26.6 二次函数的图象和性质5 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质，核心知识点包括配方法转化、对称轴与顶点坐标公式及图像性质。课堂导入从已学顶点式y=a(x-h)²+k过渡，通过具体实例分步讲解“提、配、化”配方法，推导一般式顶点坐标公式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于采用结构化表格对比a>0与a<0时的性质，结合探究式推导（如配方步骤示例）和分层练习（如最值求解、图像平移题），培养学生抽象能力、推理能力与模型意识。小结系统梳理配方法、图像特征及性质，学生能提升运算与问题解决能力，教师可直接利用实例与流程高效教学。

第26章 二次函数 26.2二次函数的图象和性质 第5课时 y=ax2+bx+c 的图像和性质 学习目标： 1.掌握用配方法将二次函数一般式 y=ax²+bx+c 化为顶点式 y=a (x-h)²+k 的方法。 2.能够直接从一般式 y=ax²+bx+c 求出抛物线的对称轴和顶点坐标。 3.熟练掌握二次函数 y=ax²+bx+c 的图象性质，并能运用性质解决简单问题。 教学重点:掌握二次函数一般式的对称轴、顶点坐标公式，会分析函数图象性质。 教学难点:熟练使用配方法完成一般式向顶点式的转化，灵活运用公式解题。 温故知新 函数 y=a(x-h)2+k (a>0) y=a(x-h)2+k (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h，k) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=k. 当 x=h 时，y最大值​=k. 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 导入新课 y= x2-6x+21 想一想：配方的方法及步骤是什么？ （1）“提”：提出二次项系数； （2）“配”：括号内配成完全平方； （3）“化”：化成顶点式. 配方后的表达式通常为顶点式。 = (x2-12x)+21 = (x2-12x+62)+21- ×62 = (x-6)2+3 探究新知 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 探究新知 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 新知讲解 思考： 还有其他平移方法吗？ 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 新知讲解 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 新知讲解 用平移法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗? 解：配方得y=-2x2-4x+1 =-2(x2+2x)+1 =-2(x2+2x+1)+2+1 =-2(x+1)2+3 =-2(x+1)2+3 由配方结果知，此抛物线开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1, 3)，顶点是图象的最高点. 画图：先利用对称性列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=-2x2-4x+1 … -15 -5 1 3 1 -5 -15 … 探究新知 开口向下， 对称轴是x=-1， 顶点坐标是(-1, 3). 当x<-1时，y随x增大而增大； 当x>-1时， y随x增大而减小. 描点、连线，画出这个函数的图象. y=-2x2-4x+1 探究新知 将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c （1）“提” （2）“配” （3）“化” ∴对称轴是 ，顶点坐标为 . 二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标为 ，对称轴为 。 （h，k） 直线x=h 探究新知 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （1）y=3x2-6x＋7； （2）y=2x2－12x＋8. =3(x2-2x)+7 =3(x2-2x+1)-3+7 =3(x-1)2+4 对称轴是x=1， 顶点坐标为(1，4). =2(x2-6x)+8 =2(x2-6x+9)-18+8 =2(x-3)2-10 对称轴是x=3， 顶点坐标为(3，-10). 同步训练 要想讨论一般的二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，可先配方得： 一般二次函数的图象的对称轴是直线x=- ， 顶点(- , ). 顶点是最高点还是最低点由谁决定呢？ 新知小结 y O x （a>0） y O x （a<0） 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 最小值 最大值 新知小结 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 新知小结 新知讲解 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a,b,c的关系 简记为 “左同右异” 知识点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 新知讲解 根据二次函数图象确定字母系数及相关代数式的符号的步骤 (1)根据抛物线的开口方向和与y轴的交点位置，先确定a和c的符号； (2)根据a的符号和对称轴的位置，再确定b的符号； (3)最后结合特殊，点的位置，确定代数式的符号. 比如：a+b+c对应的是x=1时的函数值； a-b+c对应的是x=-1时的函数值； 4a+2b+c对应的是x=2时的函数值； 4a-2b+c对应的是x=-2时的函数值. 例1.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： （1）y= － 3x2+12x－3； （2）y=4x2－24x+26； 开口向下，对称轴为直线x=2， 顶点为(2, 9). 开口向上，对称轴为直线x=3， 顶点为(3, -10). y= -3(x-2)2+9 y= 4(x-3)2-10 例题分析 开口向上，对称轴为直线x=-2， 顶点为(-2, -14). 开口向上，对称轴为直线x=3， 顶点为(2, -3). y= 2(x+2)2-14 例2.求下列函数的最大值或最小值： (1) y=3x² + 2x; (2) y=－2x2 + 8x － 8. = － 2(x － 2)² y最大值= 0 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为( ). A. y轴 B.直线x= C. 直线x= 2 D.直线x= x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 D 分层练习 2.已知二次函数y=-x2+2bx+c，当x>1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是( ). A. b≥-1 B. b≤-1 C. b≥1 D.b≤1 D 3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： ① a，b同号； ② 当x=-1和x=3时，函数值相等； ③ 4a+b=0； ④ 当y=-2时，x的值只能取0； 其中正确的是_______. ② - B 5.已知抛物线y=2x2-12x+13. （1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少? （2）当x为何值时，y随x的增大而减小? （3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式. 解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-2x+9)-5=2(x-3)2-5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3, -5)，对称轴为直线x=3. （1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5； （2）当x<3时，y随x的增大而减小； （3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3. 6.已知二次函数y=x2-4x-1. （1）将函数y=x2-4x-1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象顶点B的坐标； （2）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y=x2-4x-1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积. 解：y=x2-4x-1=(x2-4x+4)-4-1=(x-2)2-5， 该函数图象顶点B的坐标为(2, -5). （2）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y=x2-4x-1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积. 解：y=x2-4x-1=(x-2)2-5， ∴B(2, -5)，A(2, 0). 当x=0时，y=-1. ∴C(0, -1). S四边形OABC= (AB+OC)·OA=6. 课堂小结 y=ax2+bx+c (a ≠0) (一般式) 配方法 画法 图象 性质 描点法：列表 → 描点 → 连线 平移法： 上加上减常数项， 左加右减自变量 增减性 最值 $