2026-2027学年青岛版九年级数学上册 开学学情自测卷

**基本信息** 2026年九年级开学数学学情自测卷，聚焦一元二次方程与图形相似，通过车棚面积计算、药剂降价率等实际问题及物理光学跨学科探究，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、根的判别式、相似三角形判定|基础概念辨析，如第3题结合矩形边长考查方程根的应用| |填空题|5/20|配方法、韦达定理、位似图形性质|第15题正方形中相似与全等综合，体现推理意识| |解答题|7/70|方程解法、图形变换、实际应用、跨学科探究|第18题车棚面积最值问题培养模型意识，21题物理光学项目式学习展现数学眼光观察现实世界|

可数只 2026年秋季青岛版九年级开学学情自测卷 准考证号 姓名： 班级： 注意事项： 1、请注意客观题填涂需清晰，完整覆盖选项。 2、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 正确填涂 缺考填涂标记 9 9 一、 单选题(30分) 1AOB☐C□D2A□BICD3A▣BCD4 ABCD5A□BIC□D 6AOB□CID7 ABC☑D8AOB□C☑D]9 ABCD10AOBC□D 二、 填空题(20分) 11 12 13 14 15 三、解答题(70分) 16.(8分) x 17.(9分) 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ■ 第1页（共4页） ■ 18.(9分) 19.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第2页（共4页） 请使用2B铅笔填涂选择题答案选项及考号 ■ 20.(10分) BC 图① 图② 21.(10分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第3页（共4页） 22.(14分) (1) (2) 3) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第4页（共4页） 2026-2027学年第一学期八年级第二章实数单元试卷 （考试时间：60分钟；满分100分） 一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2．（本题3分）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 3．（本题3分）已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 4．（本题3分）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 5．（本题3分）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 6．（本题3分）如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴相似三角形对应边成比例可得，故选项A错误； 相似三角形对应角相等可得，故选项B错误； 相似三角形面积比等于相似比的平方可得，故选项C错误； 相似三角形周长比等于相似比可得，故选项D正确． 7．（本题3分）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 8．（本题3分）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则和的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线与平行线得到等腰三角形，求出线段的长度；再根据判定与相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出两个三角形的面积比． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 9．（本题3分）关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据根的判别式、一元二次方程的解，逐个验证结论，结合条件推导判别式的符号，最终确定正确选项． 【详解】解：① 将代入方程，得， 提取公因式得， 当时等式恒成立，不一定满足，故①错误； ② 将代入方程，得，由条件，可得， 因此是方程的根，故②正确； ③原方程的解为和，则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程得：，， 整理得， 解得或，故③错误； ④ 由条件，，， 可得， 若，则， 可推出，与矛盾， 因此， 方程判别式， 因为，，所以， ，方程一定有实数根，故④正确. 综上，正确结论为②④． 10．（本题3分）在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据由勾股定理求出，再由翻折的性质得，设与交于点，然后说明 ，可得，进而得出，接下来求出，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，， 设与交于点， ， ，， ， ， ， ∵与同高（顶点为，底边在上）， ， 与同高（顶点为，底边在上）， ， 又， ， 由翻折得， ， 即与重叠部分的面积是． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．（本题4分）用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，对左边配方后即可求出的值． 【详解】解：原方程为，一次项系数为，其一半的平方为， 方程两边同时加，可得， 由完全平方公式整理左边，得， 要求方程化为的形式， ． 12．（本题4分）若方程的两个根分别是，则的值为________． 【答案】 【分析】一元二次方程的两个根为，，则，．根据一元二次方程根与系数的关系即可求得答案． 【详解】解：∵方程的两个根分别为，， ∴，， ∴． 13．（本题4分）如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为6． 14．（本题4分）如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得到，从而证得，利用相似三角形对应边成比例及已知线段比即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（本题4分）如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交于点G，交的延长线于点F，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】 【分析】先证，可证，故正确；由和，则，故正确；证明，得出，即可得出，故正确；证明，得．证，得．由，得．可得，故错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 在和中， ． ，，故正确； ， ． ， ． ，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 四边形是正方形， ，． ，． ． ． ， ，，． ． ． ． ，， ． 在和中 ． ． ，故错误； 综上，正确的结论为①②③． 三．解答题(本大题有7小题，共55分) 16．（本题8分）用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据题目要求用因式分解法解方程即可； （2）根据题目要求用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 二次项系数化为1，得， 因式分解，得， 解得：，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根  ， ∴  ， 解得：，． 17．（本题9分）已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 18．（本题9分）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 (2)解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【详解】（1）解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； （2）略． 19．（本题10分）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【答案】(1) 年到年这种药剂价格的年平均下降率为 (2) 该药剂在年的价格为元 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 20．（本题10分）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 21．（本题10分）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 22．（本题14分）【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 第7页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季青岛版九年级开学·学情自测卷山东专用参考答案 1.B2.A3.C4.A5.B6.D7.D8.B9.D10.C 8 11.1412.-213.614.515.①②③ 16.(1)解：2x2-8x=0, 二次项系数化为1，得x2-4x=0, 因式分解，得(x-4)=0 x=0x2=4 解得： 4分 (2)解：4x2-4x-3=0. .a=4,b=-4,c=-3 :△=B-4ac=(-4-4×4x(-3)=64>0 方程有两个不相等的实数根， 2:*=b±b2-4c4±64-4±8 2a 8 8, 3 解得：2,5= 2.8分 17.(1) 3分 图1 答案第1页，共6页 A)A B 6分 图2 O (3) 9分 3 一十 B3 图3 21-x 18.【详解】(1)解：设AD为x米，则AB为2米， 由题可得：x 21-x=54 2 1=12x2=9 解得 12>10 .x=12 (舍去)， 21-X=6米， .x=9,2 ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米；4分 (2)解：不能围成面积为60平方米的车棚： 21-x 理由：设D为x米，则AB为2米， 由题可得：x 21-x=60 2 答案第2页，共6页 整理得x2-21x+120=0, ÷4=(-2-4x1x120=-39<0 ∴.不能围成面积为60平方米的车棚.9分 19.(1)解：设2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率为x, 100(1-x)2=49 (（1-x2=0.49 1-x=0.7 解得方=0.3=30%与=1.7 (不符合题意，舍去)· 答：2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率为30%.6分 49×(1-30%)=34.3 (2)解： (元) 答：该药剂在2027年的价格为34.3元.10分 20.(1)解：根据光的反射的性质，∠ACB=∠ECD, 又'∠ABC=∠EDC」 :.△ABC∽△EDC. BC AB CD DE' 将AB=1.6m,BC=0.8m,CD=5m,代入上式， 0.81.6 得5=DE' 解得DE=10m, 故旗杆ED的高度为10m;5分 (2)解：∠BGD=∠B=∠C=90°， 四边形BCDG为矩形， ~目测点D到地面的距离DC为1.6米，到旗杆的水平距离DG为18米， ..BG=CD=1.6m,BC=GD=18m. ∠ADG=∠EDF,∠AGD=∠EFD=90°， 答案第3页，共6页 .△DGA∽ADFE, AG EF DG DF' DF=0.8米，EF=0.4米， AG0.4 180.8 解得AG=9, ÷4B=4AG+BG=9+1.6=10.6(m) 答：旗杆AB的高度10.6米.10分 21.(1)解：：ABI‖AB, ∠A=∠A,∠B=∠B」 .△AOB△AOB', A'B'OF A'B'16 AB=0E,即24=20， 4B=96 96 答：像AB的长为5cm; 5分 OB OF (2)解：0DOD-OF,理由如下： :AB⊥光轴l,CD⊥光轴I,MN⊥光轴I, :∠ABO=∠BOE=∠EOF=∠CDF=90°(F为MN右侧的那点，下面一样)， ,AE‖光轴l, .AE⊥MN, .∠AE0=90°， .四边形ABOE是矩形， ..OF=AB :'∠AOB=∠COD,∠ABO=∠CD0. ∴.△ABO∽ACDO CD OD :.AB OB' 答案第4页，共6页 同理可证明△EOF∽△CDF, OF OE OF AB DFCD,即OD-OF=CD, OB OF ∴OD0D-0F· 10分 22.【详解】(1)解：a-4a-12 =(a2-4a+4)-4-12 =(a-2)2-16 =(a-2+4)(a-2-4) =(a+2)(a-6) 4分 (2)解：M=2x2-8x =2(x2-4x) =2(x2-4x+4-4) =2(x2-4x+4)-8 =2(x-2)}-8 (-2}≥0 :2(x-2}≥0 :2(x-2-8≥-8 .M的最小值为-8；8分 (3)解：如图所示，过点F作FH⊥AD于点H, 答案第5页，共6页 E .∠FHD=90°=∠DAC. .∠HDF+∠HFD=90°； ,四边形CDFE是正方形， DF=CD,∠FDC=90, .∠HDF+∠ADC=90°， .∠HFD=∠ADC, :△HFD2aADC(AAS) :FH=AD: 设BD=x,则FH=AD=8-x, .S.mBD.FH*8-) =e-8 =e-8x+16-16) =2-8x+16+8 =-4+8 .(x-4≥0 x-4≤0， x-4+8≤8， :8的最大值为8.14分 答案第6页，共6页 答案第7页，共6页………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 1. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 1. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1. 考试范围：九年级上册第1章一元二次方 第2章 图形的相似 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 4．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 5．如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 8．如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则和的面积比是（     ） A． B． C． D． 9．关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 10．在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 二、本题共5小题，每题4分，共20分． 11．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 12．若方程的两个根分别是，则的值为________． 13．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 14．如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 15．如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交于点G，交的延长线于点F，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题：本题共7小题，共70分． 16．（本题8分）用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 17．（本题9分）已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 18．（本题9分）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 19．（本题10分）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 20．（本题10分）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 21．（本题10分）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 22．（本题14分）【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $