内容正文：
25.2 一元二次方程的解法
公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程；（难点）
2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点）
3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
温故知新
1.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移 → 二化 → 三配→ 四开→ 五解
知识回顾
2.用配方法解下列方程：4x2-6x-1=0.
解: 移项，得4x2-6x=1,
二次项系数化为1，得
配方，得 即 ,
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解：移项，得ax2+bx=-c．
二次项系数化为1，得
配方，得
即
课堂导入
这里可以直接开平方吗？为什么？
因为a≠0,所以4a2＞0.式子b2－4ac的值有以下三种情况：
方程有两个不相等的实数根．
(1)
这里用到了
这里用到了 ,与前面的±运算后，结果还是±.
方程有两个相等的实数根．
(2)
因为a≠0,所以4a2＞0. 式子b2－4ac的值有以下三种情况：
方程无实数根．
(3)
由上可知,只有当b2-4ac≥0时,方程才有实数根.即 b2-4ac的值决定一元二次方程根的情况.
一般地,式子 b2−4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，
即 Δ＝b2−4ac．
知识点
新知探究
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的情况
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程无实数根.
上面结论反过来也成立.即当一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ > 0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当一元二次方程没有实数根时，Δ < 0.
解:(1)a=1,b=-4, c=-5,
Δ＝16+20=36>0.
有两个不相等的实数根
例1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况.
(1)x2-4x-5=0; (2)2x2+3x+5=0; (3)4x2=4x-1
(2)a=2,b=3,c=5,
Δ＝9-40=-31<0.
无实数根
(3)化一般式得
4x2-4x+1=0；
a=4,b=-4,c=1,
Δ＝16-16=0.
有两个相等实数根
新知探究
跟踪训练
不解方程，判定下列方程根的情况：
学以致用
一化：化一般式，确保二次项系数为正；
二找：找a,b,c，确定其值，注意带前面的符号；
三算：算b2-4ac的值，判断符号；
四判：判断方程根的情况.
利用判别式判断方程根的情况的一般步骤：
例3 若关于 x 的一元二次方程 x2 + 8x + q = 0 有两个不等的实数根，则 q 的取值范围是 ( )
A. q≤4 B. q≥4
C. q＜16 D. q＞16
C
解析：方程有两个不等的实数根，根据根的判别式，则Δ= b2 − 4ac＞0，即 82 − 4q＞0. 解得 q＜16，故选 C.
典例精析
【变式题】二次项系数含字母
若关于 x 的一元二次方程 kx2 − 2x − 1 = 0 有两个不等的实数根，则 k 的取值范围是 ( )
A. k > −1 B. k > −1 且 k≠0
C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0
B
(-2)2 + 4k > 0
当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
归纳
方程有两个不等的实数根
分析：
二次项系数不为 0
k≠0
k > −1 且 k≠0
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是( )
A. k≥ −1 B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0
分析：
分类讨论
k = 0
k≠0
原方程变形为 −2x − 1 = 0，有实数根
Δ= 4 + 4k≥0
k≥−1
A
注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当Δ= b2 - 4ac≥0 时，才可以用求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
用公式法解方程
三
由上可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式.
±
-
视频：求根公式的趣味记忆
例4 用公式法解下列方程：
典例精析
(1) x2 − 4x − 7 = 0；
方程有两个不等的实数根
解：a = 1，b = −4，c = −7.
Δ= b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0.
即
-
±
方程有两个相等的实数根
(2) 2x2 − x + 1 = 0；
解：a = 2，b = − ，c = 1.
Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0.
-
±
x1 = x2
(3) 5x2－3x = x + 1；
方程有两个不等的实数根
即
a = 5，b = －4，c = －1.
Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.
解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
-
±
(4) x2 + 17 = 8x.
方程没有实数根.
a = 1，b = −8，c = 17.
Δ= b2 − 4ac = (−8)2 − 4×1×17 = −4＜0.
解：方程化为 x2－8x + 17 = 0.
-
±
要点归纳
公式法解方程的步骤
1. 化：化已知方程为一般形式；
2. 定：确定各项系数a，b，c的值；
3. 求：求Δ=b2 − 4ac 的值；
4. 判：若Δ= b2 − 4ac≥0，则方程有实数根；
若 b2 − 4ac＜0，则方程没有实数根.
5. 代：将a，b，c的值代入求根公式，写出方程的根.
1. 解方程：(x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0，
a = 3，b = -7，c = 8，
∴Δ= b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96
= - 47 < 0，
∴ 原方程没有实数根.
当堂练习
2. 解方程：2x2 - x + 3 = 0.
解： a = 2，b = − ，c = 3 .
∴Δ= b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ，
3. (1) 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则
m 的取值范围是 .
(2) 若关于 x 的一元二次方程 (m − 1)x2 − 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值范围.
解：化为一般式，得 (m − 1)x2 − 2mx + m − 2 = 0．
Δ= 4m2 − 4(m − 1)(m − 2)≥0，且 m − 1≠0.
解得
且 m≠1.
4. 不解方程，判断关于 x 的方程
的根的情况.
解：
∴ 原方程有两个实数根．
Δ＝( k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即Δ≥0.
能力提升：在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：∵关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 − b = 0 有两个相等的
实数根，
∴Δ= (b + 2)2 − 4(6 − b) = b2 + 8b − 20 = 0.
解得 b1= −10（舍去），b2 = 2.
由三角形的三边关系，得 c = 5，
∴△ABC 的三边长为 5，2，5，其周长为 5 + 2 + 5 = 12.
课堂小结
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（求 b2 - 4ac 的值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）
务必将方程
化为一般形式
判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根情况的方法：
Δ=b2 − 4ac > 0
Δ=b2 − 4ac = 0
Δ=b2 − 4ac＜ 0
有两个不等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
$