主题4 第9章 第3节 成对数据的统计分析（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦成对数据统计分析，以“相关判断—回归建模—独立性检验”为逻辑主线，通过分层训练构建“原理理解—方法应用—综合迁移”的解题体系，培养数据观念与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |独立性检验|7题（如第1、10题）|列联表补全、χ²值计算与临界值比较|从数据关联到独立性判断，强化统计推断思维| |线性回归与相关分析|8题（如第3、15题）|样本中心点求参数、相关系数判断线性强度|通过散点图直观感知，用回归方程量化关系| |非线性回归转化|2题（如第11、13题）|指数型转化为线性（取对数）|体现数学转化思想，拓展回归模型应用范围|

课时冲关61　成对数据的统计分析 [基础训练组] 1．为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中．由列联表中的数据计算得χ2≈10.921.参照附表，下列结论正确的是(　　) P(χ2≥k) 0.025 0.010 0.005 0.001 k 5.020 6.635 7.879 10.828 A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C．有99.99%以上的把握认为“药物有效” D．有99.99%以上的把握认为“药物无效” 解析：A　[因为χ2≈10.921，即χ2＞10.828，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”或有99.9%以上的把握认为“药物有效”．] 2．(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是(　　) 解析：A　[观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，|r|值相比于其他3图更接近1.] 3．某工厂研究某种产品的产量X(单位：吨)与需求某种材料Y(单位：吨)之间的相关关系，在生产过程中收集两组数据如表所示．根据表中数据可得回归直线方程为Y＝0.7X＋a，则下列四个说法中正确的个数为(　　) X 3 4 6 7 Y 2.5 3 4 5.9 ①变量X与Y正相关；②Y与X的相关系数r＜0；③a＝0.35；④产量为8吨时，预测所需材料约为5.95吨． A．4个　 B．3个 C．2个　 D．1个 解析：B　[因为回归直线方程Y＝0.7X＋a，所以产量X与材料Y呈正相关，所以相关系数r＞0，故①正确，②错误；由表格可得 ＝＝5，＝＝3.85， 则0.7×5＋a＝3.85，解得a＝0.35，故③正确； 所以回归直线方程Y＝0.7X＋0.35， 当x＝8时，y＝0.7×8＋0.35＝5， 即产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨，故④正确．] 4．某运动制衣品牌为了使成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：cm)，图①为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图②为身高(X)与臂展(Y)所对应的散点图，并求得其线性回归方程为Y＝1.16X－30.75，则下列结论中不正确的为(　　) A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系 C．可估计身高为190 cm的人臂展大约为189.65 cm D．身高相差10 cm的两人臂展都相差11.6 cm 解析：D　[对于A，身高极差大约为20，臂展极差大约为25，故A正确；对于B，很明显根据散点图以及回归直线得到，身高矮一些，臂展就可能短一些，身高高一些，臂展就可能长一些，故B正确；对于C，身高为190 cm，代入线性回归方程可得到臂展的预测值为189.65 cm，但不是准确值，故C正确；对于D，身高相差10 cm的两人臂展的预测值相差11.6 cm，但并不是准确值，回归直线上的点并不都是准确的样本点，故D不正确．] 5．2025海峡两岸各民族欢度“三月三”暨中华民族一家亲·同心共圆中国梦·福建省第十二届“三月三”畲族文化节活动在宁德福州开幕．海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情．在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据(i，yi)，其中i＝1,2,3,4,5，yi为第i次入口人流量数据(单位：百人)，由此得到y关于i的回归方程＝log2(i＋1)＋5.已知＝9，根据回归方程(参考数据：log23≈1.6，log25≈2.3)，可顶测下午4点时入口游客的人流量为(　　) A．9.6　　 B．11.0 C．11.3　　 D．12.0 解析：C　[设x＝log2(i＋1)，i＝1,2,3,4,5， 则＝x＋5， 所以＝ ＝ ≈＝1.9，且＝9， 则9＝×1.9＋5，得＝， 所以＝log2(i＋1)＋5， 下午4点对应的i＝7，此时预测游客的人流量＝×log28＋5≈11.3.] 6．(多选)针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有(　　) 附表： P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 附：χ2＝ A．25人 B．45人 C．60人 D．75人 解析：BCD　[设男生可能有x人，依题意可得列联表如下： 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 男生 x x x 女生 x x x 总计 x x 2x 若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则χ2≥3.841，由χ2＝≥3.841，解得x≥40.335，由题意知x>0，且x是5的整数倍，所以45,60和75都满足题意．] 7．(多选)某地为响应“扶贫必扶智，扶智就扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码X 1 2 3 4 5 年借阅量Y(万册) 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得Y关于X的线性回归方程为Y＝0.24X＋，则(　　) A.＝4.68 B．借阅量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的上四分位数为5.7 C．Y与X的线性相关系数r＞0 D．2026年的借阅量一定不少于6.12万册 解析：ABC　[对于A，因为X＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，Y＝×(4.9＋5.1＋5.5＋5.7＋5.8)＝5.4，所以5.4＝0.24×3＋a，得a＝4.68，所以A正确，对于B，因为5×75%＝3.75，所以借阅量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的上四分位数为5.7，所以B正确，对于C，因为0.24＞0，所以Y与X的线性相关系数r＞0，所以C正确，对于D，由选项A可知线性回归方程为Y＝0.24X＋4.68，当X＝6时，Y＝0.24×6＋4.68＝6.12，所以2026年的借阅量约为6.12万册，所以D错误．] 8．已知由样本数据点集合{(xi，yi)|i＝1，2，…，n}求得的回归直线方程为＝1.5x＋0.5，且＝3.现发现两个数据点(1.1，2.1)和(4.9,7.9)误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，那么，当x＝2时，y的估计值为________． 解析：∵回归直线方程为＝1.5x＋0.5，且＝3， ∴＝1.5×3＋0.5＝5，故这组数据的样本中心点是(3,5)， 又∵去除数据点(1.1,2.1)和(4.9,7.9)后重新求得的回归直线l的斜率为1.2. 且去除数据点(1.1,2.1)和(4.9,7.9)后数据的样本中心点还是(3,5)， 故5＝1.2×3＋a，解得a＝1.4，即回归直线方程为＝1.2x＋1.4， 当x＝2时，＝1.2×2＋1.4＝3.8. 答案：3.8 9．随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康状况，得到2×2列联表如下，则χ2＝________.(结果精确到0.001) 健康状况 工作场所 总计 室外工作 室内工作 有呼吸系统疾病 150 无呼吸系统疾病 100 总计 200 解析：补全列联表 健康状况 工作场所 总计 室外工作 室内工作 有呼吸系统疾病 150 200 350 无呼吸系统疾病 50 100 150 总计 200 300 500 χ2＝≈3.968. 答案：3.968 10．某市自从启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患，同时也使机动车的通畅率降低．该市交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到如下2×2列联表： 30岁及以下 30岁以上 总计 闯红灯 60 未闯红灯 80 总计 200 近期，为了整顿“行人闯红灯”这一项不文明及违法行为，交警部门在该十字路口对闯红灯行人试行经济处罚，并在试行经济处罚后从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，得到下表： 处罚金额(单位：元) 5 10 15 20 闯红灯的人数 50 40 20 0 将统计数据所得频率作为概率，完成下列问题． (1)将2×2列联表填写完整(不需写出填写过程)，并根据表中数据分析，在未对闯红灯行人试行经济处罚前，是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关？ (2)当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低多少？ (3)结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象． 解：(1)2×2列联表如下： 30岁及以下 30岁以上 总计 闯红灯 20 60 80 未闯红灯 80 40 120 总计 100 100 200 由表中数据，得χ2＝≈33.333.∵33.333＞10.828，∴有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关． (2)未进行处罚前，行人闯红灯的概率约为0.4，当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率约为＝＝0.2，故当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低0.2. (3)①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，可以针对30岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于试行经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，则可以进行适当经济处罚来降低行人闯红灯的概率． [能力提升组] 11．已知变量Y与X的一组数据如下表所示，根据数据得到Y关于X的回归方程为＝ebx－1. X 1 2 3 4 Y e2 e3 e5 e6 若＝e13，则x＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：B　[由＝ebx－1，得ln ＝bx－1， 令z＝ln y，则＝bx－1， 由题意，＝＝2.5，＝＝4， 因为(，)满足＝bx－1，所以4＝b×2.5－1，解得b＝2，所以＝2x－1，所以＝e2x－1，令e2x－1＝e13，解得x＝7.] 12．某中学有学生近600人，要求学生在每天上午7：30之前进校，现有一个调查小组调查某天7：00～7：30进校人数的情况，得到如下表格(其中纵坐标y表示第x－1分钟至第x分钟到校人数，1≤x≤30，x∈N＋，如当x＝9时，纵坐标y＝4表示在7：08～7：09这一分钟内进校的人数为4人)．根据调查所得数据，甲同学得到的回归方程是Y＝3.6X－27(图中的实线表示)，乙同学得到的回归方程是Y＝0.82e0.16X(图中的虚线表示)，则下列结论中错误的是(　　) X 1 5 9 15 19 21 24 27 28 29 30 Y 1 3 4 4 11 21 36 66 94 101 106 A.7：00～7：30内，每分钟的进校人数Y与相应时间X呈正相关 B．乙同学的回归方程拟合效果更好 C．根据甲同学得到的回归方程可知该校当天7：09～7：10这一分钟内的进校人数一定是9人 D．该校超过半数的学生都选择在规定到校时间的前5分钟内进校 解析：C　[对于A，根据散点图知，7：00～7：30内，每分钟的进校人数Y与相应时间X呈正相关，故A正确；对于B，由图知，曲线Y＝0.82e0.16X的拟合效果更好，故乙同学的回归方程拟合效果更好，故B正确；对于C，表格中并未给出对应的值，而由甲的回归方程得到的只能是估计值，不一定就是实际值，故C错误；对于D，全校学生近600人，从表格中的数据知，7：26～7：30进校的人数超过300，故D正确．] 13．已知变量Y关于X的回归方程为Y＝ebX－0.5，若对Y＝ebX－0.5两边取自然对数，可以发现ln Y与X线性相关，现有一组数据如下表所示，X＝5时，Y值为________． X 1 2 3 4 Y e e3 e4 e6 解析：对Y＝ebX－0.5两边取对数，得ln Y＝bX－0.5，令Z＝ln Y，则Z＝bX－0.5， X 1 2 3 4 Y e e3 e4 e6 Z 1 3 4 6 ＝＝2.5，＝＝3.5. 代入＝＝0.5，得3.5＝·2.5－0.5， 故＝1.6. 故Z＝1.6X－0.5，Y＝e1.6X－0.5，当X＝5时， 答案： 14．(2025·全国一卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 组别 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者患有该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附：χ2＝ 解：(1)在1 000个样本中，超声波检查结果不正常的人中患有该疾病的频率为＝0.9， 以样本频率估计总体概率，p的估计值为0.9. (2)H0：超声波检查结果与是否患病无关， χ2＝＝ ＝＞10.828， 概率小概率值α＝0.001的独立性检验，应拒绝零假设H0，即超声波检查结果与是否患病有关． 15．为了了解高中学生课后自主学习数学时间(X分钟/每天)和他们的数学成绩(Y分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据(表一)． 编号 1 2 3 4 5 学习时间X 30 40 50 60 70 数学成绩Y 65 78 85 99 108 (1)求数学成绩Y与学习时间X的相关系数(精确到0.001)； (2)请用相关系数说明该组数据中Y与X之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出Y关于X的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩(参考数据： xiyi＝22 820，yi＝435，y＝38 999,107.42≈11 540，xi的方差为200)； (3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表(表二)．依据表中数据是否有99.9%的把握认为“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关． 学习状况 成绩 合计 没有进步 有进步 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差： 相关系数： 回归方程＝＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， ＝－，χ2＝. P(χ2 ≥k) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)＝＝50， ＝＝87， 又xi(i＝1,2,3，…，5)的方差为 (xi－)2＝200， (yi－)2＝(65－87)2＋(78－87)2＋(85－87)2＋(99－87)2＋(108－87)2， ＝484＋81＋4＋144＋441＝1 154， ≈≈0.996. (2)由(1)知r≈0.996接近1，故与之间具有极强的线性相关关系，可用线性经验回归直线方程模型进行拟合： ＝＝1.07， ＝－＝87－1.07×50＝33.5， 故y＝1.07x＋33.5.当x＝100时，y＝140.5， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分． (3)零假设H0：周末在校自主学习与成绩进步无关， 根据数据，计算得到： χ2＝ ＝＝≈12.22， 因为12.22＞10.828，所以有99.9%的把握认为“周末在校自主学习与成绩进步”有关． 16．文旅部门统计了某网红景点在2025年3月至7月的旅游收入Y(单位：万)，得到以下数据： 月份X 3 4 5 6 7 旅游收入Y 10 12 11 12 20 (1)根据表中所给数据，用相关系数Y加以判断，是否可用线性回归模型拟合Y与X的关系？若可以，求出Y关于X之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； (2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 100 女 60 总计 110 参考公式：相关系数r＝ ，参考数据：≈3.162.线性回归方程：Y＝X＋，其中＝，＝－. χ2＝. 临界值表： P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 解：(1)由已知得： r＝＝＝≈0.791，因为|r|≈0.791∈[0.75,1]， 说明Y与X的线性相关关系很强．，可用线性回归模型拟合Y与X的关系， ∴＝＝2，＝－＝13－10＝3，则Y关于X的线性回归方程为：Y＝2X＋3. (2)2×2列联表如下所示： 喜欢 不喜欢 总计 男 70 30 100 女 40 60 100 总计 110 90 200 根据列联表中数据，χ2＝ ≈18.182＞10.828， 所以能够在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”． 学科网（北京）股份有限公司 $