2.1 等式性质与不等式性质 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕等式性质和不等式性质展开，涵盖不等式表示、比较大小（作差法、作商法）、重要不等式及不等式性质等核心内容。通过现实情境（如限速、酸奶质量检查）导入不等关系，结合问题链过渡到比较大小，再类比等式性质探究不等式性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实，从生活实例抽象不等关系，如用赵爽弦图引入重要不等式体现数学文化；以数学思维严谨推理，如作差法证明步骤清晰培养逻辑能力；以数学语言系统梳理性质。学生能提升抽象与推理能力，教师可借助结构化资源提高教学效率。

2.1等式性质和不等式性质 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系， 例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示． 情境导入 指的是用等号“=”连接起来的式子 指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接起来的式子 等式 不等式 问题1.你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速；； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋 白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （1） （2） f≥2.5% p≥2.3%. （3） （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 不等式 （4） 问题2.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 设提价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为， ≥20，求出不等式的解集，就能知道 所以用不等式表示为： 满足条件的杂志的定价范围. 1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系： (1) 某高速公路规定通过车辆的车货总高度h（单位：m）从地面算起不能超过 4 m； (2) a与b的和是非负实数； (3) 如图，在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四 周建成绿地，仓库的长L（单位：m）大于宽W（单位：m）的 4 倍。 练习 (1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数______. A B B A A(B) 大　 >　 <　 ＝　 (2)对于任意两个实数和b， 如果－b是正数，那么______b； 如果－b是负数，那么______b； 如果－b等于零，那么______b. 比较大小 > = < 作商法 > = < 两个实数比较大小的方法 作差法 小结：步骤：作差—变形—判断—结论 作 差 法 2.比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小。 3.已知a>b，证明a>>b. 练习 图 2.1-3 是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 重要不等式 图 2.1-3 设直角三角形的两直角边分别为,b，则 S大于S'，即 A B C D E(FGH) 当=b时，S=S'，即 A B C D E F G H a b 当a=b时 综上， (1)正方形ABCD的面积S=________； 四个直角三角形的面积和S' =_____; (2) S与S'有什么样的不等关系，如何表示？ （3）S与S'会出现相等的情况吗，什么时候相等？ 将风车图抽象成左图，则 如何证明重要不等式？ 一般地，，这个不等式被称为重要不等式， 当且仅当时，等号成立. 思考：请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 可以发现，性质 1，2 反映了相等关系自身的特性，性质 3，4，5 是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性。 探究：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 不等式的性质 综合运用 下列命题为真命题的是（ ） (A) 若a>b>0，则ac2>bc2 (B) 若a>b>0，则a2>b2 (C) 若a<b<0，则a2<ab<b2 (D) 若a<b<0，则 证明： 性质 1：如果 a>b，那么 b<a；如果 b<a，那么 a>b，即 a>b b<a. 性质 3：如果 a>b，那么 a+c>b+c. 性质 4：如果 a>b,c>0，那么 ac>bc；如果 a>b,c<0，那么 ac<bc. 性质 6：如果 a>b>0,c>d>0，那么 ac>bd. 练习 1.证明不等式性质1,3,4,6。 2.用不等号 “>” 或 “<” 填空： (1) 如果a>b，c<d，那么a−c_____b−d； (2) 如果a>b>0，c<d<0，那么ac_____bd； (3) 如果a>b>0，那么 ； (4) 如果a>b>c>0，那么 作差法证明 3.已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证 (1)对称性：a＞b⇔　　　. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒　　　. (3)可加性：a＞b⇔　　　　　　　. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒　　　　　；a＞b，c＜0⇒　　　　　. (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒　　　　　　　. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒　　　　　. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒_____________________． 课堂小结 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论． 2. 掌握作差、作商、综合法等比较法比较 实数的大小． 3.掌握并会应用重要不等式. 作差 变形 定符号 确定大小 ∴ ∴ 定符号 ∵ ∵ ∵ ∴ a＋c＞b＋c ac＞bc ac＜bc a＋c＞b＋d ac＞bd an＞bn＞0(n∈N,n≥2) b＜a a＞c $