第52讲　圆的方程课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“圆的方程”专题，依据课标要求覆盖确定圆的几何要素、标准方程与一般方程、轨迹方程求解等核心考点，对接高考评价体系分析方程求法、最值问题、轨迹问题三大高频考点，归纳选择、填空、解答典型题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题实战与应试技巧指导，如2025北京卷利用圆心在对称轴求参数，2026佛山模拟通过几何性质转化最值问题，培养学生数学眼光观察几何关系、数学思维构建解题逻辑。特设规律与技巧总结，帮助学生掌握待定系数法等突破方法，教师可据此精准教学，助力高效备考。

专题8　直线与圆、圆锥曲线 1 第52讲　圆的方程 目 录 课标要求 夯基固本 考点探究 01 03 02 课标要求 返回目录 夯基固本 知识梳理 >> 定点 定长 圆心 返回目录 夯基固本 返回目录 待定系数法 标准或一般 a，b，r或D，E，F a，b，r或D，E，F 返回目录 夯基固本 >> 常用结论 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 返回目录 返回目录 夯基固本 热身练习 >> A 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 A 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 考点探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 圆的方程及求法 D 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 B 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点2 与圆有关的最值问题 [4，6] 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 B 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点3 与圆有关的轨迹问题 A 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 A 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 ABD 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程. 2.能根据给定条件求圆的标准方程及与圆有关的轨迹方程． 1．圆的定义 在平面内，到 的距离等于 的点的集合叫做圆． 确定一个圆最基本的要素是 和半径． eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F) 2．圆的方程 (1)圆的标准方程： ，其中(a，b)为圆心，r为半径． 特别地，当a＝b＝0时，表示圆心在原点的圆的方程：x2＋y2＝r2. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为 ，半径r＝ ． (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (－ eq \f(D,2)，－ eq \f(E,2)) 3．求圆的方程的方法和步骤 由于圆的方程形式已知，所以求圆的方程常采用 ，大致步骤为： (1)根据题意，选择 方程； (2)根据条件列出关于 的方程组； (3)解出 代入标准方程或一般方程． 1．点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)， (1)点在圆上⇔ ； (2)点在圆外⇔ ； (3)点在圆内⇔ ． 2．平面上定点A与圆P上动点B之间的距离的最值 (1)最大值为|PA|＋r； (2)最小值为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|PA|－r)).(其中r为圆P的半径) 3．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 1．“a<1”是“方程2x2＋2y2＋2ax＋6y＋5a＝0表示圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为方程2x2＋2y2＋2ax＋6y＋5a＝0， 即x2＋y2＋ax＋3y＋ eq \f(5a,2)＝0表示圆， 等价于a2＋9－10a>0，解得a>9或a<1， 故“a<1”是“方程2x2＋2y2＋2ax＋6y＋5a＝0表示圆”的充分不必要条件．故选A. 2．(2025·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C．1 D．－1 解析：由题可知圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝ eq \f(1,2).故选A. 3．(教材母题选必修习题2.4T8)已知长为2a(a>0)的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为____________. x2＋y2＝a2 解析：如图，不论直线怎么移动，线段AB的中点P与原点O的连线始终为Rt△OAB斜边上的中线，即|OP|＝a，即x2＋y2＝a2.故所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2. 4．已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是____________________． x2＋y2＋4x－2y＝0 解析：设直径的两个端点分别A(a，0)，B(0，b)，圆心C为点(－2，1)，由中点坐标公式，得 eq \f(a＋0,2)＝－2， eq \f(0＋b,2)＝1，解得a＝－4，b＝2.所以半径r＝ eq \r((－2＋4)2＋(1－0)2)＝ eq \r(5)， 所以圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0. 5．设点P是函数y＝－ eq \r(4－(x－1)2)的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为__________． eq \r(5)－2 解析：如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝ eq \r(5)，故|PQ|min＝|CA|－2＝ eq \r(5)－2. 【例1】 (1)过两点A(0，4)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上的圆的标准方程是(　　) A．(x＋4)2＋(y＋1)2＝25 B．(x＋4)2＋(y－1)2＝25 C．(x－4)2＋(y＋1)2＝25 D．(x－4)2＋(y－1)2＝25 解析：设圆心坐标为C(2b＋2，b)， 由圆过两点A(0，4)，B(4，6)， 可得|AC|＝|BC|， 即[(2b＋2)－0]2＋(b－4)2＝[(2b＋2)－4]2＋(b－6)2， 解得b＝1，可得圆心为(4，1)，半径为5， 则所求圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝25.故选D. 【例1】 (2)若圆C与y轴相切，与直线l：y＝ eq \f(\r(3),3)x也相切，且圆C经过点P(2， eq \r(3))，则圆C的半径为__________. 1或 eq \f(7,3) 解析：由题意，在直线l：y＝ eq \f(\r(3),3)x中，倾斜角为30°， 所以圆C的圆心在两切线所成角的平分线y＝ eq \r(3)x上． 设圆心C(a， eq \r(3)a)， 则圆C的方程为(x－a)2＋(y－ eq \r(3)a)2＝a2， 将点P(2， eq \r(3))的坐标代入，得(2－a)2＋( eq \r(3)－ eq \r(3)a)2＝a2， 解得a＝1或a＝ eq \f(7,3)，所以圆C的半径为1或 eq \f(7,3). 【例1】 (3)(2026·湖北高三校联考期末)广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形区域x2＋y2≤4.其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数sgn (x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，)) 则当x2＋y2≤4时，下列不等式能表示图中阴影部分的是(　　) A．x(x2＋(y－sgn (x))2－1)≤0 B．y((x－sgn (y))2＋y2－1)≤0 C．x(x2＋(y－sgn (x))2－1)≥0 D．y((x－sgn (y))2＋y2－1)≥0 解析：对于A，当x>0时，x2＋(y－sgn (x))2－1＝x2＋(y－1)2－1≤0，即表示圆x2＋(y－1)2＝1内部及边界，显然不满足，A错误； 对于B，当y>0时，(x－sgn (y))2＋y2－1＝(x－1)2＋y2－1≤0，即表示圆(x－1)2＋y2＝1内部及边界，显然不满足，B错误； 对于C，当x>0时，x2＋(y－sgn (x))2－1＝x2＋(y－1)2－1≥0，即表示圆x2＋(y－1)2＝1外部及边界，满足； 当x<0时，x2＋(y－sgn (x))2－1＝x2＋(y＋1)2－1≤0，即表示圆x2＋(y＋1)2＝1的内部及边界，满足，C正确； 对于D，当y>0时，(x－sgn (y))2＋y2－1＝(x－1)2＋y2－1≥0，即表示圆(x－1)2＋y2＝1外部及边界，显然不满足，D错误．故选C. (1)直接法．根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得到所求方程． (2)待定系数法．其一般步骤为： ①根据题意选用圆的方程两种形式中的一种； ②根据所给条件，列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解方程组，求出a，b，r或D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程． 1．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 解析：直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，即(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y－1＝0，,3x－2y＋5＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，)) 即P(－1，1)，圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心C(2，－3)，|PC|＝5， 所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.故选B. 2．过直线2x＋y＋4＝0和圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为 . (x＋ eq \f(13,5))2＋(y－ eq \f(6,5))2＝ eq \f(4,5)(或x2＋y2＋ eq \f(26,5)x－ eq \f(12,5)y＋ eq \f(37,5)＝0) 解析：联立方程 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,(x＋1)2＋(y－2)2＝4，)) 解得交点坐标为(－3，2)，(－ eq \f(11,5)， eq \f(2,5)). 过两交点的圆中，以交点为端点的线段为直径的圆面积最小，故所求圆的圆心坐标为(－ eq \f(13,5)， eq \f(6,5))， 半径为 eq \r((－3＋\f(13,5))2＋(2－\f(6,5))2)＝ eq \f(2\r(5),5)， 故所求圆的方程为(x＋ eq \f(13,5))2＋(y－ eq \f(6,5))2＝ eq \f(4,5). 3．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________________． (x＋1)2＋(y－ eq \r(3))2＝1 解析：由题知，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1，因为点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A. 因为∠FAC＝120°，所以∠FAO＝30°. 所以OA＝ eq \f(OF,tan ∠FAO)＝ eq \f(1,\f(\r(3),3))＝ eq \r(3)，所以OA＝ eq \r(3)， 所以A(0， eq \r(3))， 如图所示． 所以C(－1， eq \r(3))，圆的半径为CA＝1， 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－ eq \r(3))2＝1. 【例2】 (1)(2025·福建宁德校考)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是_________________． 解析：因为∠APB＝90°，所以点P的轨迹是以AB为直径的圆O，半径为m， 故点P是圆O与圆C的交点，如图所示． 又C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心和半径分别为(3，4)，r＝1，|OC|＝ eq \r(32＋42)＝5， 因此两圆相切或相交， 即|m－1|≤ eq \r(32＋42)≤m＋1，解得4≤m≤6. 【例2】 (2)(2026·广东佛山模拟)已知圆C：(x－1)2＋y2＝4，过点A(0，1)的两条直线l1，l2互相垂直，圆心C到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为(　　) A． eq \f(\r(2),2) B．1 C． eq \r(2) D．4 解析：如图，过圆心C分别作直线l1，l2的垂线，垂足分别为E，F. 因为l1，l2互相垂直， 所以四边形AECF为矩形． 由圆C：(x－1)2＋y2＝4，可得C(1，0)， 又A(0，1)， 所以d eq \o\al(2,1)＋d eq \o\al(2,2)＝|CE|2＋|CF|2＝|AC|2＝2≥2d1d2， 所以d1d2≤1， 当且仅当d1＝d2＝1时取等号，即d1d2的最大值为1， 故选B. 【例2】 (3)(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知实数x1，x2，y1，y2，满足x eq \o\al(2,1)＋y eq \o\al(2,1)＝4，x eq \o\al(2,2)＋y eq \o\al(2,2)＝9，x1x2＋y1y2＝0，则|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|的最小值是__________． 18－ eq \r(26) 解析：依题意，方程x eq \o\al(2,1)＋y eq \o\al(2,1)＝4，x eq \o\al(2,2)＋y eq \o\al(2,2)＝9分别表示以原点O为圆心，2，3为半径的圆． 令B(x1，y1)，A(x2，y2)，即点B，A分别在x2＋y2＝4，x2＋y2＝9上，如图． 显然 eq \o(OB,\s\up12(→))＝(x1，y1)， eq \o(OA,\s\up12(→))＝(x2，y2)， eq \o(OB,\s\up12(→))· eq \o(OA,\s\up12(→))＝x1x2＋y1y2＝0， 即有 eq \o(OB,\s\up12(→))⊥ eq \o(OA,\s\up12(→))， |AB|＝ eq \r(|OA|2＋|OB|2)＝ eq \r(13). 取线段AB的中点P，连接OP，则|OP|＝ eq \f(1,2)|AB|＝ eq \f(\r(13),2)， 因此点P在以原点为圆心， eq \f(\r(13),2)为半径的圆上． 而|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|＝ eq \r(2)( eq \f(|x1＋y1－9|,\r(2))＋ eq \f(|x2＋y2－9|,\r(2)))， 即|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|表示点A，B到直线l：x＋y－9＝0的距离和的 eq \r(2)倍， 过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为M，N，过P作PD垂直于直线l于点D， 于是AM∥PD∥BN，|AM|＋|BN|＝2|PD|， |x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|＝ eq \r(2)(|AM|＋|BN|)＝2 eq \r(2)|PD|， 原点O到直线l的距离d＝ eq \f(9,\r(2))， 显然|PD|≥d－|OP|＝ eq \f(9,\r(2))－ eq \f(\r(13),2)，当且仅当点O，P，D共线，且点P在线段OD上时取等号， 所以(|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|)min＝2 eq \r(2)|PD|min＝2 eq \r(2)( eq \f(9,\r(2))－ eq \f(\r(13),2))＝18－ eq \r(26). (1)处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，常根据代数式的几何意义，借助数形结合的方法求解． (2)与圆有关的最值问题，常见类型有： ①形如μ＝ eq \f(y－b,x－a)的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； ③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题； ④圆上的点到直线的距离的最大、最小值问题． 4．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋ eq \f(3\r(2),2) B．4 C．1＋3 eq \r(2) D．7 C 解析：(方法1)令x－y＝k，则x＝k＋y，代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0. 因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0， 化简得k2－2k－17≤0，解得1－3 eq \r(2)≤k≤1＋3 eq \r(2)，故x－y的最大值是3 eq \r(2)＋1.故选C. (方法2)x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9， 令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π)， 则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3 eq \r(2)cos (θ＋ eq \f(π,4))＋1， 因为θ∈[0，2π)，所以θ＋ eq \f(π,4)∈[ eq \f(π,4)， eq \f(9π,4))，则当θ＋ eq \f(π,4)＝2π，即θ＝ eq \f(7π,4)时，x－y取得最大值3 eq \r(2)＋1.故选C. (方法3)由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9. 设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝ eq \f(|2－1－k|,\r(2))≤3， 解得1－3 eq \r(2)≤k≤1＋3 eq \r(2)，故选C. 5．在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋m(k≠0)与x轴和y轴分别交于A，B两点，|AB|＝2 eq \r(2)，若CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点(1，1)的距离的最大值为(　　) A．4 eq \r(2) B．3 eq \r(2) C．2 eq \r(2) D． eq \r(2) B 解析：由y＝kx＋m(k≠0)得A(－ eq \f(m,k)，0)，B(0，m)，故由|AB|＝2 eq \r(2)得(－ eq \f(m,k))2＋m2＝8，且AB的中点到原点的距离为 eq \r(2). 由CA⊥CB得 eq \o(AC,\s\up12(→))· eq \o(BC,\s\up12(→))＝0. 设C(x，y)，则(x＋ eq \f(m,k)，y)·(x，y－m)＝0，即(x＋ eq \f(m,2k))2＋(y－ eq \f(m,2))2＝ eq \f(m2,4k2)＋ eq \f(m2,4)，即点C的轨迹为一动圆． 设该动圆圆心为(x′，y′)，则x′＝－ eq \f(m,2k)，y′＝ eq \f(m,2)， 整理得k＝－ eq \f(y′,x′)，m＝2y′，代入(－ eq \f(m,k))2＋m2＝8中， 得x′2＋y′2＝2，即点C的轨迹的动圆的圆心在圆x′2＋y′2＝2上， 故点(1，1)与该圆上的点(－1，－1)的连线的距离加上圆的半径即为点C到点(1，1)的距离的最大值，最大值为 eq \r([1－(－1)]2＋[1－(－1)]2)＋ eq \r(2)＝3 eq \r(2)，故选B. 6．已知点P(1，0)及圆C：x2＋y2＝2，点M，N在圆C上，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为(　　) A．[ eq \r(3)－1， eq \r(3)＋1] B．[2－ eq \r(2)，2＋ eq \r(2)] C．[2－ eq \r(3)－1，2＋ eq \r(3)] D．[2－ eq \r(2)－1，2＋ eq \r(3)] A 解析：由题意，设点M，N的中点为D(x，y)，如图所示． 因为PM⊥PN， 所以Rt△PMN斜边的中线等于斜边的一半， 即|PD|＝ eq \f(|MN|,2). 又由垂径定理有 eq \f(|MN|,2)＝ eq \r(|OM|2－|OD|2)， 所以|PD|＝ eq \r(|OM|2－|OD|2)，即|PD|2＝|OM|2－|OD|2， 则有(x－1)2＋y2＝2－(x2＋y2)， 化简得x2－x＋y2＝ eq \f(1,2)，即(x－ eq \f(1,2))2＋y2＝( eq \f(\r(3),2))2， 所以点D的轨迹是以( eq \f(1,2)，0)为圆心， eq \f(\r(3),2)为半径的圆． 由圆的性质有|DP|min＝ eq \f(\r(3),2)－ eq \f(1,2)，|DP|max＝ eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2). 又|MN|＝2|PD|， 所以|MN|min＝ eq \r(3)－1，|MN|max＝ eq \r(3)＋1， 所以|MN|的取值范围为[ eq \r(3)－1， eq \r(3)＋1]，故选A. 【例3】 (1)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A． eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1(y>0) B． eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,8)＝1(y>0) C． eq \f(y2,16)＋ eq \f(x2,4)＝1(y>0) D． eq \f(y2,16)＋ eq \f(x2,8)＝1(y>0) 解析：设点M(x，y)，则P(x，y0)，P′(x，0). 因为M为PP′的中点，所以y0＝2y，即P(x，2y). 又P在圆x2＋y2＝16(y>0)上， 所以x2＋4y2＝16(y>0)，即 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1(y>0)， 即点M的轨迹方程为 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1(y>0).故选A. 【例3】 (2)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求： (ⅰ)直角顶点C的轨迹方程； (ⅱ)直角边BC的中点M的轨迹方程． 解析：(ⅰ)(直接法)设C(x，y).因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1. 又kAC＝ eq \f(y,x＋1)，kBC＝ eq \f(y,x－3)， 所以 eq \f(y,x＋1)· eq \f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0). (ⅱ)(代入法)设M(x，y)，C(x0，y0). 因为B(3，0)，M是线段BC的中点， 所以x＝ eq \f(x0＋3,2)，y＝ eq \f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y. 又C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 所以动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). (1)求与圆有关的轨迹方程时，要注意充分利用圆的几何性质． (2)求与圆有关的轨迹方程常用的方法有： ①直接法：直接根据题目条件列出方程． ②定义法：判断几何条件符合圆的定义，再用待定系数法求． ③代入法：找到所求的点与已知点的关系，再代入已知点所满足的关系式等． 7．已知抛物线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(3，1)，圆Q过A，B，C三点，当实数m变化时，存在一条定直线l被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线l的方程为(　　) A．x－3y＝0 B．3x－y＋1＝0 C． eq \r(3)x－y－1＝0 D．x－ eq \r(3)y＝0 解析：设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 由题意可得y＝0时，x2＋Dx＋F＝0与x2＋mx－2＝0等价，可得D＝m，F＝－2， 圆的方程即为x2＋y2＋mx＋Ey－2＝0. 由圆过C(3，1)可得9＋1＋3m＋E－2＝0， 可得E＝－8－3m，即圆的方程为x2＋y2＋mx＋(－8－3m)y－2＝0，整理得(x2＋y2－8y－2)＋m(x－3y)＝0. 因为m为任意实数方程都成立， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2－8y－2＝0，,x－3y＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(1,5)，)) 所以圆过定点(3，1)和(－ eq \f(3,5)，－ eq \f(1,5))， 此时过两点的弦长为定值 eq \r((－\f(3,5)－3)2＋(－\f(1,5)－1)2)＝ eq \f(6\r(10),5)， 过两点的直线的斜率为 eq \f(－\f(1,5)－1,－\f(3,5)－3)＝ eq \f(1,3)， 所以过两点的直线的方程为y－1＝ eq \f(1,3)(x－3)， 即为x－3y＝0.故选A. 8．(多选)在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(－2，0)，点P满足 eq \f(|PA|,|PB|)＝ eq \f(1,2)，设点P的轨迹为C，则(　　) A．C的周长为4π B．OP平分∠APB C．△ABP面积的最大值为6 D．当AP⊥AB时，直线BP与圆C相切 解析：设P(x，y).因为A(1，0)，B(－2，0)，点P满足 eq \f(|PA|,|PB|)＝ eq \f(1,2)，所以 eq \f(\r((x－1)2＋y2),\r((x＋2)2＋y2))＝ eq \f(1,2)， 整理化简得(x－2)2＋y2＝4， 即曲线C的方程为(x－2)2＋y2＝4， 如图所示． 对于A，曲线C为半径为2 的圆，故周长为2π·2＝4π，A正确． 对于B，因为A(1，0)，B(－2，0)，所以 eq \f(|OA|,|OB|)＝ eq \f(1,2)，所以 eq \f(|OA|,|OB|)＝ eq \f(|PA|,|PB|)，延长BP到Q，使|AP|＝|PQ|，连接AQ，如图所示． 因为|AP|＝|PQ|， 所以 eq \f(|OB|,|OA|)＝ eq \f(|PB|,|PA|)＝ eq \f(|PB|,|PQ|)， 所以OP∥AQ，所以∠OPB＝∠Q，∠OPA＝∠QAP. 因为|AP|＝|PQ|，所以∠OPA＝∠Q. 所以∠OPB＝∠OPA，即OP平分∠APB，B正确． 对于C，△ABP的面积S＝ eq \f(1,2)|AB|·|yP|＝ eq \f(3,2)|yP|. 要使△ABP的面积最大，只需|yP|最大， 由点P的轨迹为C：(x－2)2＋y2＝4可得|yP|max＝2， 所以△ABP面积的最大值为3，C错误． 对于D，当AP⊥AB时，P(1， eq \r(3))或(1，－ eq \r(3))，如图所示．不妨取P(1， eq \r(3))，则直线BP：y＝ eq \f(\r(3)－0,1－(－2))(x＋2)，即y＝ eq \f(\r(3),3)(x＋2). 因为圆心C(2，0)到直线BP的距离为d＝ eq \f(|\f(\r(3),3)(2＋2)|,\r(1＋(\f(\r(3),3))2))＝2，所以d＝r，即直线BP与圆C相切，D正确．故选ABD. $