第6节 一元二次方程、不等式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次方程与不等式核心考点，依据课标要求构建“基础夯实-考点突破-分层练习”体系，通过知识梳理建立三个“二次”内在联系，结合重点汇总与基础测试巩固概念，助力学生系统掌握判别式、韦达定理及不等式解法。 讲义创新采用“考法分析+例题变式+思维点拨”教学模式，如在恒成立问题中引导学生通过分离参数转化为函数最值，培养数学思维与推理能力。设置基础测试、课后练习及拔高练习分层训练，配合详细解析，帮助教师精准把控复习节奏，有效提升学生解题能力与应考技巧。

第6节 一元二次方程、不等式 课标要求： 1． 会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数； 2． 了解二次函数零点与方程根的关系； 3． 了解一元二次不等式的意义； 4． 能借助二次函数的图象求解一元二次不等式． 模块一：基础夯实与概念辨析 1、 知识梳理 1． 一元二次方程 （1） 定义：形如的方程，其中为常数，且． （2） 解法 1 因式分解法：化为，直接得到根； 2 配方法：； 3 求根公式法：，其中． （3） 判别式与根的情况：判别式决定了方程根的情况 1 当时，方程有两个不相等的实数根； 2 当时，方程有两个相等的实数根； 3 当时，方程无实数根（复数范围内有一对共轭虚根）． （4） 韦达定理（根与系数的关系） 若是方程（）的两个根，则： 1　 ； 2　 ． 2． 一元二次不等式 （1） 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式； （2） 形式：形如（或）的不等式，其中为常数，且． 3． 三个“二次”之间的关系 判别式 二次函数 （） 的图象 一元二次方程（）的根 有两个不同的实数根（） 有两个相等的实数根 没有实数根 （）的解集 （）的解集 4． 简单分式不等式 （1） ； （2） 且． 二、重点汇总 1．常用结论 （1）根的分布：方程（）的两根满足的充要条件是； （2）二次项系数：若不等式的解集为，则；若解集为则； （3）恒成立问题： 1　 对任意恒成立； 2　 对任意恒成立． （4）存在性问题： 1　 有解，等价于函数的最大值大于； 2　 有解，等价于函数的最小值小于． 2．易错提醒 （1）忽视二次项系数：在讨论形如的方程或不等式时，若未明确说明是“一元二次”，需讨论的情况； （2）解不等式时忽略的符号：解时，一般先判断正负，若，可先化为正进行计算； （3）混淆“恒成立”与“存在性”：“恒成立”关注最值，“存在性”更多关注值域； （4）含参问题考虑不全：含参比较两根大小时，容易漏掉分类讨论参数范围； （5）分式不等式的转化：分式不等式遗漏分母不能为的限制条件． 三、基础测试 1．请判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． （1）是一元二次方程．（　　） （2）不等式的解集为．（　　） （3）若不等式的解集为，则．（　　） （4）不等式的解集为．（　　） （5）若方程（）没有实数根，则不等式（）的解集为．（　　） （6）等价于．（　　） 2．有意义的实数的取值范围是_________． 3．已知，，则_________． 4．关于的不等式的解集是，则实数_________． 5．不等式的解集是_________． 6．不等式对一切实数都成立，则的取值范围是_________． 模块二：考点突破与题型演练 考点一 三个二次之间的关系 【考法分析】给出一元二次不等式的解集，判断参数范围、求其它相关不等式的解等是一个常考的点，核心是利用解集和韦达定理解决问题． 【例题1】（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式的解集为 C． D． 【变式1】（多选）已知关于的不等式的解集为．则（　　） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是 【思维点拨】（1）一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根； （2）解决这类问题的基本步骤如下： 1　 根据不等式的解集判断的正负； 2　 利用解集的端点值和韦达定理求出参数之间的关系； 3　 参数代数值的范围可根据对应的二次函数在特殊点处的函数值进行判断； 4　 对于新的不等式，可以根据之间的关系型进行代换，然后进行常规的求解，提出公共参数时需要注意参数的正负性对不等号开口方向的影响． 考点二 一元二次不等式的解法 【考法分析】考查不含参和含参一元二次不等式的解法以及分式不等式的求解，特别是含参时需要分类讨论，是考查的难点． 【例题2】（1）不等式的解集为_________． （2）解关于的不等式． 【变式２】（1）下列选项中，正确的是（　　） A． 不等式的解集为 B． 不等式的解集为 C． 不等式的解集为 D． 已知，则“”是“”的充分不必要条件 （2）解关于的不等式． 【思维点拨】（1）解一元二次不等式的基本步骤： 1　 先求出对应的一元二次方程的根； 2　 根据方程的根和对应的函数的图象得到不等式的解集． （2）对于含参的一元二次不等式，需要对参数进行分类讨论，常见的分类有： 1　 根据二次项系数的正、负和零进行分类； 2　 根据判别式和的关系进行分类； 3　 有两个根时，还需要根据根的大小进行分类． 考点三　一元二次不等式的恒成立与有解问题 【考法分析】将不等式问题转化为函数最值问题，是高考的重点和难点． 【例题３】（1）已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． （2）不等式对任意恒成立，则实数的最小值是（　　） A． B． C． D． （3）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（1）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是_________． （2）已知，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． （3）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】（1）对于实数集上的恒成立问题，一般有两个步骤：一是如果二次项系数含有参数则先考虑参数为的情况；二是利用判别式和对应的二次函数开口方向进行判断； （2）一元二次不等式在特定区间上恒成立/有解问题：一般不能直接使用判别式，而是通过分离参数的方法，转化为函数最值问题； （3）给定参数范围的恒成立问题：一般通过转化参数的方法，转化为函数最值问题． 考点四 一元二次不等式的实际应用 【考法分析】结合应用题建模，列出二次方程 / 不等式求解取值范围． 【典例4】某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为_________元． 【变式4】（多选）在一个限速的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系： ，．两车是否超速下列判断正确的是（　　） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 【思维点拨】解决应用题的一般步骤如下： （1） 根据题目设置合适的未知数，根据题意列出不等式； （2） 解不等式，再结合实际问题，进一步得到合理的解； （3） 把最终的答案结合实际意义还原问题． 课后练习 1、 单选题 1． 若集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式（）的解集为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 6．当时，关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 7．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．人工智能的某神经元输出函数可表示为（为权重参数，为输入特征值），当输入时会触发过滤机制．若对任意权重参数，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2、 多选题 9． 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 10．关于的不等式的解集可能是（　　） A． B． C． D． 11．若存在（），使得的解集为，则下列结论正确的是（　　） A．的解集为 B．的解集为 C． D． 3、 填空题 12． 关于的不等式的解集为_________． 13． 已知集合，若集合中恰有两个元素，则实数的取值范围是_________． 14． 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解集为_________． 4、 解答题 15． 解下列关于的不等式： （1）； （2）； （3）． 16． 设命题，命题． （1） 若为真命题，求实数的取值范围； （2） 若为假命题、为真命题，求实数的取值范围． 17． 已知不等式的解集为． （1） 求的值； （2） 解不等式． 18． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 19． 某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万元/辆，年销售量为辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应的提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． （1） 写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式； （2） 为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？ 拔高练习 1． 已知表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数，若满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若关于的不等式的解集中有且只有个整数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（多选）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（　　） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 6．若方程（）在上有实根，则的最大值为_________． 7．已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是_________． 8．已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_________． 9．若关于的不等式（）的解集为，则的取值范围是_________． 参考答案 三、基础测试 1．（1）× 【解析】当时，方程为一元一次方程． （2）× 【解析】，一元二次不等式对应的二次函数的图象开口向下，，所以恒成立，故的解集为． （3）× 【解析】若，则一元二次不等式对应的二次函数的图象开口向上，不等式对应的解集应为． （4）× 【解析】当时，不等式的解集为． （5）× 【解析】当时，方程对应的二次函数开口向上，方程（）没有实根，则恒成立，所以（）的解集为． （6）× 【解析】不等式的解集为，不等式的解集为，两个不等式并不等价． 2．或 【解析】要使有意义，则， 即，解得或． 3． 【解析】，则， 解得或，即， ，则， 解得或，即， ∴． 4． 【解析】不等式的解集为，则， ∴的根为和， 由韦达定理，， ∴，，∴． 5．或 【解析】，则， 即，解得或． 6． 【解析】若，，对一切都成立， 若，只需满足，， 即，解得， 综上，． 【例题1】AB 【解析】结合对应的二次函数的图象，以及不等式的解集， 可得，选项A正确； 方程的根为、， 由韦达定理：，， ∴，， ∴不等式可化为， ∵，∴不等式可化为， 即，解得，选项B正确； ，选项C错误； ，选项D错误． 【变式1】BC 【解析】结合对应的二次函数的图象，以及不等式的解集， 可得，选项A错误； 方程的根为、， 由韦达定理：，， ∴，， ∴不等式可化为， ∵，∴，即，选项B正确； ，选项C正确； 不等式可化为， ∵，∴不等式可化为， 即，解得或，选项D错误． 【例题2】（1）或 【解析】，则， 解得或． （2）解：不等式对应的方程为， ， 令，解得，， 当时，，方程无实根， 原不等式的解集为； 当时，方程的解为， 原不等式的解集为； 当时，方程的解为， 原不等式的解集为； 当或时， 方程的解为，, 原不等式的解集为． 【变式2】（1）D 【解析】，则， 即，解得，选项A错误； ，则，即， 等价于，解得，选项B错误； ，∴，即，选项C错误； ，则，解得或， ，则，解得或， ∴“”是“”的充分不必要条件，选项D正确． （2）解：若，不等式化为，解集为， 若，不等式化为， 若，不等式的解集为， 若，，不等式的解集为或， 若，不等式的解集为， 若，，不等式的解集为或． 【例题3】（1）A 【解析】当时，不等式化为，不等式恒成立， 当时，不等式恒成立只需满足： ， 解得：， 综上，． （2）C 【解析】当时，不等式可化为， ， 当且仅当即时取等号， ，∴， 要使不等式恒成立，只需， ∴的最小值是． （3）C 【解析】不等式可化为， 设， 要使时不等式恒成立， 只需， 解得． 【变式3】（1） 【解析】， 存在，使不等式成立， 只需时，， 函数的对称轴为， 当，即时， ， 解得或， ∴， 当时，在区间上单调递增， ∴， ∴，与矛盾，此时无解， 当时，在区间上单调递减， ∴， ∴，又，∴， ∴的取值范围是． （2）C 【解析】， 当时，不等式可化为， 要使不等式恒成立，只需要， ，， 又，∴， 设（），， 的对称轴为， ∴在上单调递增， ∴，∴． （3）A 【解析】， ∴， 设， 要使不等式恒成立，只需满足： ， 解得或． 【典例4】 【解析】设价格提高元，则销售收入为， ∴根据题意可得， 即，解得， ∴该商品每件定价最多为元． 【变式4】BC 【解析】由题意，即， 解得：或， 不能推出，无法判断是否超速； ，即， 解得：或，∴乙车超速． 课后练习 1．Ａ 【解析】，∴， 即，∴， ，则， 解得或，∴， ∴． ２．D 【解析】不等式的解集为， ∴，的两个根为， 由韦达定理： ，， ∴，， ∴， ∵，∴，， ∴， ∴的取值范围是． 3．A 【解析】，则， 解得， ，则， 解得， 是的充分不必要条件， ∴“”是“”的充分不必要条件． 4．C 【解析】命题为真命题，则不等式恒成立， ∴，解得． 5．D 【解析】关于的不等式的解集为， ∴，的根为、， 由韦达定理： ，， ∴，， ∴，则， 即，解得或． 6．C 【解析】， ∵，∴， ∴，∴， ∴，∴， 即，∴不等式的解集为． 7．A 【解析】， 则， 若，不等式的解集中有无数个整数， 若，不等式为， 解得，解集中有无数个整数， ∴，， ∴不等式的解集为， 不等式解集中恰有个整数， ∴，解得． 8．B 【解析】根据题意，对任意，恒成立， 设， 则， 解得． 9．CD 【解析】关于的不等式的解集为， ∴，方程的根为、， 由韦达定理：，， ∴，，∴，选项A错误； ，选项B错误； 不等式可化为， ，∴，∴，选项C正确； 不等式可化为： ，即， 解得，选项D正确． 10．ABD 【解析】当时，恒成立，不等式的解集为，选项A正确； 当，时，不等式为，解集为，选项B正确； 要使不等式的解集为，需满足且， ∵，，∴， ∴不等式的解集不可能为，选项C错误； 当，时，不等式的解集为，选项D正确． 11．AD 【解析】，∴，， 不等式的解集形式为， 不等式的解集形式为， 结合的解集为， 可得的解集为，选项A正确； 的解集为，选项B错误； ∴方程的根为和， 方程的根为和， 由韦达定理：，， ，∴，选项C错误； ​ ​ ，选项D正确． 12． 【解析】不等式等价于或（等号不同时成立）， 解得或， ∴不等式的解集为． 13． 【解析】，则， 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为或，不符合题意， 若，不等式的解集为，不符合题意， ∴，不等式的解集为， 集合， 集合中恰有两个元素，∴． 14． 【解析】由韦达定理：，，， ∴不等式为，则， 即，等价于且， 解得． 15．解：（1），或， 解得或， ，， 解得， ∴解集为． （2），则， 即，解得， ∴解集为． （3），则， 即， 当时，，不等式解集为， 当时，，不等式解集为， 当时，，不等式解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． 16．解：（1）为真命题，则方程无解， ∴，即， 解得，∴实数的取值范围是． （2）为假命题，∴， ∴， 由（1）知为真命题，则， ∴为假命题、为真命题时，． 17．解：（1）根据不等式的解集知： 方程的根为、， 由韦达定理：，， ∴，． （2），则， 即， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为． 18．解：（1）当时，不等式为，解集为， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得， ∴实数的取值范围是． （2）不等式对任意恒成立， 则，， ，则，， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴，∴． 19．解：（1）由题意出厂价为，投入成本为，年销售量为， ∴， ∴（） （2）要使本年度的年利润比上年度有所增加， 必须有， 即，解得， ∴投入成本增加的比例应在内． 拔高练习 1．D 【解析】，， ∴，∴． 2．B 【解析】， 由得， 即， ∴或， ∴或， ，解得或． 3．A 【解析】由得， 令， ，，，， 要使关于的不等式的解集中只有个整数， 只需不等式的解集中只有个整数， 的图象如图所示，结合图象可知，只要满足． 4．AC 【解析】由题意，，方程的根为、， ， 由韦达定理：，， ∴，选项A正确； ，选项D错误； ，选项C正确； 若，则，与矛盾，选项B错误． 5．ACD 【解析】不等式的解集为，选项A正确； 当时，， 恒成立，则， ， 当且仅当即时取等号， ∴，选项B错误； ，则， ∴， ∵取整数，∴不等式的解集为，选项C正确； 不等式的解集为， ∴，∴，∴， 还需满足，即， ∴，选项D正确． 6． 【解析】设实根，则， ， ∴， 由二次函数的特征可知，时，取得最大值， ， 当时取得最大值，且， ∴． 7． 【解析】∵是一个区间，∴，∴， 二次函数的对称轴为直线， ①当，即时，函数在上单调递增， ∴， 要使对于任意，都有成立，则， ∴，即，解得； ②当即时， 函数在处取得最小值，， 由得，不等式无解； ③当即时，函数在上单调递减， ∴， 由得，不等式无解； 综上，实数的取值范围是． 8． 【解析】令， 当时，函数的图象开口向下，对称轴为， ∴在区间上单调递减，且时，， ∴必存在，使得，故满足要求； 当时，不等式可化为，解得， 故存在，使得，故满足要求； 当时，函数的图象开口向上， 要满足题意，首先需满足，解得， 此时对称轴， ∴在区间上，函数的最小值为， ∴当时，存在，使得，满足要求； 综上，实数的取值范围是． 9． 【解析】二次函数（）的图象开口方向向上， 若方程有两个不等实根、，设， 则方程有两个不等实根、，， 此时不等式的解集为，矛盾， 故方程无根或有两个相等实根， 此时的解集为， ∴二次函数的对称轴为， ∴，即， 即，∴， 即，∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $