主题2 第4章 第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质及三角函数模型的应用（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦三角函数图象变换与性质应用，以分层训练构建“概念一性质一建模”逻辑链，渗透排除法、参数方程法等解题策略，培养直观想象与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-8题|排除法（图象识别）、五点法（解析式求解）|由y=sinx到y=A sin(ωx+φ)的参数意义及图象变换规则| |性质深化|9-13题|对称性质应用（最值、零点）、平移伸缩顺序处理|性质（周期/单调性/对称性）与参数ω/φ的互推关系| |实际建模|3、14题|相位相反原理（降噪模型）、开放条件探究|三角函数模型在物理现象中的抽象与应用|

课时冲关26　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质及三角函数模型的应用 [基础训练组] 1．函数y＝2cos的部分图象大致是(　　) 解析：A　[由y＝2cos可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点，故排除C.] 2．已知函数f(x)＝sin(x＋φ)的图象关于点对称，若当x∈时，f(x)的最小值是－1，则m的最大值是(　　) A．－　　 B．－ C.　　 D. 解析：B　[由题意可得＋φ＝kπ(k∈Z)， 则φ＝－＋kπ(k∈Z)， 又因为－＜φ＜0，故φ＝－， 即f(x)＝sin， 当x∈时，x－∈， 又因为f(x)的最小值是－1， 则m－≤－，故m≤－＋＝－， 即m的最大值是－.] 3．某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音(如图)，已知噪音的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)的振幅为1，周期为2，初相位为，则用来降噪的声波曲线的解析式是(　　) A．y＝sin πx　　　　　 B．y＝cos πx C．y＝－sin πx D．y＝－cos πx 解析：D　[由题意，A＝1，φ＝且T＝＝2，则ω＝π，所以y＝sin＝cos(πx)，则降噪的声波曲线为y＝－cos πx.] 4．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　) A.　 B. C．－　 D．－ 解析：D　[函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝sin ＝sin 的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ， k∈Z，∴φ＝－，f(x)＝sin .由题意x∈，得2x－∈， ∴sin ∈， ∴函数y＝sin 在区间的最小值为－.] 5．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，且和是f(x)最小的两个正零点，若f(0)＝－，则f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝－sin B．f(x)＝sin C．f(x)＝sin D．f(x)＝－cos 解析：B　[由题意，＝－＝，得T＝， 所以ω＝＝4，由图可知，f(x)在x＝取得最大值，所以4×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－＋2kπ(k∈Z)， 又和是f(x)最小的两个正零点，故k＝0，所以φ＝－， 又f(0)＝Asin＝－⇒A＝1， 所以f(x)的解析式为f(x)＝sin.] 6．(多选)为得到函数y＝cos的图象，只需将y＝cos 2x的图象(　　) A．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 B．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) D．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) 解析：BC　[如果是先伸缩再平移，那么需先将y＝cos 2x横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝cos x，再向右平移个单位长度，即得y＝cos ，如果是先平移再伸缩，需先将y＝cos 2x向右平移个单位长度，得到y＝cos 2＝cos，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，即得y＝cos.] 7．(多选)函数f(x)＝2sin的图象为C，如下结论正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．对任意的x∈R，都有f＋f＝0 C．f(x)在上是减函数 D．由y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C 解析：AB　[由y＝2sin，所以f(x)的最小正周期为＝π，故A正确；f＝2sin＝0，即函数f(x)的图象关于点对称，即对任意的x∈R，都有f＋f＝0成立，故B正确；当x∈时，2x－∈，所以f(x)在上是增函数，故C错误；由y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y＝2sin 2＝2sin的图象，故D错误．] 8．若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则g(x)的解析式为__________． 解析：由题图知，A＝1，且＝－＝， 即T＝π， ∴T＝＝π，可得ω＝2，又因为2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝＋2kπ，k∈Z，|φ|＜， ∴当k＝0时，φ＝，故f(x)＝sin， ∵g(x)所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)， 即f(x)向右平移个单位长度得到g(x)， ∴g(x)＝f＝sin＝sin 2x. 答案：g(x)＝sin 2x 9．已知函数f(x)＝cos 2x向右平移个单位长度后得到g(x)．若对于任意的x1∈，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)，则|m－n|的最小值为________． 解析：函数f(x)＝cos 2x向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos，因为x1∈，所以2x1∈，所以f(x1)＝cos 2x1∈，因为对于任意的x1∈，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)，所以g(x2)的取值范围应包含，根据余弦函数的性质，为使|m－n|取最小值，只需函数g(x)在x∈[m，n]上单调且值域为即可． 由2kπ－≤2x－≤2kπ(k∈Z)可得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，因此|m－n|的最小值为＝. 答案： 10．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x. (1)若f(x)＝0，x∈，求x的值； (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，求函数h(x)在上的值域． 解：f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x＝sin2x＋1－cos 2x＝2sin ＋1. (1)由f(x)＝0，得2sin ＋1＝0， ∴sin ＝－， ∴2x－＝－＋2kπ或2x－＝－＋2kπ，k∈Z. 又∵x∈，∴x＝－或0或. (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，可得函数图象的解析式为y＝2sin ＋1＝2sin ＋1＝2cos 2x＋1， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2cos x＋1， 又曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，∴h(x)＝g＝2sin x＋1， ∵x∈，∴sin x∈. 故函数h(x)的值域为(0,3]． [能力提升组] 11．(多选)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到 B．直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴 C．若|f(x1)－f(x2)|＝2，则|x2－x1|的最小值为 D．直线y＝与函数y＝f(x)在上的图象有7个交点 解析：BCD　[对于A选项，由图可知，函数f(x)的最小正周期为T＝4×＝π，则ω＝＝2， 又因为f＝sin＝1，因为－＜φ＜，则－＜φ＋＜，所以，φ＋＝，则φ＝，所以f(x)＝sin＝sin， 故函数f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，A错误； 对于B选项，f＝sin＝sin ＝1， 所以，直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴，B正确； 对于C选项，因为|f(x1)－f(x2)|＝2＝f(x)max－f(x)min， 所以|x2－x1|的最小值为＝，C正确；对于D选项，当0≤x≤π时，≤2x＋≤7π， 由f(x)＝sin＝可知2x＋的可能取值集合为 ， 所以，直线y＝与函数y＝f(x)在上的图象有7个交点，D正确．] 12．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期是 B．函数f(x)在上单调递减 C．函数f(x)的图象向左平移个单位后关于直线x＝对称 D．若圆C的半径为，则函数f(x)的解析式为f(x)＝sin 解析：D　[由函数f(x)的图象，可得点C的横坐标为， 所以函数f(x)的最小正周期为T＝2＝π，所以A不正确； 又由ω＝＝2，且f＝0， 即sin＝sin＝0， 根据五点作图法及0＜φ＜π，可得－＋φ＝0， 解得φ＝， 因为x∈， 可得2x＋∈， 结合三角函数的性质，可得函数f(x)在上是先减后增的函数，所以B错误； 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到g(x)＝Asin＝Acos 2x， 可得对称轴的方程为2x＝kπ，k∈Z， 即x＝，k∈Z，所以x＝不是函数g(x)的对称轴，所以C错误； 当x＝0时，可得f(0)＝Asin＝A， 即OM＝A， 若圆的半径为，则满足|CM|2＝|OM|2＋|OC|2，即2＝2＋2， 解得A＝，所以f(x)的解析式为f(x)＝sin，所以D正确．] 13．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋(ω＞0)在区间[0，π)上只有一个零点和两个最大值点，则ω的取值范围是______． 解析：f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋ ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1 ＝sin＋1， 由x∈[0，π)，ω＞0， 得2ωx＋∈， 当f(x)＝0时，sin＝－1， 当f(x)最大时，sin也最大， 若f(x)在区间[0，π)上只有一个零点和两个最大值点， 则只需＜2πω＋≤，解得＜ω≤. 答案： 14．在①f(x)的图象关于直线x＝对称；②f(x)的图象关于点对称；③f(x)在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由． 已知函数f(x)＝4sin＋a(ω∈N＋)的最小正周期不小于，且________，是否存在正实数a，使得函数f(x)在上有最大值3? 解：由于函数f(x)的最小正周期不小于，所以≥，所以1≤ω≤6，ω∈N＋. 若选择①，即f(x)的图象关于直线x＝对称，则有ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝k＋(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N＋，k∈Z，所以k＝3，ω＝4. 此时，f(x)＝4sin＋a. 由x∈，得4x＋∈，因此当4x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值 4＋a，令4＋a＝3，解得a＝－1，不符合题意． 故不存在正实数a，使得函数f(x)在上有最大值3； 若选择②，即f(x)的图象关于点对称，则有ω＋＝kπ(k∈Z)， 解得ω＝k－(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N＋，k∈Z，所以k＝1，ω＝3. 此时，f(x)＝4sin＋a. 由x∈，得3x＋∈，因此当3x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值4sin＋a＝＋＋a，令＋＋a＝3，解得a＝3－－，不符合题意． 故不存在正实数a，使得函数f(x)在上有最大值3； 若选择③，即f(x)在上单调递增，则有(k∈Z)， 解得 由于1≤ω≤6，ω∈N＋，k∈Z，所以k＝0，ω＝1. 此时，f(x)＝4sin＋a. 由x∈，得x＋∈， 因此当x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2＋a，令2＋a＝3，解得a＝3－2，符合题意． 故存在正实数a＝3－2，使得函数f(x)在上有最大值3. 学科网（北京）股份有限公司 $