主题3 第6章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦平面向量数量积及应用，以题串联概念辨析、运算推理与几何综合，构建从基础到能力的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练组|8题（含2道多选）|概念辨析（充要条件）、数量积运算、投影向量、几何图形中向量关系|从数量积定义出发，结合模长、夹角公式，推导平行垂直条件，延伸至几何应用| |能力提升组|6题（含2道多选、1道解答）|三角结合、动态几何（动点问题）、实际模型（折扇）|综合向量与三角函数、解析几何，通过坐标法解决动态问题，体现数学建模与运算能力|

课时冲关38　平面向量的数量积与平面向量应用举例 [基础训练组] 1．(2024·北京卷)已知向量a，b，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[∵(a＋b)·(a－b)＝0，∴a2－b2＝0， ∴a2＝b2，则|a|＝|b|，不能得到a＝b或a＝－b，充分性不成立；若a＝b或a＝－b，则(a＋b)·(a－b)＝0成立，必要性成立．所以“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件．] 2．已知|b|＝2|a|，若a与b的夹角为60°，则2a－b在b上的投影向量为(　　) A.b　　　　　 B．－b C．－b D.b 解析：B　[因为|b|＝2|a|，a与b的夹角为60°， 所以a·b＝|a||b|cos 60° ＝|a|×2|a|×＝|a|2， 则(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a|2－4|a|2＝－2|a|2， 所以2a－b在b上的投影向量为×＝×＝－b.] 3．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　) A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2 解析：A　[＝＋＝－－，＝， 则·＝(－－)·＝－·－2＝－a2－a2 ＝－a2.] 4．已知a＝(，2)，b＝(－，λ)，若a＋b与b的夹角为，则λ＝(　　) A．－1　　 B．1 C．±1　　 D．±2 解析：A　[因为a＝(，2)，b＝(－，λ)， 所以a·b＝×(－)＋2λ＝－3＋2λ， a＋b＝(，2)＋(－，λ)＝(0,2＋λ)， |a＋b|＝＝|2＋λ|， 因为(a＋b)·b＝a·b＋b2＝－3＋2λ＋3＋λ2 ＝λ2＋2λ， 又因为(a＋b)·b＝|a＋b||b|cos ＝|2＋λ|××， 所以λ2＋2λ＝|2＋λ|××， 解得λ＝1或λ＝－1， 因为2＋λ≠0，所以λ2＋2λ＜0， 解得－2＜λ＜0，所以λ＝－1.] 5．(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中，||＝||＝，||＝2，若C(3,4)，则|2＋|的取值范围是(　　) A. [6,14] B．[6, 12] C. [8,14] D. [8,12] 解析：D　[因为||＝||＝，||＝2， 由＝－平方，可得·＝0， 所以〈，〉＝. 2＋＝2(－)＋－＝＋－2，||＝＝5， 所以|2＋|2＝2＋2＋42－4(＋)· ＝104－4(＋)·， 又|(＋)·|≤|＋|||＝5×＝10，即－10≤(＋)·≤10， 所以|2＋|2∈[64,144]，即|2＋|∈[8,12]．] 6．(多选)已知向量a＝(2－m,3)，b＝(m,1)，则下列说法正确的是(　　) A．若a∥b，则m＝ B．若a⊥b，则m＝3 C．|2a＋b|的最小值为7 D．若－1＜m＜3，则a与b的夹角为钝角 解析：AC　[若a∥b，则2－m＝3m，解得m＝，故选项A正确；若a⊥b，则m(2－m)＋3＝0，解得m＝－1或m＝3，故选项B错误；由题得2a＋b＝(4－m,7)，故|2a＋b|＝≥7，当且仅当m＝4时取得最小值，故选项C正确；当m＝0时，a·b＞0，a与b的夹角不为钝角，故选项D错误．] 7．(多选)已知单位向量a，b的夹角为120°，则以下说法正确的是(　　) A．|a＋b|＝1 B．(a＋2b)⊥a C．cos 〈a－b，b〉＝ D．a＋2b与2a＋b可以作为平面内的一组基 解析：ABD　[据题意，a2＝b2＝1，a·b＝1×1×cos 120°＝－， 因为(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2×＝1，所以|a＋b|＝1，所以A正确； 因为(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝1＋2×＝0，所以(a＋2b)⊥a，所以B正确； 因为(a－b)·b＝a·b－b2＝－－1＝－，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝3， 所以cos〈a－b，b〉＝＝ ＝－，所以C错误； 因为a＋2b与2a＋b不共线，所以可以作为平面内的一组基，所以D正确．] 8．在△ABC，已知2·＝||||＝32，∠B＜∠C.则sin∠C＝________. 解析：设BC＝a，AC＝b，AB＝c， 由2·＝||||，得 2bccos A＝bc，所以cos A＝. 又因为A∈(0，π)，所以A＝，B＝－C. 由||||＝32，得bc＝a2， 于是sin Csin B＝sin2 A＝， 所以sin Csin＝， ∴2sin Ccos C＋2sin2 C＝， 即sin＝0. ∵A＝，∴0＜C＜，∴－＜2C－＜， ∴2C－＝0或2C－＝π，∴C＝或C＝. 又∵∠B＜∠C，∴A＝，C＝，B＝， 则sin∠C＝. 答案： 9．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为________． 解析：不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)， 线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)． 设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0＜a＜1)，∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)， ∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a) ＝2a2－2a＋2＝22＋， ∵0＜a＜1，∴由二次函数的知识可得·∈. 答案： 10．如图，在四边形OBCD中，＝2，＝2，∠D＝90°，且||＝||＝1. (1)用，表示； (2)点P在线段AB上，且AB＝3AP，求cos∠PCB的值． 解：(1)因为＝2，所以＝. 因为＝2，所以＝＋＋＝2＋＋＝－－. (2)因为＝2，所以OB∥CD. 因为＝2，所以O，A，D三点共线． 因为∠D＝90°，所以∠O＝90°. 以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 因为||＝||＝1，＝2，＝2， 所以A(2,0)，B(0,1)，C(3,2)． 所以＝(1,2)，＝(－2,1)． 因为点P在线段AB上，且AB＝3AP， 所以＝＝， 所以＝－＝. 因为＝(－3，－1)， 所以cos∠PCB＝＝＝. [能力提升组] 11．(多选)已知向量a＝(，1)，b＝(cos α，sin α)，α∈，则下列结论正确的有(　　) A．|b|＝1 B．若a∥b，则tan α＝ C．a·b的最大值为2 D．|a－b|的最大值为3 解析：AC　[对于A，|b|＝＝1，A正确；对于B，若a∥b，则sin α－cos α＝0，∴tan α＝，B错误；对于C，a·b＝cos α＋sin α＝2sin，最大值为2，C正确；对于D，|a－b|＝ ＝＝ 因为α∈，所以α＋∈，则sin∈， 即|a－b|max＝＝，D错误．] 12．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则·的最小值是(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 解析：C　[以O为原点，为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图． 则A(－1，)，B(2,0)， 设E(cos θ，sin θ)，0°≤θ≤120°，·＝ (－1－cos θ，－sin θ)·(2－cos θ，－sin θ) ＝(－1－cos θ)·(2－cos θ)－(－sin θ)·sin θ ＝－sin θ－cos θ－1＝－2sin(θ＋30°)－1， 所以当θ＝60°时，·取得最小值－2－1＝－3.] 13．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD上的点，＝2，＝2，若线段EF上存在一点M，使得＝＋，则||＝__________，若点N为线段BD上一个动点，则·的取值范围为________． 解析：因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，以BD、AC所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系， 因为AB＝2，∠BAD＝60°，所以OB＝OD＝1，OC＝OA＝， 则A(0，－)，B(1,0)，D(－1,0)， 设M，N(n,0)， 所以＝(1，)，＝(－1，)，＝，＝(n，)， 因为＝＋， 所以＝(1，)＋(－1，)， 解得m＝，所以||＝＝. 又＝， 所以·＝n－1 ＝2－. 因为－1≤n≤1，所以当n＝时，·有最小值－， 当n＝－1时，·有最大值， 所以·的取值范围为. 答案：　 14．已知a＝(2cos x,2sin x)，b＝，函数f(x)＝cos〈a，b〉． (1)求函数f(x)的零点； (2)若锐角△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且f(A)＝1，求的取值范围． 解：(1)由条件可知：a·b＝2cos x·sin＋2sin x·cos ＝2sin ， ∴f(x)＝cos〈a，b〉＝ ＝＝sin. 故函数f(x)的零点满足sin＝0， 由2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z. (2)由正弦定理得＝.① 由(1)知f(x)＝sin， 而f(A)＝1，得sin＝1， ∴2A－＝2kπ＋，k∈Z， 又A∈(0，π)，得A＝. ∵A＋B＋C＝π，∴C＝－B，代入①化简得： ＝ ＝＝ ＝2sin， 又在锐角△ABC中，有0＜B＜， 又0＜C＝－B＜， ∴＜B＜，∴＜B＋＜， 则有＜sin≤1，即＜≤2. 学科网（北京）股份有限公司 $