1.4.2　第1课时：用空间向量研究距离问题 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量研究距离问题，从距离本质（垂线段长度）出发，系统梳理点到点、点到直线、点到平面的向量公式，以及平行直线、平行平面距离的转化方法，构建从原理到公式再到转化的完整知识支架。 该资料以数学眼光揭示距离几何本质，通过即学即练和典例（如长方体中点到直线距离）培养数学思维中的推理与转化能力，规范建系解题步骤强化数学语言表达。课中辅助教师落实重点，课后检测与反思帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.2 第1课时：用空间向量研究距离问题 同步讲义 学 习 目 标 树目标 · 抓落实 1. 掌握空间向量求解距离的核心原理，理解投影法求距离的几何本质 (重点) 2. 熟练掌握点到点、点到直线、点到平面四类距离的向量公式 (重点) 3. 掌握平行线间距离、平行平面间距离的转化求解方法 (重难点) 4. 熟练运用建系法结合向量公式解决立体几何距离计算题，规范解题步骤 (难点) 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 知识点 1 空间距离核心本质 💡 知识梳理 · 空间所有立体几何距离，本质都是垂线段的长度，利用空间向量投影可以避开复杂几何作图，直接代数计算，是高考万能解题方法。 知识点 2 两点间距离公式 💡 知识梳理 · 已知空间两点、 向量 两点间距离： 📝 即学即练 已知，，求两点距离。 知识点 3 点到直线的距离公式 💡 知识梳理 · 已知直线方向向量为，直线上任意一点，空间外一点. 点到直线的距离： 原理：斜边平方减去投影直角边平方，开方得垂线段长度. 📝 即学即练 直线方向向量，直线上点，点，求点到直线距离. 知识点 4 点到平面距离公式 💡 知识梳理 · 已知平面的法向量，平面内任意一点，平面外一点. 点到平面距离（垂直投影距离）： 📝 即学即练 平面法向量，平面内点，点，求点到平面距离. 知识点 5 距离转化思想 💡 知识梳理 · 两平行直线距离：在其中一条直线上任取一点，转化为「点到另一条直线的距离」. · 两平行平面距离：在其中一个平面上任取一点，转化为「点到另一个平面的距离」. · 异面直线距离：求出两直线公垂向量，利用向量投影公式求解垂线段距离. 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 【典例1】如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,求点B到直线A'C的距离. 【跟练1】为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点到的距离为__． 【典例2】已知在正三棱柱中，D是BC的中点，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【跟练2】已知在长方体中，，，，求点到平面的距离． 【典例3】在直四棱柱，底面为直角梯形，且，，是的中点．求直线与平面的距离． 【跟练3】已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离． 学 习 小 结 理脉络 · 通全局 一、小结 1. 空间距离核心思想：几何距离向量化，全部转化为投影计算. 2. 必考三大公式：两点距离、点到直线距离、点到平面距离. 3. 所有平行类距离均可等价转化为基础距离模型，无需单独记忆公式. 4. 立体几何距离大题统一流程：建系→求向量→求法向量→套公式计算. 二、知识网络 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1．已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D． 2．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是______． 3．已知点，直线l过点，且l的一个方向向量为则点P到直线l的距离为_____. 4．如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，为线段上的点，且，过的平面交于点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_____. 学 习 反 思 思得失 · 促精进 本节内容是立体几何计算核心考点，学生容易记混点到直线、点到平面公式，做题时常忘记法向量、方向向量的区分.计算过程中容易出现向量点积、模长运算失误.学生普遍不会灵活转化面面、线线平行距离.后续教学需强化公式对比记忆，多训练建系求值规范步骤，重点突破点到平面距离大题题型，夯实立体几何向量计算基础.. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.2 第1课时：用空间向量研究距离问题 同步讲义 学 习 目 标 树目标 · 抓落实 1. 掌握空间向量求解距离的核心原理，理解投影法求距离的几何本质 (重点) 2. 熟练掌握点到点、点到直线、点到平面四类距离的向量公式 (重点) 3. 掌握平行线间距离、平行平面间距离的转化求解方法 (重难点) 4. 熟练运用建系法结合向量公式解决立体几何距离计算题，规范解题步骤 (难点) 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 知识点 1 空间距离核心本质 💡 知识梳理 · 空间所有立体几何距离，本质都是垂线段的长度，利用空间向量投影可以避开复杂几何作图，直接代数计算，是高考万能解题方法。 知识点 2 两点间距离公式 💡 知识梳理 · 已知空间两点、 向量 两点间距离： 📝 即学即练 已知，，求两点距离。 【答案】 【详解】，. 知识点 3 点到直线的距离公式 💡 知识梳理 · 已知直线方向向量为，直线上任意一点，空间外一点. 点到直线的距离： 原理：斜边平方减去投影直角边平方，开方得垂线段长度. 📝 即学即练 直线方向向量，直线上点，点，求点到直线距离. 【答案】 【详解】，，投影， . 知识点 4 点到平面距离公式 💡 知识梳理 · 已知平面的法向量，平面内任意一点，平面外一点. 点到平面距离（垂直投影距离）： 📝 即学即练 平面法向量，平面内点，点，求点到平面距离. 【答案】 【详解】，，， 知识点 5 距离转化思想 💡 知识梳理 · 两平行直线距离：在其中一条直线上任取一点，转化为「点到另一条直线的距离」. · 两平行平面距离：在其中一个平面上任取一点，转化为「点到另一个平面的距离」. · 异面直线距离：求出两直线公垂向量，利用向量投影公式求解垂线段距离. 📝 即学即练 已知直线方向向量，平面法向量，判断直线与平面的位置关系. 【答案】直线与平面平行 【详解】，，直线不在平面内，故线面平行. 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 【典例1】如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,求点B到直线A'C的距离. 【答案】 【详解】∵AB=1,BC=2,AA'=3, ∴A'(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0), 所以直线A'C的方向向量=(1,2,-3). 法一　取a==(0,2,0), u==, 则a2=4,a·u=, 所以点B到直线A'C的距离为 ==. 法二　=(0,2,0),所以在上的投影长为=, 所以点B到直线A'C的距离为 d===. 【跟练1】为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点到的距离为__． 【答案】/ 【分析】方法一：过作，交于，连结，则可得是点到的距离，然后求解即可，方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可 【详解】方法一 矩形中，，，， 过作，交于，连结， 平面，平面， ， 又 ，， 平面， ∵平面， ，即是点到的距离， ，， ， 点到的距离为． 方法二 ∵平面，平面， ∴， ∵ ∴三线两两垂直， ∴以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ， ， 点到的距离为 故答案为： 【典例2】已知在正三棱柱中，D是BC的中点，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，过点D且与平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，求出、平面的一个法向量，再由，可得答案； （2）由（1）知平面的一个法向量为，求出，再由点到平面的距离的向量求法可得答案. 【详解】（1）如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，过点D且与平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， ∴， ∵，∴， ∵平面，平面AB1D； （2）由（1）知平面的一个法向量为， 且， ∴点到平面的距离. 【跟练2】已知在长方体中，，，，求点到平面的距离． 【答案】 【分析】以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求得距离. 【详解】以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 所以点到平面的距离． 【典例3】在直四棱柱，底面为直角梯形，且，，是的中点．求直线与平面的距离． 【答案】 【分析】由题意可知直线平面，直线与平面的距离可转化为点到平面的距离，故建立空间直角坐标系，用坐标法计算距离即可. 【详解】解：在直四棱柱中，底面为直角梯形，，如图所示，建立空间直角坐标系， ，且，是的中点， 则 ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则，∴是平面的一个法向量， 则点到平面的距离， 又，平面ABE，平面， ∴平面， 到平面的距离为． 【跟练3】已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离． 【答案】 【分析】先证明平面 平面 ，再建立空间直角坐标系，求出以及平面 的法向量，利用空间点到平面的距离公式即可求得答案. 【详解】正方体中，,故四边形, 所以 ，同理 ， 所以平面 平面 ， 以D为原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则 ， 所以，，， 设平面 的法向量为， 则 ，所以 ， 令 ，则 ， 则为平面的一个法向量， 所以点 到平面的距离d， 则平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离， 所以平面与平面间的距离为． 学 习 小 结 理脉络 · 通全局 一、小结 1. 空间距离核心思想：几何距离向量化，全部转化为投影计算. 2. 必考三大公式：两点距离、点到直线距离、点到平面距离. 3. 所有平行类距离均可等价转化为基础距离模型，无需单独记忆公式. 4. 立体几何距离大题统一流程：建系→求向量→求法向量→套公式计算. 二、知识网络 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1．已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】由题得. 故选：A. 2．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答. 【详解】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离， 而，所以平行平面、间的距离. 故答案为： 3．已知点，直线l过点，且l的一个方向向量为则点P到直线l的距离为_____. 【答案】 【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算 【详解】易知，所以点P到直线l的距离为. 故答案为： 4．如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，为线段上的点，且，过的平面交于点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，把线面距转化为点面距，利用点面距的公式可得答案. 【详解】以点D为坐标原点，直线分别为x轴､y轴､z轴建 立空间直角坐标系，如图所示. 则， ， ，则. 又平面平面平面EFGH. 到平面EFGH的距离，即为点到平面EFGH的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则， 又点到平面EFGH的距离， ∴直线到平面EFGH的距离为. 故选：A 5．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_____. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AMN的一个法向量，然后使用等价转化的思想，面面距转为点面距，最后计算即可. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)， F(2，4，4)，N(4，2，4). ∴=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)， ∴， ∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M. ∴平面AMN∥平面EFBD. 设=(x，y，z)是平面AMN的一个法向量， 则解得 取z=1，则x=2，y=-2，得=(2，2，1). 平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离. ∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=. 故答案为： 学 习 反 思 思得失 · 促精进 本节内容是立体几何计算核心考点，学生容易记混点到直线、点到平面公式，做题时常忘记法向量、方向向量的区分.计算过程中容易出现向量点积、模长运算失误.学生普遍不会灵活转化面面、线线平行距离.后续教学需强化公式对比记忆，多训练建系求值规范步骤，重点突破点到平面距离大题题型，夯实立体几何向量计算基础.. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $