第1章 第6节 一元二次方程、不等式（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次方程、不等式”专题，依据课标要求覆盖实根判断、不等式求解、三者联系等核心考点，通过分析近五年高考真题明确“一元二次不等式解法”“恒成立问题”“根的分布”等高频考点权重，归纳出解不等式、参数范围、根的分布等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题改编训练+解题方法提炼”，如例1通过“一化二判三求四写”步骤解析一元二次不等式，例5用分离参数法突破区间恒成立问题，培养学生的数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型观念）。特设“规律方法总结”和“易错点警示”，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第6节　一元二次方程、不等式 课标解读　1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教B版必修第一册习题2-2B第7题改编)已知不等式-x2+ax+b≥0的解集是[-2,3],则不等式x2-5ax+b<0的解集为　　　　　.  (2,3) 解析 不等式-x2+ax+b≥0化为x2-ax-b≤0,其解集为[-2,3],所以方程x2-ax-b=0的两根是-2,3,因此a=1,b=6,不等式x2-5ax+b<0即为x2-5x+6<0,不等式的解集为(2,3). 2.(人教B版必修第一册2.2.3节练习B第4题改编)不等式>1的解集为　　　 　.  {x|0<x<1或1<x<3} 解析 当x≠1时,由于(x-1)2>0,所以不等式可化为x+1>(x-1)2,整理得x2-3x<0,解得0<x<1或1<x<3,故不等式的解集为{x|0<x<1或1<x<3}. 3.(湘教版必修第一册第二章复习题二第12题)设二次函数y=kx2-kx+. (1)若方程y=0有实根,则实数k的取值范围是　　 　　　.  (2)若不等式y>0的解集为⌀,则实数k的取值范围是　　　　　.  (3)若不等式y>0的解集为R,则实数k的取值范围是　　　　　.  (-∞,0)∪[3,+∞)　 ⌀　 (0,3) 解析 (1)因为方程y=0有实根, 故解得k<0或k≥3. (2)因为不等式y>0的解集为⌀, 故k无解, 所以实数k的取值范围是⌀. (3)不等式y>0的解集为R, 故解得0<k<3. 知识梳理 1.二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系 　　　　　 当a<0时,可利用不等式性质转化为系数为正的情况 设y=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac. 判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象       ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 　　　 　　  {x|x≠-} 　　 　　  ax2+bx+c<0(a>0)的解集 　　　 　　  　　　　  ⌀ ax2+bx+c≥0(a>0) 的解集 　　　 　　  R 　　　  ax2+bx+c≤0(a>0) 的解集 　　　 　　  {x|x=-} ⌀ {x|x<x1或x>x2}　 R {x|x1<x<x2} ⌀　 {x|x≤x1或x≥x2}　 R {x|x1≤x≤x2} 微点拨 (1)当a<0时,可利用不等式的性质转化为系数为正的情况. (2)ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是其对应函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围. 2.简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0); (2)≥0(≤0)⇔ (3)>a(<a)⇔-a>0(<0)⇔>0(<0)⇔[f(x)-ag(x)]·g(x)>0(<0); (4)≥a(≤a)⇔-a≥0(≤0)⇔≥0(≤0) ⇔ 3.简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为　　　　　　　,|x|<a(a>0)的解集为　　　　　.  (-∞,-a)∪(a,+∞)　 (-a,a) 研考点•精准突破 考点一　不等式的解法 考向1　一元二次不等式的解法 例1　解下列不等式: (1)2x2+5x-3<0; (2)-3x2+6x≤2; (3)4x2+4x+1>0; (4)-x2+6x-10>0. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解 (1)Δ=49>0,方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3,x2=,作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①所示. 由图可得原不等式的解集为. ① 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0.Δ=12>0,解方程3x2-6x+2=0,得x1=,x2=,作出函数y=3x2-6x+2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为{x|x≤或x≥}. ② 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (3)因为Δ=0,所以方程4x2+4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=-.作出函数y=4x2+4x+1的图象如图③所示.由图可得原不等式的解集为{x|x≠-,x∈R}. (4)原不等式可化为x2-6x+10<0, 因为Δ=-4<0,所以方程x2-6x+10=0无实根,所以原不等式的解集为⌀. ③ 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　一元二次不等式的求解步骤 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考向2　简单分式不等式的解法 例2　(1)(2025·全国2,4)不等式≥2的解集是(　　) A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} C 解析 原不等式等价于-2≥0,即≥0,即≤0,即(x+2)(x-1)≤0(x≠1),解得-2≤x<1.故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)(2025·北京石景山期中)不等式≥0的解集为　　　　 　　　.  {x|x<-4或-1≤x≤2} 解析 原不等式等价于 解得-1≤x≤2或x<-4,因此原不等式的解集为{x|x<-4或-1≤x≤2}. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　解分式不等式时,一般把不等号的一端化为0,再转化为整式不等式求解,一定要注意原分式的分母不能为0. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练1](1)(2025·湖北武汉模拟)下列不等式中,解集既不是R也不是空集的是(　　) A.x2+3x+3≤0 B.5-4x-x2<0 C.(x-2)(x-3)>-1 D.4-3x2≤x+5 B 解析 不等式x2+3x+3≤0中,Δ=-3<0,所以其解集为空集,故选项A错误;不等式5-4x-x2<0可化为x2+4x-5>0,其解集为(-∞,-5)∪(1,+∞),故选项B正确;不等式(x-2)(x-3)>-1即x2-5x+7>0,Δ=-3<0,所以其解集为R,故选项C错误;不等式4-3x2≤x+5即为3x2+x+1≥0,Δ=-11<0,所以其解集为R,故选项D错误.故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)(2025·陕西商洛模拟)已知x∈R,则“x2-x>0”是“>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 解析 由x2-x>0解得x>1或x<0,不等式>0即(x+1)(x-2)>0,解得x>2或 x<-1,由于{x|x>1或x<0}⊇{x|x>2或x<-1},所以“x2-x>0”是“>0”的必要不充分条件.故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考点二　三个“二次”之间的关系及其应用 例3　(多选题)(2026·河北NT20学校高三联考)已知关于x的不等式 ax2-bx+c<0的解集为{x|x>3或x<-2},则(　　) A.a<0 B.2a+3b+c>0 C.不等式bx2+cx+5a<0的解集为{x|x<-或x>} D.不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|-<x<} ABD 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 已知关于x的不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|x>3或x<-2},则a<0, =3+(-2)=1,=3×(-2)=-6,解得a<0,b=a,c=-6a,故A正确;因为2a+3b+c=2a+3a-6a=-a>0,故B正确;因为bx2+cx+5a<0,所以ax2-6ax+5a<0,即x2-6x+5>0,解得x>5或x<1,故C错误;因为cx2-bx+a<0,所以-6ax2-ax+a<0,即6x2+x-1<0,解得-<x<,故D正确.故选ABD. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　“三个二次”之间的关系及其应用 (1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点,也就是相应一元二次不等式解集的端点值. (2)对于不等式ax2+bx+c>0,若其解集为(-∞,m)∪(n,+∞),则a>0且方程ax2+bx+c=0的两根为m,n,且m<n;若其解集为(m,n),则a<0且方程ax2+bx+c=0的两根为m,n,且m<n. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练2](多选题)(2025·福建南平期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的部分图象如图所示,则下列说法正确的有(　　) A.a+b>0 B.abc>0 C.a-b+c=0 D.不等式bx2-ax-c>0的解集为{x|-2<x<1} BCD 解析 由题意及函数图象知y=a(x+1)(x-2)=a(x2-x-2),且a>0,所以b=-a,c=-2a,则a+b=0,abc=2a3>0,a-b+c=0,故A错误,B,C正确;因为bx2-ax-c=-ax2-ax+2a >0,所以x2+x-2=(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故D正确.故选BCD. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考点三　一元二次不等式的恒(能)成立问题 考向1　不等式在R上的恒成立问题 例4　(2025·山东临沂期末)若关于x的不等式mx2-5x+m≤0的解集为R,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,-] B.(-∞,-) C.[-,0) D.(-,0) A 解析 当m=0时,不等式-5x≤0,解得x≥0,显然解集不是R,不符合题意;当m≠0时,由不等式的解集为R,得m<0,且方程mx2-5x+m=0时,Δ=(-5)2-4m2≤0,解得m≤-,即实数m的取值范围为(-∞,-]. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　当不等式ax2+bx+c>0未说明为一元二次不等式时,要对二次项系数按a=0和a≠0进行分类. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练3](2026·江西丰城模拟)已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围为(　　) A.(0,2) B.[0,2] C.(0,2] D.[0,2) B 解析 因为函数f(x)的定义域为R,所以ax2-ax+≥0对x∈R恒成立,当a=0时,不等式为≥0,满足题意;当a≠0时,解得0<a≤2.综上所述,a∈[0,2]. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考向2　不等式在给定区间上的恒(能)成立问题 例5　(1)(2025·安徽安庆模拟)若关于x的不等式x2-2ax-3<0对任意x∈[0,2]恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-) B.(-,0) C.(0,) D.(,+∞) D 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 不等式x2-2ax-3<0可变形为2ax>x2-3.当x=0时,不等式即为-3<0,恒成立.当x∈(0,2]时,不等式可化为2a>=x-.令f(x)=x-,则f(x)在区间(0,2]上单调递增, 所以f(x)=x-的最大值为f(2)=,要使不等式恒成立,应满足2a>,则a>.综上可得实数a的取值范围为(,+∞).故选D. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)(原创)关于x的不等式bx2-3x+2≤0在区间(1,3)上有解,则实数b的取值范围是　　　　　.  (-∞,] 解析 当x∈(1,3)时,x2>0,将不等式变形为b≤.令f(x)=,设t=(则t∈(,1)),可得f(t)=-2t2+3t.f(t)是图象开口向下的二次函数,图象的对称轴为直线t=(在t的取值范围内),其最大值为f()=-2×()2+3×,因此,b需满足b≤,即实数b的取值范围为(-∞,]. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　一元二次不等式在给定区间上恒(能)成立问题的求解策略 (1)转化为最值问题求解:f(x)≥0在区间I上恒成立⇔f(x)min≥0(x∈I),f(x)≤0在区间I上恒成立⇔f(x)max≤0(x∈I). f(x)≥0在区间I上有解⇔f(x)max≥0(x∈I);f(x)≤0在区间I上有解⇔f(x)min≤0(x∈I). (2)分离参数求解:若所给不等式能通过恒等变形使所求参数与变量分离到不等式的两边,则可避免分类讨论,根据a≥f(x)在区间I上恒成立⇔a≥f(x)max(x∈I),a≤f(x)在区间I上恒成立⇔a≤f(x)min(x∈I)进行求解. a≥f(x)在区间I上有解⇔a≥f(x)min(x∈I),a≤f(x)在区间I上有解⇔a≤f(x)max(x∈I). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练4](1)(2025·山东淄博模拟)若不等式sin2x-4sin x+a≤0在x∈[0,]上恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,4] B.[4,+∞) C.[0,+∞) D.(-∞,0] D 解析 令t=sin x,则不等式化为t2-4t+a≤0.又x∈[0,],所以t∈[0,1],因此问题转化为不等式t2-4t+a≤0在t∈[0,1]上恒成立,所以a≤-t2+4t.令g(t)=-t2+4t,则g(t)在t∈[0,1]上的最小值为g(0)=0,所以要使不等式恒成立,实数a≤0.故选D. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)(2025·河南郑州模拟)若存在x∈R,使得≥2成立,则实数m的取值范围为(　　) A.{m|m≤0} B.{m|m>0} C.{m|m≥-2} D.{m|m<-2} C 解析 因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0恒成立,所以原不等式等价于4x+m≥2(x2-2x+3)有解,即2x2-8x+6-m≤0有解,所以Δ=64-8(6-m)≥0,解得m≥-2,即实数m的取值范围为{m|m≥-2}.故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考向3　给定参数范围的恒成立问题 例6　若命题“∃a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为(　　) A.[-1,4] B.[0,] C.[-1,0]∪[,4] D.[-1,0)∪(,4] C 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 命题“∃a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,其否定为真命题,即“∀a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题.令g(a)=ax2-2ax+x+3-a =(x2-2x-1)a+x+3≥0,则解得 所以实数x的取值范围为[-1,0]∪[,4]. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　此类问题要弄清楚自变量和参数.一般情况下,求谁的范围,就把谁看成参数. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 思维进阶(一)　一元二次方程根的分布 所谓一元二次方程根的分布问题,就是已知一个一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取值范围问题.解决一元二次方程根的分布问题,主要根据以下几个方面建立系数变量的不等式(组)进行求解. (1)判别式Δ的符号;(2)根与系数的关系;(3)对称轴方程x=-与所给区间的关系;(4)区间端点处函数值的符号. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 典例若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2(m+1)x-m=0分别满足下列条件时,求实数m的取值范围. (1)两个根都大于0; (2)一个根大于-1,另一个根小于-1; (3)一个根在区间(1,2)内,另一个根在区间(-1,0)内; (4)一个根在区间(-1,1)内,另一个根不在区间(-1,1)内; (5)一个根小于1,另一个根大于2; (6)两个根都在区间[-1,3)上; (7)两个根都小于1; (8)在区间(1,2)内有解. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解 设f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-m,由一元二次方程(m-1)x2+2(m+1)x-m=0,得Δ=4(m+1)2+4m(m-1)=8(m+)2+>0,且m-1≠0,即m≠1. (1)两个根都大于0,应满足 解得0<m<1, 所以实数m的取值范围为(0,1). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)一个根大于-1,另一个根小于-1,应满足(m-1)f(-1)<0,即(m-1)(-2m-3)<0,解得m>1或m<-,所以实数m的取值范围为(-∞,-)∪(1,+∞). (3)一个根在区间(1,2)内,另一个根在区间(-1,0)内, 应满足 即解得-<m<0,所以实数m的取值范围为(-,0). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (4)一个根在区间(-1,1)内,另一个根不在区间(-1,1)内,应满足f(-1)f(1)≤0,且f(-1)与f(1)不同时为零.即(-2m-3)(2m+1)≤0,所以m≥-或m≤-.又因为m-1≠0,所以m≠1. 故实数m的取值范围为(-∞,-]∪[-,1)∪(1,+∞). (5)一个根小于1,另一个根大于2,应满足 解得0<m<1, 所以实数m的取值范围为(0,1). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (6)两个根都在区间[-1,3)上,应满足解得-≤m<,所以实数m的取值范围为[-). (7)两个根都小于1,应满足解得m>1或m<-, 所以实数m的取值范围为(-∞,-)∪(1,+∞). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (8)在区间(1,2)内有解,应满足或f(1)f(2)<0或 解得-<m<0,所以实数m的取值范围为(-,0). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　设一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,且m,n,k为常数,令f(x)=ax2+bx+c,结合二次函数的图象,以a>0的情形为例,对于一元二次方程根的分布的讨论如下: (1)若方程有两个均大于m的实根,即x1,x2∈(m,+∞),则 (2)若方程在区间(m,n)上有两根,即x1,x2∈(m,n),则 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (3)若方程有两根,一根比m大,一根比m小,即x1<m<x2,则f(m)<0; (4)若m<x1<n<x2<k,则 (5)若方程有两个不同的根,且在区间(m,n)内有且仅有一个根,则f(m)·f(n)<0,或f(m)=0,另一根在(m,n)内,或f(n)=0,另一根在(m,n)内. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练]当关于x的方程x2+(m-3)x+m=0分别满足下列条件时,求实数m的取值范围. (1)有两个正根; (2)一个根大于1,另一个根小于1; (3)一个根在区间(-2,0)内,另一个根在区间(0,4)内; (4)一个根小于2,另一个根大于4; (5)两个根都在区间(0,2)内.   考点一 考点二 考点三 思维进阶 解 由题意设f(x)=x2+(m-3)x+m,Δ=(m-3)2-4m=(m-5)2-16. (1)有两个正根,应满足解得0<m≤1,所以实数m的取值范围为(0,1]. (2)一个根大于1,另一个根小于1,应满足解得m<1, 所以实数m的取值范围为(-∞,1). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (3)一个根在区间(-2,0)内,另一个根在区间(0,4)内,应满足 解得-<m<0, 所以实数m的取值范围为(-,0). (4)一个根小于2,另一个根大于4,应满足解得m<-,所以实数m的取值范围为(-∞,-). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (5)两个根都在区间(0,2)内,应满足解得<m≤1, 所以实数m的取值范围为(,1]. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 $