型3】已知两边分类求第三边（无直角标注） 1.核心知识点 斜边为最长边；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①分两种情况：已知两边均为直角边；较长边为斜边、短边为直角边； ②分别代入公式计算，两个结果均符合题意； ③舍去长度为负数的解。 【例题3】.（25-26八年级下·广东广州·期中）已知直角三角形的两边分别为6和8，则斜边上的高是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题需分两种情况讨论，即已知两边都为直角边，或8为斜边，利用勾股定理求出第三边，再根据三角形面积的两种表示方法求出斜边上的高． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当和均为直角边时，由勾股定理，斜边，设斜边上的高为，三角形面积，； ②当为斜边，为直角边时，由勾股定理，另一条直角边，设斜边上的高为，三角形面积，， 综上，斜边上的高为或． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·山西吕梁·阶段检测）已知，直角三角形中的两边为2和3，则第三边的长是（    ） A．5 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题需分类讨论，已知直角三角形的两边长，未说明哪条边是斜边，因此分第三边为斜边和3为斜边两种情况，结合勾股定理计算即可． 【详解】解：分两种情况： 若3为斜边，第三边为直角边，由勾股定理得，第三边长为； 若2和3都是直角边，第三边为斜边，由勾股定理得，第三边长为； ∴第三边长为或． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·福建厦门·期末）直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． 【答案】或/8或10 【分析】分类讨论，分是直角边和是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可得到斜边长. 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ① 当为直角边时，也为直角边，由勾股定理得，斜边长为： ， ② 当为斜边时，斜边长即为，满足直角三角形三边关系，符合题意. 【变式题3-3】.（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知直角三角形两边，满足，则该直角三角形面积为______． 【答案】6或 【分析】根据非负数的性质可求出x，y的值，然后分两种情况，解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ①当两直角边是，时，该直角三角形面积为 ②当为一直角边，为斜边时，则第三边是直角边，长是， 此时该直角三角形面积为； 综上所述，该直角三角形面积为6或． 【培优提升题型】 【题型4】梯子/竹竿跨生活情境应用题 1.核心知识点 实际模型转化；勾股建模 2.解题方法技巧 ①墙面、地面为直角，梯子为斜边，画出几何简图； ②梯子长度不变，滑动前后斜边长度相等列等式； ③结果结合生活实际，长度不取负根。 【例题4】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处C点离竹子底部A点3尺远．求折断后竹子的高度．（注：1丈=10尺） 【答案】4.55尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，通过设未知数，利用直角三角形的勾股定理建立方程，求解折断后竹子的高度． 【详解】解：设折断后竹子的高度为x尺，则长为尺． 在中， ∵， ∴， 即：， 解得：， 即折断后竹子AB的高度为4.55尺． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·福建南平·期中）要登上高的建筑物，为了安全需使用梯子，梯子底端需至少离建筑物，则梯子的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据墙面与地面垂直，可知建筑物高度、梯子底端到墙面的水平距离、梯子长度构成直角三角形，再利用勾股定理求出梯子长度即可求解． 【详解】解：∵建筑物墙面垂直于地面， ∴建筑物高度、梯子底端到建筑物的水平距离、梯子长度构成直角三角形，梯子为该直角三角形的斜边， ∵建筑物高为，梯子底端离建筑物至少，即直角三角形两条直角边长分别为和， ∴由勾股定理得，梯子长度为， ∴梯子长度至少为． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是米．梯子底端B在上，，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米，．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米． 【答案】米 【分析】设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，则米，根据，结合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，则米， 由题意列方程为：， 解得， 答：此时梯子底端到右墙角点的距离是米． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·贵州安顺·期末）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． (1)求钢丝绳的长度． (2)为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 【答案】(1)钢丝绳的长度为 (2)钢丝绳增加的长度为 【分析】（1）在中，利用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， 答：钢丝绳的长度为． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴钢丝绳增加的长度为， 答：钢丝绳增加的长度为． 【题型5】赵爽弦图相关计算（数学文化题） 1.核心知识点 弦图面积关系；完全平方公式 2.解题方法技巧 ①设直角边为、，大正方形面积，小正方形面积； ②利用建立等式； ③结合、整体代换求值。 【例题5】.（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【答案】28 【分析】根据“大正方形面积个全等直角三角形面积小正方形面积”结合直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：题中图形是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案， ∵大正方形面积为81，小正方形面积为25， ∴， ∴． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 【题型6】作高构造直角三角形求面积 1.核心知识点 斜三角形化直；勾股方程思想 2.解题方法技巧 ①过三角形顶点向底边作高，设高为未知数； ②底边两段分别用含未知数式子表示，利用斜边平方列等式； ③解出高后，用求面积。 【例题6】.（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作交的延长线于，求出是等腰直角三角形，结合勾股定理得出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴的面积是． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，有一块四边形的绿地，其中米，米，米，米，且，那么这块绿地的面积是______平方米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先理解题意，求出米，再运用米，米，，故代入数值得，然后计算，故平方米，即可作答． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： ∵，米，米， 则（米）， ∴（平方米） ∵米，米，， ∴ 则 ∴ 解得， 则， ∴（平方米）， ∴（平方米）， 那么这块绿地的面积是平方米． 故答案为：． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·甘肃武威·期中）我国南宋时期数学家秦九韶提出“利用三角形的三边可以求这个三角形的面积”．他的方法大致如下：如图，，作于，此时为，的公共边，则运用勾股定理，先求，再求，从而求出的面积．若，，，请根据以上信息，求的面积． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理可以列出相应的方程，然后求出的长，再求出的长，即可计算出的面积． 【详解】解：如图，作于， ∴， 设的长为x，则的长为， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， 解得， ∴，， ∴， 解得， ∴； 即的面积是84． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·福建福州·期末）阅读材料，回答问题： 中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． (1)已知一个三角形的三边长分别为3，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______； (2)如图，已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，试根据勾股定理推导出秦九韶三角形面积公式；（提示：用含a，b，c的代数式表示） (3)若三角形的周长为，一边长为，求此三角形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理的应用，完全平方公式的应用． （1）任选一个公式将已知数据代入计算即可； （2）作交于D，设，，则，根据勾股定理得到，，则，即，进而得到，根据三角形面积公式得到，进而推导即可； （3）设另一边为，则第三边为，根据海伦公式得到，进而得到，根据即可求出此三角形的面积的最大值． 【详解】（1）解：秦九韶公式：∵一个三角形的三边长分别为3，5，6， ∴ ； 海伦公式：∵一个三角形的三边长分别3，5，6， ∴， ∴ ； 故答案为：； （2）解：如图，作交于D， 设，，则， ∴，， ∴ ， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ； （3）解：设另一边为，则第三边为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 即此三角形的面积的最大值为． 【压轴素养题型】 【题型7】勾股定理拼图证明题 1.核心知识点 算两次面积；整式化简 2.解题方法技巧 ①分别写出整体图形面积、分割后各部分面积之和； ②建立面积相等等式，展开完全平方后消去同类项； ③规范书写化简步骤，完整推导出。 【例题7】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【答案】解：选图1 ， ， ， ； 或选图2 ， ， ， ； 或选图3 ， ， ， ， ． 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简即可． 【详解】略 【变式题7-1】.（25-26八年级下·广东惠州·期末）小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 【答案】证明：如图，作，垂足为点， 设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为长方形， ， ， . 【分析】作，垂足为点，设与的交点为，证明，推出，分割法求出四边形的面积，即可得证. 【详解】略 【变式题7-2】.（26-27八年级·全国·暑假作业）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2)13 (3)元 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，代入已知条件可得，进而求解； （3）根据题意可得，设米，则米，根据勾股定理可得，由此列方程解得米，进而求出米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资. 【详解】（1）略 （2）解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． （3）解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【答案】(1)； (2)新路比原路少千米 (3)设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）解：设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）解：略. 【题型8】勾股定理新定义探究题 1.核心知识点 勾股定理；分类讨论、代数推理 2.解题方法技巧 ①读懂新定义：满足两边平方和/差与第三边关系的三角形； ②分直角、锐角、钝角三类代入平方关系验证； ③结合勾股建立方程求解边长比值。 【例题8】.（25-26八年级下·江西抚州·期中）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）根据直角三角形定义，以及等直三角形定义分析求解即可； （2）根据等直三角形定义可得，设，则，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：等腰直角三角形，可类比图1作出其等直分割线段， 若不是等腰的直角三角形，可作斜边的垂直平分线交直角边于一点，进而得到等腰三角形， 直角三角形一定是等直三角形； （2）解：∵是的等直分割线段， ∴是等腰三角形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）通过对“勾股定理”的学习，我们知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)根据奇异三角形的定义，等边三角形_______（“是”或“不是”）奇异三角形． (2)在中，其三边长分别为，，，且，，这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据． 【答案】(1)是 (2)当c是斜边时，这个三角形不是奇异三角形；当是斜边时，这个三角形是奇异三角形 【分析】（1）设等边三角形三边均为x，根据奇异三角形的定义判断即可． （2）分当是斜边时，当是斜边时，计算求第三边的长，然后根据奇异三角形的定义求解作答即可． 【详解】（1）解：设等边三角形三边均为x， ∵， ∴两边的平方和等于第三边的平方的2倍， 即等边三角形是奇异三角形； （2）解：当是斜边时，， ，， 此时，这个三角形不是奇异三角形； 当是斜边时，， ， 此时，这个三角形是奇异三角形； 综上所述，当c是斜边时，这个三角形不是奇异三角形；当是斜边时，这个三角形是奇异三角形． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·广东深圳·期末）我们定义：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形． (1)根据“奇异三角形”定义，等边三角形________奇异三角形，（填“是”或“不是”）； (2)在中，，，，，且，若是奇异三角形，求； (3)如图，以为斜边分别在的两侧作直角三角形，且，若四边形内存在点，使得，，求证：是奇异三角形． 【答案】(1)是 (2) (3)证明：∵以为斜边分别在的两侧作直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是奇异三角形． 【分析】（1）设等边三角形的边长为，则，由此即可得； （2）先得出，，则可得，再联立求解即可得； （3）利用勾股定理可得，，再等量代换即可得证． 【详解】（1）解：设等边三角形的边长为， ∴，符合“奇异三角形”的定义， ∴等边三角形是奇异三角形． （2）解：∵在中，，，，， ∴， ∵是的斜边，且， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是奇异三角形， ∴， 联立得：， ∴或（舍去），或（舍去）， ∴． （3）略． 【变式题8-3】.（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）综合与实践 【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形的研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 （1）用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有________．（填序号）； 【性质探究】 （2）乐思学习小组根据定义得出“邻等对补四边形”的边、角性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是“邻等对补四边形”，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，小组讨论后，针对此猜想做了以下证明：设，将绕着点A顺时针旋转度得到．请你补充解题思路完成对猜想的证明； 【拓展应用】 （3）某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件采用了如图2所示的“邻等对补四边形”结构．其中，主支架为13米，辅助支架为5米，支架夹角，工程师需要计算该零件四边形的材料用量，请你求出四边形的面积． 【答案】（1）①②④ （2）证明：如图所示， ∵将绕着点A顺时针旋转度得到， ∴， ∴，，， ∵四边形是“邻等对补四边形” ∴， ∴， ∴C，B，E三点共线， 在中，， ∴， 即：平分； （3）平方米 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义并结合图形即可得解； （2）由题意可知，再由全等三角形的性质可得，，，再证明C，B，E三点共线，由等边对等角得出，即可得证； （3）过点A作交于F，先求出，由等腰三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，再由勾股定理计算可得，即可得解． 【详解】解：（1）如图① ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； 如图② ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； 如图③ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形不是邻等对补四边形； 如图④ ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形； 综上所述，是邻等对补四边形的有①②④； （2）略 （3）过点A作交于F，如图： ∵主支架为13米，辅助支架为5米， ∴（米）， 在中，，， ∴（米）， ∵平分，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即 解得或（不符合题意，舍去）， ∴（平方米）， 由（2）得，， ∴， ∴四边形的面积（平方米）． 【题型9】勾股定理·数形结合最值构图探究题 1.核心知识点 勾股定理；两点之间线段最短；网格构图法；对称转化思想 2.解题方法技巧 ①将含根号代数式拆分为、形式，分别看作直角三角形斜边； ②水平线段设变量，竖直线段取固定常数，构造两条平行竖直线条搭建矩形模型； ③利用轴对称作对称点，将线段和/差转化为两点间直线距离； ④构造直角三角形，直接用勾股计算线段长度，即为代数式最值。 【例题9】.（25-26八年级下·河北邢台·期中）【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是______； (2)类比迁移：若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积； (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）通过网格构图，用大长方形面积减去周围直角三角形面积计算的面积； （2）将含参数的边长转化为直角三角形斜边，构造大长方形后用面积差法求解的面积； （3）将代数式转化为直角三角形斜边之和，利用“两点之间线段最短”，构造直角三角形计算最短路径长度； （4）将代数式转化为平面直角坐标系中点的距离之和，通过对称点转化为两点间线段长度，用勾股定理求解最小值． 【详解】（1）解：网格中每个小正方形的边长为1，包围的大长方形长为3、宽为3，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积； （2）解：将看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边， 包围的大长方形长为、宽为，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积； （3）解：如图，，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， ∴当A，C，B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作，交延长线于点O，得矩形， ，， ， ， ∴代数式的最小值为； （4）解：将代数式转化为平面直角坐标系中，点()到点的距离与到点的距离之和，即． 作点关于轴的对称点，连接，根据对称性质可知， ∴，根据“两点之间线段最短”，当为与轴的交点时，取得最小值，即的长度， ， ∴代数式的最小值为． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·安徽安庆·期中）按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【答案】(1)13； (2)17． 【分析】（1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）过点B作交AC延长线于点F，根据，，，，可推出的值最小，需的值最小，即当，，三点共线时，的值最小，最小值为，先证明四边形为长方形，再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； （2）解：过点B作交延长线于点F，如图， ∵，，，， ∴在中，； 在中，， ∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为17． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·广东江门·阶段检测）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是________； (3)【感悟探索】 ①的最大值是________； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是________．（用含a，b的式子表示） ③已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 【答案】(1)①；；②5 (2)20 (3)①；②；③ 【分析】（1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①设，，，，则，作点D关于的对称点，，而（当且仅当C、E、共线且E在的延长线上即点时等号成立时取等号），再利用三角形三边关系即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构建解答即可． ③利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； 【详解】（1）解：①∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； （2）解：设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形，如图， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20； （3）解：①设，，，，则， 作点D关于的对称点，于点，则，， 在中，； 在中，， ∴， 而（当且仅当C、E、共线且E在的延长线上即点时等号成立时取等号）， 在中，， 即的最大值为； ②分别以，为边长作长方形，则，，上取一点，使，则，取的中点为，连接，，，如图， ∵，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为， ③画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·上海黄浦·期末）“数形结合”是数学中重要思想方法，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：代数式和中出现了两数平方和的形式，容易联想到直角三角形中三边之间的关系，可将看作是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，看作是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，于是，我们构造两个和（如图1），如图2，当直角边和在同一直线上且点与点重合． 这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？” (1)在图3中，代数式的最小值可用线段______的长表示，该线段的长为______． (2)若将原问题中“”改成“”，能否利用（1）的结论解决？（即求代数式的最小值）若能，请写出解答过程并求解；若不能，请说明理由． (3)请使用与（1）中类似的方法求的最大值．（请画出示意图并求解） 【答案】(1)；13 (2)能利用（1）的结论解决；的最小值为13 (3)的最大值为 【分析】本题主要考查了数形结合思想、勾股定理的几何应用以及三角形三边关系，将代数式转化为几何图形中的线段长度（直角三角形斜边），利用三角形三边关系变形规则是解题的关键． （1）由三角形三边关系可知，当，，三点共线时，，则的最小值可用线段的长来表示；过点作交的延长线于，则四边形为矩形，可得，的长，从而可得的长，再利用勾股定理可得的长，即可得结论； （2）在直角坐标系中构造和，，，，则，，，，，∴，，连接，过点作交延长线于点，则四边形是矩形，可得，的长，从而可得，再利用勾股定理可得，根据三角形的两边之和大于第三边可得，当，，三点共线时，即可得结论； （3）构造和，，，， 设，则， ，，连接，过点作于点，则四边形是矩形，可得，的长，从而可得，再利用勾股定理可得，根据三角形的两边之和大于第三边可得，当，，三点共线时，即可得结论； 【详解】（1）解：由三角形三边关系可知，当，，三点共线时，，则的最小值可用线段的长来表示； 过点作交的延长线于，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：；13． （2）解：能利用（1）的结论解决． 过程如下： 如图，在直角坐标系中构造和，，，，则，，，，， ∴，， 过点作交延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即，当，，三点共线时，， ∴的最小值为13． （3）解：如图，构造和，，，， 设，则， ，， 连接，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵，即，当，，三点共线时，， ∴的最大值为． 易错点 1、斜边判定错误：分不清最长边，将短边当作斜边代入公式，导致计算出错。 2、分类讨论遗漏：已知直角三角形两边长，未分“两边都是直角边/长边为斜边”两种情况漏解。 3、证明跳步：面积证法中省略整式化简步骤，直接写出，书写不规范扣分。 4、适用范围混淆：在锐角、钝角三角形中直接套用勾股定理，忽略定理仅适用于直角三角形。 重点 1、勾股定理基础公式与三种变形，能在直角三角形中已知两边求第三边。 2、网格线段计算、面积割补、数轴作无理线段的数形结合应用。 3、面积法（算两次）证明勾股定理的通用思路与经典弦图计算。 难点 1、直角标注时分类讨论求第三边，斜三角形作高构造直角三角形列方程。 2、弦图、勾股树、新定义探究类综合推理题型，数形结合与代数化简结合。 一、单选题 1．如图，、两地的距离为，、两地的距离为，，则、两地的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∵ ∴ ∴、两地的距离为． 2．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，图2由主题图案中相邻两个直角三角形组合而成．当时，的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至该灯5米及5米以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5米的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（     ） A．4米 B．3米 C．5米 D．7米 【答案】A 【分析】过点C作于点E，利用勾股定理求出的长即可. 【详解】解：由题意，传感器A距地面的高度为米，人高米， 如图②，过点C作于点E，则人离墙的距离为，则米， ∴（米）， 当人离传感器A的距离米时，灯发光， 在中，根据勾股定理可得，米， 故一个身高1.5米的学生要走到离墙4米远的地方灯刚好发光 二、填空题 4．已知直角三角形两边长为1和，则此直角三角形斜边上的中线长是__________． 【答案】或1/1或 【分析】本题需分类讨论，分已知两边均为直角边和较长边为斜边两种情况，利用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当和均为直角边时， 由勾股定理得，斜边长为， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长为； 情况2：当为斜边，为直角边时， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长为． 综上所述，此直角三角形斜边上的中线长是或． 5．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】由勾股定理求出的长度，进而得的长度，则可求得点表示的数． 【详解】解：由勾股定理得， 由作图知， 则点表示的数为． 6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，，则正方形G的面积是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，， ∴，， ∴． 三、解答题 7．如图，在下面数轴上标出表示的点． 【答案】解：画图如下： ． 【详解】解：∵， ∴构造直角边分别为的直角三角形，则斜边为， 画图略． 8．风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)解：不能成功，说明如下： 如图所示，延长至点，连接，使得， ． 在中，由勾股定理得． ，余线仅剩， ∴风筝线的总长度为， ∵， ∴， ∴不能成功． 【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，可得，，在中，根据勾股定理求出 的长即可求解； （2）延长至点，连接，使得，利用勾股定理求出的长，再与风筝线的总长度比较即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∴， 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， 答：风筝离地面的垂直高度为． （2）略 9．卸货时用斜坡木板，可以利用斜面原理实现省力搬运．如图，一辆汽车在卸货时，从车厢到地面搭了一个木板，其中，，，求木板的长． 【答案】木板的长为 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 即木板的长为． 10．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______； (2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理． (3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积． 【答案】(1) (2) 梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即． (3)96 【分析】（1）根据勾股定理求出，利用面积法求出即可； （2）分别用梯形的面积公式和三个直角三角形面积求出梯形的面积，再根据两次求出的面积相等列出关系式，最后化简即可证明； （3）设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c，由题意及图形可知，，因为外轮廓周长为48，得，求得，在中，由勾股定理列等式求出x的值，即可解答 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵ ∴； （2）解：略； （3）解：设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c， 由题意及图形可知，为较短直角边，即， 因为外轮廓周长为48，且由4个全等的部分组成，每部分为斜边与较长直角边减6之和， 所以， 解得，即， 在中，由勾股定理得：， 代入数据得， 解得 所以该图案的面积为： 答：该"勾股风车"图案的面积为96 第 1 页 共 1 页 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