主题2 第4章 第3节 三角恒等变换（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 以题载法系统覆盖三角恒等变换核心公式应用，通过基础到提升的梯度设计，强化运算能力与推理意识，构建“定义-公式-应用”的完整知识链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练组|10题|选择、填空为主，聚焦公式直接应用与变形（如二倍角、辅助角公式）|从三角函数定义出发，推导同角关系、两角和差及二倍角公式，应用于化简求值| |能力提升组|4题|多选、解答题，涉及函数性质、实际应用（如三角形面积最值）|综合公式逆用与角的拆分，结合三角函数性质（周期性、对称性）解决复杂问题|

课时冲关24　三角恒等变换 [基础训练组] 1．若角α顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线2x＋y＝0上，则sin·cos ＝(　　) A．±　 B．± C．－　　 D. 解析：C　[因为角α终边在直线2x＋y＝0上，所以tan α＝－2，∴cos2α＝. ∴sincos ＝sincos ＝×2sincos ＝sin＝sin ＝cos 2α＝(2cos2α－1)＝cos2α－ ＝－.] 2．下列各式中值为的是(　　) A．tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25° B．2sin 75°cos 75° C．sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15° D．1－2sin2 解析：B　[对A，tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25° ＝tan 45°(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝1，故错误；对B,2sin 75°cos 75°＝sin 150°＝，故正确；对C，sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin(45°＋15°)＝sin 60°＝，故错误；对D，1－2sin2＝cos ＝，故错误．] 3．已知sin αsin＝cos αsin，则tan＝(　　) A．2－ B．－2－ C．2＋ D．－2＋ 解析：B　[由题意sin2α＋sin αcos α ＝cos2α－sin αcos α， 即cos 2α＝sin 2α， 即tan 2α＝，所以tan＝ ＝＝＝－2－.] 4．若λsin 160°＋tan 20°＝，则实数λ的值为(　　) A．4 B．4 C．2 D. 解析：A　[由已知可得λ＝ ＝ ＝＝＝4.] 5．函数f(x)＝4sin＋cos的最大值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：D　[f(x)＝4sin＋cos ＝4＋cos 3x＋sin 3x ＝2sin 3x＋2cos 3x＋cos 3x＋sin 3x＝sin 3x＋cos 3x＝5sin， ∴f(x)最大值为5.] 6．(多选)下列三角式中，值为1的是(　　) A．4sin 15°cos 15° B．2 C. D. 解析：ABC　[A选项，4sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝2×＝1，故正确；B选项， 2＝2cos＝2×＝1，故正确；C选项，＝tan 45°＝1，故正确；D选项，＝＝≠1，故错误．] 7．(多选)已知α为第一象限角，β为第三象限角，且sin＝，cos＝－，则cos(α＋β) 可以为(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：CD　[因为α为第一象限角，所以α∈(2kπ，2kπ＋)，k∈Z， α＋∈，k∈Z， 因为sin＝，所以＜＝sin， 所以α＋是第二象限角， 所以cos＝－，β为第三象限角， 所以β∈，k∈Z，β－∈，k∈Z， 因为cos＝－，所以β－是第二象限角或第三象限角， 当β－是第二象限角时，sin ＝， 此时cos(α＋β)＝cos＝coscos－sin· sin＝×－×＝； 当β－是第三象限角时，sin ＝－， 此时cos(α＋β)＝cos ＝cos cos－sin· sin＝×－×＝.] 8．写出一个满足tan 20°＋4cos θ＝的θ＝________. 解析：由题意4cos θ＝－tan 20° ＝tan 60°－tan 20°＝－ ＝， ＝＝ ＝4sin 20°＝4cos 70°， 因此θ＝70°(实际上θ＝k·360°±70°，k∈Z)． 答案：70°(答案不唯一) 9．若1＋＝，则α的一个可能角度值为________． 解析：1＋＝ ＝＝ ＝＝＝＝， 则sin α＝sin 50°，故α＝k·360°＋50°，k∈Z或α＝k·360°＋130°，k∈Z 故答案为50°，130°，410°，490°等均符合题意． 答案：50°，130°，410°，490°等均符合题意 10．在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为. (1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值． 解：(1)因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角， 所以cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝. (2)因为点Q的纵坐标为， 所以sin β＝. 又因为β为锐角，所以cos β＝. 因为cos α＝，且α为锐角，所以sin α＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin (2α－β)＝×－×＝. 因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝. [能力提升组] 11．(多选)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B.是曲线f(x)的一个对称中心 C．x＝－是曲线f(x)的一条对称轴 D．f(x)在区间上单调递增 解析：ACD　[f(x)＝sin 2x＋(1－cos 2x)＝sin 2x－cos 2x＋＝2sin＋，T＝＝π，A正确；是曲线f(x)的一个对称中心，B错误；2x－＝＋kπ，x＝＋，k∈Z，k＝－1时，x＝－，∴x＝－是曲线f(x)的一条对称轴，C正确；－＜2x－＜，－＜2x＜，－＜x＜，而⊆，∴f(x)在上单调递增，D正确．] 12．y＝cos(α＋β)＋cos α－cos β－1的取值范围是________． 解析：y＝cos αcos β－sin αsin β＋cos α－cos β－1＝(cos β＋1)cos α－sin βsin α－(cos β＋1) ＝sin(α＋φ)－(cos β＋1) ＝sin(α＋φ)－(cos β＋1)， 由sin(α＋φ)∈[－1,1]，得－－(cos β＋1)≤y≤－(cos β＋1)， 令t＝，则t∈[0，]， 则－t－t2≤y≤t－t2， 所以y≥－t－t2＝－2＋≥－4， 当且仅当t＝，即cos β＝1时取等号， 且y≤t－t2＝－2＋≤， 当且仅当t＝，即cos β＝－时取等号， 所以y的取值范围为. 答案： 13．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在BC上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB＝α∈，则PQ＝________(用α表示)；当P在BC上运动时，这块三角形绿地的最大面积是________． 解析：在Rt△PAQ中，∠PAB＝α∈，AP＝60米，∴PQ＝APsin α＝60sin α(米)， 在Rt△PAR中，可得PR＝60sin， 由题可知∠QPR＝，∴△PQR的面积为S△PQR＝·PQ·PR·sin∠QPR ＝×60sin α×60sin×sin ＝900sin αsin ＝450 ＝450， 又α∈，2α＋∈， ∴当2α＋＝，即α＝时，△PQR的面积有最大值225平方米， 即三角形绿地的最大面积是225平方米． 答案：60sin α米　225平方米 14．设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)． (1)求函数y＝2的最小正周期； (2)求函数y＝f(x)f在上的最大值． 解：(1)由辅助角公式得f(x)＝sin x＋cos x＝sin ， 则y＝2＝2 ＝2sin2＝1－cos ＝1－sin 2x， 所以该函数的最小正周期T＝＝π. (2)由题意，y＝f(x)f ＝sin·sin x＝2sinsin x ＝2sin x· ＝sin2x＋sin xcos x ＝·＋sin 2x ＝sin 2x－cos 2x＋ ＝sin＋， 由x∈可得2x－∈， 所以当2x－＝，即x＝时，函数取最大值1＋. 学科网（北京）股份有限公司 $