1.6 线段垂直平分线的性质 同步分层练习 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过“夯实基础-能力提升-拓展创新”三层设计，实现线段垂直平分线性质从概念理解到综合应用的递进巩固，适配新授课差异化教学需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|性质直接应用|选择填空结合图形辨析，强化“垂直平分线上点到两端距离相等”核心概念| |能力提升|尺规作图与实际应用|作图题（如确定中点）与情境应用题（如喷泉位置），发展空间观念与应用意识| |拓展创新|性质与全等综合证明|变式证明题（内外位置变换），深化逻辑推理与数学思维|

1.6 线段垂直平分线的性质 同步分层练习 一、夯实基础： 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，为直线CD上的一点，已知线段，则线段PB的长度为（　　） A．16 B．8 C．6 D．4 2．根据如图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的(　　). A．角平分线 B．中线 C．高线 D．都有可能 3．如图，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的数量关系是（　　） A．PB>PC B．PB=PC C．PB<PC D．PB=2PC 4．如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若，则的周长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，M是直线CD上一点．若线段MA=3，则线段MB=　 　，理由是　 　 6．如图，在中，的中垂线交于点，交于点，已知，的周长为22，则　 　． 7．在中，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，若，，且的周长为16，求　 　. 8．如图，在 中， 是 的中垂线，分别交 ， 于点D，E.若 的周长为8， ，求 的长. 二、能力提升： 9．通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D.连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB.若与的周长之差为4，则AE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（　　）． A．点与点重合时的周长最小； B．点与点重合时的周长最小； C．点落在之间（不包括端点）时的周长最小； D．点落在的延长线上时的周长最小． 12．如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝2cm，△ABD的周长为10cm，则△ABC的周长为　 　cm. 13．如图，的周长为22，由图中的尺规作图痕迹得到的直线交于点，连接．若，则的周长为　 　cm． 14．某市计划在新竣工的矩形广场的内部广场修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉到广场的两个入口，的距离相等，且到广场管理处的距离等于和之间距离的一半，，，的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉的位置要求：不写已知、求作和作法，保留作图痕迹，必须用铅笔作图 15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证： （1）FC=AD； （2）AB=BC+AD. 16．如图，一辆汽车在笔直的公路上由处向处行驶，，分别是位于公路两侧的村庄．利用尺规作图，找出符合条件的点． （1）当汽车行驶到哪个位置（用点表示）时，其到村庄，的距离相等？ （2）当汽车从处出发向处行驶时，在哪一个位置，其到村庄，的距离之和最短？请在图中标出这个位置（用点表示）． 三、拓展创新： 17．如图，在中，，于点，交于点，，连接. （1）如图1，当在内部时，求证：； （2）如图2，当的边，分别在外部和内部时，求证：. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线 ，点P在直线CD上， ∴垂直平分线上的点P到线段AB的两个端点的距离相等，即PB=PA=8. 故答案为：B. 【分析】根据垂直平分线的性质即可求得. 2．【答案】B 【知识点】尺规作图-垂直平分线；三角形的中线 【解析】【解答】解：由作图痕迹可知：点D是BC的中点， ∴AD一定为三角形的中线， 故答案为：B. 【分析】根据垂直平分线尺规作图可知点D是BC中点，从而根据三角形中线的定义得到答案. 3．【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：连接AP， 线段AB，AC的垂直平分线相交于点P， ∴PA=PB，PA=PC， ∴PB=PC. 故答案为：B. 【分析】连接AP，根据线段垂直平分线的性质可得：PA=PB，PA=PC，由等量代换，可得答案. 4．【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解： 垂直平分 ， ， 的周长 ， 又 ， ， 的周长 ． 故 的周长为 ． 故答案为：B． 【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得AD=BD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可得△BCD的周长=AC+边长，据此就可得出答案. 5．【答案】3；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，M是直线CD上一点，MA=3， ∴BM=AM=3. 理由是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 故答案为：3. 【分析】利用“ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ”求解. 6．【答案】12 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解： 的中垂线交于点， ，的周长为22， 故答案为： 【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DA=DB，根据三角形周长计算方法、等量代换及线段的和差可将△BDC的周长转化为AC+BC，再代入BC的长度即可算出AC的长. 7．【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解： ∵DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线， ， ， 的周长为16， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4. 【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，AG=CG，根据三角形周长计算方法及等量代换可得BE+EG+CG=16，进而根据线段的和差即可得出答案. 8．【答案】解：∵ 的周长为8， 又∵ ， ∴ ， 又∵ 是 的中垂线， ∴ ， ∴ . 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【分析】利用△BCE的周长为8，可求出CE+BE的长；再利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可证得EC=EA，从而利用AB=CE+BE即可求解. 9．【答案】A 【知识点】尺规作图-垂直平分线 【解析】【解答】作线段的垂直平分线可得线段的中点． 由此可知：选项A符合条件， 故选A． 【分析】 基本尺规作图中通过垂直平分线的做法可以得到中点，所以是边中点的一定是通过线段的垂直平分线得到的. 10．【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线 【解析】【解答】解：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线， ∴与的周长之差为4，就是2AC-2AE=4， ∴AC=5， ∴10-2AE=4， 解得AE=3， 故答案为：C. 【分析】利用作图可知CD是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可证得AC=BC，AE=BE，再利用△ABC和△ABE的周长的差为4，可得到2AC-2AE=4，代入计算求出AE的长. 11．【答案】A 【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质 12．【答案】14 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：由作图可知：MN为线段AC的垂直平分线， ∴ ∵△ABD的周长为10cm， ∴ ∴ ∴△ABC的周长为： 故答案为：14. 【分析】根据作图可知：MN为线段AC的垂直平分线，则进而根据题意得到：进而即可求解. 13．【答案】12 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：由题意可知：为线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长为22， ∴， ∵的周长等于， ∴的周长等于． 故答案为：12. 【分析】由作图可知：为线段的垂直平分线，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，AD=BD，然后由三角形的周长等于三角形三边之和即可求解． 14．【答案】解：如图，点即为所求． 【知识点】尺规作图-垂直平分线 【解析】【分析】根据题意，作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可． 15．【答案】（1）证明：∵AD∥BC ， ∴∠ADC=∠ECF ， ∵E是CD的中点 ， ∴DE=EC . ∵在△ADE与△FCE中， ∴△ADE≌△FCE (ASA) ， ∴FC=AD （2）证明：∵△ADE≌△FCE， ∴AE=EF， AD=CF ， ∴BE是线段AF的垂直平分线， ∴AB=BF=BC+CF， ∵AD=CF ， ∴AB=BC+AD 【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】(1) 根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF， 再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答.(2) 根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可. 16．【答案】（1）解：根据题意，连接作垂直平分线，交于点， 如图点即为所求， （2）解：根据题意，连接交于点，如图点即为所求， 【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-垂直平分线 【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，连接作垂直平分线，交于点即为所求； （2）根据两点间线段最短，连接交于点即为所求． （1）解：根据题意，连接作垂直平分线，交于点， 如图点即为所求， （2）解：根据题意，连接交于点， 如图点即为所求， 17．【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接. ∵， ∴，. 又∵， ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. 在和中， ∴. ∴. ∴. （2）证明：如图，在的延长线上截取，连接. ∵， ∴，. 又∵， ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. 在和中， ∴. ∴. ∵， ∴. 【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算 【解析】【分析】（1） 从问题入手，三条线段不在一个三角形或一条边上，想办法等量代换，如果在EF找到一点将EF的分成两段，与等号另一边两线段分别相等就可以证得结论了，结合已知的等边等角条件，故想到在EF上找到一点H，令EH=BH，连接AF作辅助线；接下来需要证明FH=FC，要证明两线段相等，通常可先尝试证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路即可； （2）基本思路同（1），观察需要证明的等式，作辅助线找到线段BE的2倍，故想到在FE的延长线上找到一点N，令EN=BE，连接AN，则需要证明CF=NF，同样要证明两线段相等，先证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路写出证明过程。 1 学科网（北京）股份有限公司 $