7.3　频率与概率 同步练-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 聚焦频率与概率核心概念，通过基础辨析、综合应用、实际建模三层设计，实现从概念理解到数据处理的渐进巩固，培养数据意识与模型应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（8题）|概率定义、频率计算|单选1-4考查概率独立性与频率概念，填空9-10训练频率估计概率的基本运算| |中档层（2题）|概念辨析与综合判断|多选7-8结合图表与互斥事件，深化概率性质与随机模拟的理解| |提升层（2题）|实际问题建模|解答题11-12通过灯管寿命、衬衣次品率案例，培养数据处理与模型应用能力|

§3　频率与概率 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.某医院治疗一种疾病的治愈率为，若前4个病人都没有治愈，则第5个病人治愈的概率是(　　) A.1 B. C. D.0 2.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用M表示“抽到次品”这一事件，则下列关于事件M的说法正确的是(　　) A.事件M发生的概率为 B.事件M发生的频率为 C.事件M发生的概率接近 D.事件M发生的频率接近 3.某射箭运动员进行射箭训练，射箭60次，统计结果如表： 环数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 击中的次数 0 0 1 2 4 4 6 10 12 13 8 则估计他击中的环数不小于8的概率为(　　) A.0.46 B.0.55 C.0.57 D.0.63 4.以下说法正确的是(　　) A.昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为99%”是错误的 B.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖 C.做10次抛掷硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为 D.某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品 5.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率为(　　) A. B. C. D. 6.两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验最有可能的是(　　) A.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 C.从装有2个红球和1个蓝球的不透明口袋中任取一个球恰好是红球的概率 D.从装有2个红球和1个蓝球的不透明口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.某评分网站是将用户评价的一到五星转化为0~10的分值(一星2分，二星4分，三星6分，依此类推).某影片的评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是(　　) A.m的值是32.0% B.随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星 C.随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56 D.若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件 8.某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议，掷两枚骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法(　　) A.公平，每个班被选到的概率都为 B.不公平，6班被选到的概率最大 C.不公平，2班和12班被选到的概率最小 D.不公平，7班被选到的概率最大 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)： 492　496　494　495　498　497　501　502　504　496　497　503　506　508　507　492　496　500　501　499 根据频率估计概率，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5 g~501.5 g之间的概率约为　　　. 10.一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为　　　　. 四、解答题(共28分) 11.(13分)某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示： 分组 频数 频率 [500，900) 48 [900，1 100) 121 [1 100，1 300) 208 [1 300，1 500) 223 [1 500，1 700) 193 [1 700，1 900) 165 [1 900，+∞) 42 (1)求各组的频率；(6分) (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.(7分) 12.(15分)对一批衬衣进行质量抽检，检查结果如表所示： 抽取件数 50 100 200 500 600 700 800 次品件数 0 20 12 27 27 35 40 次品频率 0 0.20 0.06 0.054 (1)将统计表补充完整；(4分) (2)记事件A表示“任取一件衬衣为次品”，试估计P(A)；(5分) (3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，若销售1 000件衬衣，则至少需要进多少件衬衣？(计算结果保留整数)(6分) §3　频率与概率 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.某医院治疗一种疾病的治愈率为，若前4个病人都没有治愈，则第5个病人治愈的概率是(　　) A.1 B. C. D.0 答案　B 解析　每一个病人治愈与否都是随机事件，故第5个人治愈的概率仍为. 2.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用M表示“抽到次品”这一事件，则下列关于事件M的说法正确的是(　　) A.事件M发生的概率为 B.事件M发生的频率为 C.事件M发生的概率接近 D.事件M发生的频率接近 答案　B 解析　由题意可知，事件M发生的频率为，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近的结论. 3.某射箭运动员进行射箭训练，射箭60次，统计结果如表： 环数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 击中的次数 0 0 1 2 4 4 6 10 12 13 8 则估计他击中的环数不小于8的概率为(　　) A.0.46 B.0.55 C.0.57 D.0.63 答案　B 解析　击中的环数不小于8的频率为=0.55，因此估计相应概率为0.55. 4.以下说法正确的是(　　) A.昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为99%”是错误的 B.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖 C.做10次抛掷硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为 D.某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品 答案　D 解析　A中，降水概率为99%，仍有不降水的可能，故错误； B中，“彩票中奖的概率是1%”表示在买彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故错误； C中，正面朝上的频率为，概率仍为，故错误； D中，次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件或更多次品，故D的说法正确. 5.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意得，随机数中417，386，196，206表示这三天中恰有两天下雨，共4组，故估计这三天中恰有两天下雨的概率为=. 6.两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验最有可能的是(　　) A.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 C.从装有2个红球和1个蓝球的不透明口袋中任取一个球恰好是红球的概率 D.从装有2个红球和1个蓝球的不透明口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率 答案　D 解析　用频率估计概率，可知某一结果出现的概率在30%~35%之间. 对于A，抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为50%，A不符合； 对于B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为×100%≈16.7%，B不符合； 对于C，从装有2个红球和1个蓝球的不透明口袋中任取一个球恰好是红球的概率为×100%≈66.7%，C不符合； 对于D，从装有2个红球和1个蓝球的不透明口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为×100%≈33.3%，D符合. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.某评分网站是将用户评价的一到五星转化为0~10的分值(一星2分，二星4分，三星6分，依此类推).某影片的评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是(　　) A.m的值是32.0% B.随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星 C.随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56 D.若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件 答案　ACD 解析　对于A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则24.0%+32.9%+m+8.7%=97.6%，所以m=32.0%，故A正确；对于B选项，随机抽取100名观众，可能有100×24.0%=24(人)评价五星，但不是一定的，故B错误；对于C选项，由A选项知，评价是三星或五星的概率约为32.0%+24.0%=56.0%，故C正确；对于D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确. 8.某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议，掷两枚骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法(　　) A.公平，每个班被选到的概率都为 B.不公平，6班被选到的概率最大 C.不公平，2班和12班被选到的概率最小 D.不公平，7班被选到的概率最大 答案　CD 解析　设i班被选到的概率为P(i)，i=2，3，4，…，12， 则P(2)=P(12)=， P(3)=P(11)=，P(4)=P(10)=， P(5)=P(9)=，P(6)=P(8)=，P(7)=，故A，B错误，C，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)： 492　496　494　495　498　497　501　502　504　496　497　503　506　508　507　492　496　500　501　499 根据频率估计概率，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5 g~501.5 g之间的概率约为　　　. 答案　0.25 解析　易知袋装白糖质量在497.5 g~501.5 g之间的袋数为5，故其频率为=0.25，即其概率约为0.25. 10.一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为　　　　. 答案　300 解析　设白色围棋子的数目为n，则由已知可得=，解得n=300，即估计白色围棋子的数目为300. 四、解答题(共28分) 11.(13分)某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示： 分组 频数 频率 [500，900) 48 [900，1 100) 121 [1 100，1 300) 208 [1 300，1 500) 223 [1 500，1 700) 193 [1 700，1 900) 165 [1 900，+∞) 42 (1)求各组的频率；(6分) (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.(7分) 解　(1)频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042. (2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48+121+208+223=600， 所以样本中寿命不足1 500小时的频率是=0.6. 即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6. 12.(15分)对一批衬衣进行质量抽检，检查结果如表所示： 抽取件数 50 100 200 500 600 700 800 次品件数 0 20 12 27 27 35 40 次品频率 0 0.20 0.06 0.054 (1)将统计表补充完整；(4分) (2)记事件A表示“任取一件衬衣为次品”，试估计P(A)；(5分) (3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，若销售1 000件衬衣，则至少需要进多少件衬衣？(计算结果保留整数)(6分) 解　(1)∵=0.045，=0.05，=0.05， ∴题表后三格中应依次填入0.045，0.05，0.05. (2)由题意知，随着抽取件数的增多，次品的频率在0.05附近摆动，并趋于稳定， ∴估计P(A)=0.05. (3)设需要进x件衬衣，则(1-0.05)x≥1 000， 解得x≥≈1 053， ∴至少需要进1 053件衬衣. 学科网（北京）股份有限公司 $