第19章二次根式 单元复习卷-2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 本卷为八年级下册二次根式单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合生活情境（如糖水混合）与数学文化（海伦公式），适配暑假复习，培养运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|9|最简二次根式、运算性质、几何应用|第9题规律探究，发展创新意识| |填空题|7|同类二次根式、代数式求值、不等式综合|第14题糖水混合问题，体现模型意识| |解答题|5|规律证明、新定义运算、公式推导|第21题对比海伦与秦九韶公式，渗透文化传承|

第19章二次根式复习卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 2．式子有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．下列二次根式能和合并的是（     ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，正方形和的面积分别为和，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 6．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则可化简为（     ） A． B． C． D． 7．已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 8．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 9．观察以下等式：，，，…根据上述三个等式呈现的规律，下列字母n（n为大于1的正整数）表示的通用规律中，正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 10．化为最简二次根式：______． 11．最简二次根式与可以合并，则m=______． 12．已知，，则代数式的值______． 13．已知，则的值是____． 14．两种浓度分别为，的糖水的混合含糖量为：，其中，分别为这两种糖水的质量（单位：），且满足：，则混合含糖量等于_______． 15．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为___________． 16．图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，将这些纸条连成一个宽为的大长方形，并将这个长方形裁剪成四个一样大小的小长方形来为一幅正方形作品镶边（纸条不重叠）如图③，则正方形作品（阴影部分）的面积为_____． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 18．先化简，再求值：，其中． 19．小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式： ；；． 【发现问题】 (1)任务一：请根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明该等式成立； 【理解应用】 (2)任务二：比较与的大小． 20．定义：若，是有理数，则称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于1的“美好数”． (1)与________是关于2的“美好数”； (2)化简：； (3)若与是关于9的“美好数”，求的值． 21．利用三角形一边及该边上的高可通过公式求三角形的面积，由三角形全等的判定方法“边边边”可知一个三角形三边确定，三角形形状和大小确定，面积也就确定，那么，如何通过三角形的三边直接求面积呢？古希腊几何学家海伦在他的著作《度量论》中给出了利用三角形的三边求面积的公式：①（称为海伦公式），其中．我国南宋时期数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出利用三角形的三边求面积的公式：②（称为秦九韶公式）． (1)若一个三角形的三边长分别为，，，请任选以上一个公式求三角形的面积． (2)如图，在中，，，，作，的平分线交于点，过点作，求的长． (3)海伦公式与秦九韶公式本质上是同一公式，请你通过将公式②变形，推导出公式①． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第19章二次根式复习卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C D D D B A A C A 1．C 【详解】解：最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项分析如下： 选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 选项B：，被开方数含分母，不是最简二次根式， 选项C：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式， 选项D：，被开方数含分母，不是最简二次根式. 2．D 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义，要求被开方数为非负数 ∴ 解不等式得． 3．D 【分析】只有同类二次根式可以合并，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同即可合并． 【详解】解：A、是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不能合并； B、，不能和合并； C、 是最简二次根式，被开方数为，与不同，不能合并； D、，化简后被开方数为，与的被开方数相同，因此能和合并． 4．D 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，逐个计算选项即可判断正误． 【详解】解：和不是同类二次根式，不能合并，，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，等式成立，故D正确． 5．B 【分析】利用平方根算出正方形和正方形的边长，再根据图像求阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为和， ∴正方形的边长为，正方形的边长为, 阴影部分的面积是两个完全一样的长方形的面积之和， 阴影部分长方形的长为，宽为, 阴影部分的面积为． 6．A 【分析】先得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， 则． 7．A 【详解】解：∵， ∴， 两边平方得； 展开得，整理得， ∴ . 8．C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 9．A 【分析】先根据已知等式分析各部分与的关系，再通过化简验证得到通用规律． 【详解】解：当时，，分母； 当时，，分母； 当时，，分母； 由此可得，对大于1的正整数，根号内被开方数为，等式右侧为， ． 10． 【详解】解：． 11．4 【分析】最简二次根式可以合并，说明二者是同类二次根式，根据同类二次根式的定义，被开方数相等，据此列方程求解即可. 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ，解得. 12． 【分析】将，代入所求代数式，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 13．2027 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再化简绝对值，整理等式后两边平方变形，即可求出的值． 【详解】解：根据二次根式的定义，被开方数非负，可得， 解得， 因此，根据绝对值的性质，可得， 将代入原方程得， 移项整理得， 两边同时平方得， 移项得． 14． 【分析】先根据二次根式被开方数非负的性质求出和的值，再按照题目给出的新定义运算代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得：， 解得 代入原式得：， 解得 将代入，得 ∵ ， ∴． 15．1 【分析】先表示出不等式组的解集，根据不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和即可． 【详解】解：， 不等式组的解集是：， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得：，即整数，0，1，2，3， ∵关于a的代数式有意义， ∴且， ∴且， ∴符合条件的所有整数a的值是，0，2， ∴符合条件的所有整数a的和为：． 16． 【分析】如图（见解析），先求出能裁剪的纸条的条数为3条，再证出是等腰直角三角形，且，从而可得的长，然后求出长方形纸条的总长度，从而可得的长，最后求出的长，利用正方形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵如图②，，， ∴， ∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条， ∴能裁剪的纸条的条数为（条），，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 同理可得：另两条纸条的长分别为，， ∴长方形纸条的总长度为， 如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）， ∴，， ∴， ∴正方形美术作品的面积为. 17．(1) (2)0 【详解】（1）解： ； （2）解： 18． 【分析】先对原式中各多项式因式分解，按照分式运算法则化简原式，再计算出的值，代入化简后的式子即可得到结果． 【详解】解： 将代入化简后的式子得：原式 19．(1)解：（为正整数），证明如下： ∵左边右边， ∴等式成立； (2) 【分析】（1）先观察已知等式的数字变化规律，归纳得到第个等式，再利用平方差公式证明等式成立； （2）先利用平方差公式对进行分母有理化化简，再通过比较常数大小得到两个式子的大小关系． 【详解】（1）略； （2）解：， ∵， ∴， 不等式两边同时加得：， 即． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义，列式计算即可求解； （2）先分母有理化，再求和，即可求解； （3）根据新定义，求得的值，得出，再代入代数式求解即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于2的“美好数”； （2）解： ； （3）解：∵， ∴与是关于9的“美好数”， ∴， ∴， ∴ ． 21．(1) (2) (3) ， ， ，，， 代入上式得 【分析】（1）根据三边数字特点选择对应的公式计算即可； （2）将三边的值代入公式计算求出面积，根据角平分线的性质及三角形面积公式解答即可． （3）利用完全平方公式及平方差公式变形计算即可证明． 【详解】（1）解：由题知，，， 若选海伦公式， 则， ； 若选秦九韶公式，． （2）在中，，，， ， 根据海伦公式得． 是，的平分线交点，且， ∴点到，，的距离相等． 设，则点到，的距离都是， ， ， 即， 解得． 答：的长为． （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $