1.3.2 空间向量运算的坐标 课件--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量运算的坐标表示，涵盖加减、数乘、数量积等运算及共线、垂直、模长、夹角、距离公式。通过复习空间直角坐标系和平面向量运算，引导学生类比推导空间向量坐标运算规则，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点是注重数学思维与应用意识培养，通过“探究”自主推导、“辩一辩”辨析易错点，结合正方体、直三棱柱等典例及高考真题，如用坐标运算证明EF⊥DA₁，帮助学生掌握用数学语言解决立体几何问题的方法，既提升学生空间观念与推理能力，也为教师提供分层教学资源，提高教学效率。

第一章《空间向量与立体几何》 人教A版2019选择性必修第一册 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 x y z 空间直角坐标系 空间直角坐标系 空间向量的坐标表示 空间向量基本定理 点的坐标 向量的坐标 不共面，则对，唯一有序实数组，使得 复习回顾 A 单位正交基底 新课讲解 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗? 向量在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空间则用有序实数组（x,y,z）表示. 平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 类 比 设=(a1,a2),=(b1,b2) 则+=(a1+b1,a2+b2) =(a1-b1,a2-b2) λ =(λa1,λa2) 设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3) 则+=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) =(a1-b1,a2-b2,a3-b3) λ=(λa1,λa2,λa3) •=a1b1+a2b2 •=a1b1+a2b2+a3b3. 对应坐标相加 对应坐标乘积的和 对应坐标相减 每个坐标乘 λ 证明： •=a1b1+a2b2+a3b3. 设,,为单位正交基底， 则=a1 +a2 +a3 ，b=b1+b2 +b3 . 所以•=(a1 +a2 +a3)•(b1 +b2 +b3). 由•= • =•，• = •k=•， 即可得出 •=a1b1+a2b2+a3b3. 其他运算类似可证，请同学们自主完成。 新课讲解 设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3) 练习 书本P22 1. 已知 求: 2. 已知 求x的值. 6 新课讲解 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗? 建立如右图所示的空间直角坐标系Oxyz，设P1(x1, y1, z1)、P2(x2，y2, z2)是空间中任意两点，则 于是 空间两点间的距离公式： 练习 书本P22 3. 在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等. 2.设若(　　) 1.空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同.(　　) × × √ √ 辩一辩 3.设A(0,1,-1)，O为坐标原点，则 4.若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||= 典例剖析 解题步骤： （1）建系 （2）标点 （3）求向量 （4）算值（代公式) C A B D 例2 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F分别是BB1, D1B1的中点，求证：EF⊥DA1. 证明： x y z 典例剖析 例3 如图示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. C A B D M x y z 典例剖析 例3 如图示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上， (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. C A B D M x y z 法二：向量法 法一：几何法（定义） 归纳总结 名 称 坐 标 表 示 加法 减法 数乘 数量积 模长 夹角 平行 当时 垂直 练习 书本P22 4. 如图, 正方体OABC-D'A'B'C'的棱长为a, 点N, M分别在AC, BC'上, AN=2CN，BM=2MC', 求MN的长. A O C B A' D' C' B' M N 14 练习 书本P22 5. 如图，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，M是AB的中点，求DB1与CM所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 M 15 练习　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. (1)求BM，BN的长； (2)求△BMN的面积. x y z 提升演练(检测实践) (1)解：以C为原点建立如图所示空间直角坐标系Cxyz， 则B(0,1,0)，M(1,0,1)，N(0,,1) 所以BM= BN= 练习　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. 提升演练(检测实践) (2)求△BMN的面积. (2)解：由(1)，， x y z 所以△BMN是等腰三角形，设BM中点为D，则D() ⸫S△BMN= ⸫ 走进高考 （2025·全国一卷·第17题，15分）如图,在四棱锥P-ABCD中，PA⟂底面ABCD，AB⟂AD，BC//AD， (1)平面PAB⟂平面PAD (2)设PA=AB=，BC=2，AD=，且点P,B,C,D均在球O的球面上， (ⅰ)证明：点O在平面ABCD内； (ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值. 【分析】（1）通过证明AB⟂AD，AB⟂PA，得出AB⟂平面PAD，即可证明面面垂直； （2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，设球心O(x,y,z)，外接球球心到四点距离相等即|OP|=|OB|=|OC|=|OD|，进而得出点O在空间中的坐标，即可证明结论； （ii）写出直线AC和PO的方向向量，即可求出余弦值. 走进高考 (1)证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⟂底面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ⸫PA⟂AB，PA⟂AD 又AB⟂AD，且PA⋂AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD ⸫AB⟂平面PAD ⸫平面PAB⟂平面PAD ⸪AB⊂平面PAB （2025·全国一卷·第17题，15分）如图,在四棱锥P-ABCD中，PA⟂底面ABCD，AB⟂AD，BC//AD， (1)平面PAB⟂平面PAD 走进高考 （2025·全国一卷·第17题，15分）如图,在四棱锥P-ABCD中，PA⟂底面ABCD，AB⟂AD，BC//AD， (2)设PA=AB=，BC=2，AD=，且点P,B,C,D均在球O的球面上， (ⅰ)证明：点O在平面ABCD内； x y z (2)（i）证明：建立空间直角坐标系如右图所示， ⸫A(0,0,0)，B(,0,0)，C(,2,0)，D(0,,0)，P(0,0,) ⸪点P,B,C,D均在球O的球面上， ⸫外接球球心到四点距离相等，即|OP|=|OB|=|OC|=|OD|， 走进高考 x y z ⸫ ⸫OP2=OB2，展开化简得x=z; OB2=OC2，展开化简得y=1; OP2=OD2，代入x=z，y=1，解得x=0 ⸫z=0，⸫O(0,1,0)，故点O在平面ABCD内. 走进高考 x y z （2025·全国一卷·第17题，15分）如图,在四棱锥P-ABCD中，PA⟂底面ABCD，AB⟂AD，BC//AD， (2)设PA=AB=，BC=2，AD=，且点P,B,C,D均在球O的球面上， (ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值. ⸪A(0,0,0)，C(,2,0)，P(0,0,) 又由（i）O(0,1,0)， ⸫ ⸫ ⸫||=，||= (2)（ii）解： 设直线AC与PO所成角为θ，则cosθ= 课堂小结 今天我们学习了哪些内容？ 1 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示 空间向量运算坐标表示的应用: 设 则 设 度量问题 位置关系 课堂小结 今天我们学习了哪些内容？ 2 关注空间向量与立体几何知识间的联系 化为向量问题 建系，用空间向量表示立体图形中点、直线等元素. 进行向量运算 进行空间向量的运算，研究特殊的位置关系与几何度量. 回到图形问题 把运算结果“翻译”成相应的几何结论. $