27.3实际问题与反比例函数第二课时销售问题和几何问题分层训练2026年暑假预习人教版九年级数学

**基本信息** 聚焦反比例函数在销售与几何问题中的应用，通过分层训练构建“建模-求解-应用”解题体系，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |销售问题|8题|建立反比例函数模型，结合利润公式/表格数据求解|反比例函数概念→实际销量-单价关系→利润计算与方案优化| |几何问题|7题|利用面积/体积不变性构建反比例关系，结合图形性质分析|反比例函数性质→图形边长-面积关系→实际场景中的几何应用|

27.3 实际问题与反比例函数（第2课时） 销售问题和几何问题分层训练 一、销售问题 1.某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图像如图所示．该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为______元． 2.三原小磨香油久负盛名，以其香味浓郁，营养价值高，深受消费者的喜爱．某超市销售一批三原小磨香油，在销售过程中发现，在一定范围内，该小磨香油的日销售量y（单位：瓶）与每瓶的利润x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当该小磨香油的日销售量为瓶时，该小磨香油每瓶的利润为多少元？ 3.近年来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王老师在活动期间购买了价格为12万元的这款新能源汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目； (2)王老师若用20个月结清，平均每月应付多少万元？ (3)王老师每月付款不少于多少元，可以确保在规定期限内结清余额？ 4.水果店购进一批葡萄，按每箱质量相等的规定分装，装箱数x（单位：箱）与每箱的质量y（单位：千克）之间的关系如表所示： 装箱数x（箱） 120 100 80 60 …… 每箱质量y（千克） 10 12 15 20 …… (1)这批水果一共有 千克； (2)用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？ (3)最终这批葡萄分装了50箱．在出售时每箱葡萄要去掉的损耗，经过粗略估计，售出的葡萄每千克可盈利5元，计算卖出一箱葡萄，可盈利多少钱？ 5.为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 6.某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 (1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； (2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； (3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 7.某农户共摘收草莓，为寻求合适的销售价格，进行了天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量与售价（元/）之间成反比例关系，已知第天以元/的价格销售了．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量与销售价格（元/）之间都满足这一关系． (1)求与之间的函数表达式； (2)在试销期间，第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍，求第二天的销售价格； (3)试销天共销售草莓，该农户决定将草莓的售价定为元/，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？ 8.某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 2、 几何问题 1.如图，科技小组准备用材料围建一个面积为的长方形科技园，其中一边靠墙，墙长，设的长为，的长为．y与x之间的函数关系式是____． 2.火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 3.山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 4.当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 5.如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆围成一个一边靠墙、面积为 的矩形花园、其中墙长为，现在可用的篱笆总长为， (1)若设 ，请写出关于的函数表达式、 (2)若要使的篱笆全部用完，能否围成面积为 的花园? 若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由． (3)假设围成矩形花园 三边的材料总长不超过，材料和的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案． 6.如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，． (1)求与之间的函数关系． (2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由． 7.如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为平方米的矩形饲养场地．设为米，为米． (1)求与的函数关系式； (2)延长至，使比少米，围成一个新的矩形，结果场地的面积增加了平方米，求的长． 1.双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 2.某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系： 月产销量y（个） … 160 200 240 300 … 每个玩具的固定成本Q（元） … 60 48 40 32 … （1）每月产销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为______；从上表可知．每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间满足反比例函数关系式，求出Q与y之间的关系式； （2）若每个玩具的固定成本为30元，求它的销售单价是多少元？ （3）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，求此时销售单价是多少元？ 3.我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 4.某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示． 时间x/月份 2 3 4 5 售价 /（元/千克） 12 8 6 甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式；乙种水果每月售价与月份x之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为元/千克，平均每月销售160千克．    (1)求与x之间的函数关系式； (2)求与x之间的函数关系式； (3)若水果店销售水果时需要缴纳元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？ 5.在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为时，它的另一边长为． (1)设矩形的相邻两边长分别为，，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)圆圆说其中有一个矩形的周长为，方方说有一个矩形的周长为，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？ 综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． (1)建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； (2)图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； (3)深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 27.3 实际问题与反比例函数（第2课时） 销售问题和几何问题分层训练 一、销售问题 1.30 2.（1）解：设反比例函数解析式为， 由题意当时，，代入得： ， ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，代入得： ， 答：该小磨香油每瓶的利润为元． 3.（1）解：由图象可知与成反比例，设与的函数关系式为， 把代入关系式得， ， ， （万元）． 答：首付款为3万元； （2）解：当时，（万元）， 答：每月应付万元； （3）解：当时，， 答：他每月至少应付万元，可在期限内结清余款． 4. （1） ； （2） 解：由表格可知， ∴，y与x成反比例关系； （3） 解：当时，，（元）， 答：卖出一箱葡萄，可盈利108元． 5. （1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2） 解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为套； （3） 解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 6. （1）解：设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2） 解：（天）， ∴商场按销售价格250元/件出售该商品，余下的商品预计再用8天全部售出． （3） 解：依题意， 整理得：， ∵， ∴当时，最大， ∴当时，， ∴（天）， ∴商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能在试销后的10天内售完该商品． 7. （1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入，得， 解得：， 与之间的函数表达式为； （2） 解：设第二天的销售价格是元/，则 ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：第二天的销售价格为元/； （3） 解：草莓的销售价格定为元/，每天的销售量为：（千克），（天）， 答：余下的草莓预计还需天可以全部售完． 8. （1）解：建立平面直角坐标系描点，如图所示： 猜想：y与x之间具有反比例函数关系． （2） 解：由题意设y与x之间的函数关系式为（且k为常数）， 把代入，得， 将，，分别代入，均成立， 所以y与x之间的函数关系式为. （3） 解：， 当时，w随x的增大而增大， 又因为， 所以当时，， 所以，销售单价x定为每根8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 3、 几何问题 1. 2. 3. 4.（1）解：设反比例函数的表达式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2） 解：当时，， （3） 即这个三角形的底边长为2cm． 5.（1）解：由题意得，， ∴， 即关于的函数表达式为； （2）解：能． 设，则， 由题意得，， 解得， ∴，， 即长为，宽为； （3）解：∵，且都为正整数，， ∴可取，，，对应的值为，，， 又∵， ∴，， ∴满足条件的所有围建方案为：，． 6. （1）解；根据石板搭建的小路面积一定，可得为定值， 与之间的函数为反比例函数， 设， 把，代入可得， ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2） 解：当时，， 解得，经检验分式成立， ， 故不符合题意，设计不合理． 7. （1）解：矩形饲养场的面积为平方米． 即： （2）比少米，为米． 为米． 此时新增加的面积为矩形的面积． 即： 又 化简得： 解得：． 经检验，是所列方程的解，符合题意， 所以的长为米． 1.（1）100，； （2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）解：由（2）题可知， 当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元， 当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠． 2.解：（1）由于销售单价每降低1元，每月可多售出2个，所以月产销量y（个）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系， 不妨设y=kx+b，则（280，300），（279，302）满足函数关系式， 得， 解得， 故产销量y（个）与销售单价x（元）之前的函数关系式为； 因为固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间存在反比例函数关系， 不妨设， 将，代入得到， 此时； （2）当时，． 由（1）可知，所以，即销售单价为270元； （3）若，则，即，则固定成本至少是24元， ，解得，即销售单价最低为230元． 3.（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 4. （1）解：设与x之间的函数关系式为 ， 把代入解析式，则 ， 解得， ∴与x之间的函数关系式为（，x为整数）； （2）解：把代入，得： ，解得 ， ∴与x之间的函数关系式为，且x为整数）； （3） 解：设甲乙两种水果获得的总利润为w，则 ， = ， 对称轴为直线 ． ∵， ∴当时，w随x的增大而减小． ∵x为整数， ∴当时，w有最大值，最大值（元）， 答：水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元． 5. （1）解：由题意得，所有矩形的面积相等， ∴矩形面积为， ∵矩形相邻两边长分别为，， ∴，整理得， ∵是矩形的边长， ∴自变量的取值范围是， ∴关于的函数解析式为； （2） 解：若矩形周长为， 根据矩形周长公式得，即， 把代入上式得， 整理得一元二次方程， ∵， ∴该方程没有实数根，不存在周长为的符合要求的矩形，圆圆说法不对； 若矩形周长为， 根据矩形周长公式得，即， 把代入上式得， 整理得一元二次方程， ∵， ∴该方程有两个不相等的正实数根，存在周长为的符合要求的矩形，方方说法对． （1） ； （2）解：①根据题意列表如下： 0 10 20 30 30 0 40 20 结合表格数据画图如下： ②所画的图象无交点， 不存在满足条件的新矩形花园； （3）解：①或． ②由①题知，原矩形长为米，宽为米， 记其新矩形长为，宽为， 则 解得或， 当时，； 当时，； 长为米，宽为米的原矩形存在这种“减半”矩形（答案不唯一）． 学科网（北京）股份有限公司 $