3.2 确定圆的条件课件 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“确定圆的条件”及三角形外接圆相关概念，通过残缺圆形瓷器碎片复原问题导入，引导学生从经过一点、两点画圆的探究，逐步过渡到三点画圆的两种情况，构建“不在同一直线上的三点确定一个圆”的认知支架。 其亮点是以问题驱动探究，结合考古复原、尺规作图等实例，培养数学眼光（发现现实问题中的空间形式）、数学思维（推理三点共线与否对确定圆的影响）和数学语言（用外心概念解决三角形外接圆问题）。通过分层练习帮助学生深化理解，教师可借助清晰的探究脉络提升教学效率。

3.2 确定圆的条件 第三章 圆 盐城市北蒋实验学校 九年级数学备课组 苏科版2024 • 九年级 • 数学 • 上学期 1 考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一残缺的圆形瓷器碎片，如图所示，如果给你一把直尺和圆规，你能想办法找出这块残缺的圆形瓷器碎片的圆心，并复原出它所在的圆吗？ 情景创设 新课讲解 (1)画一个圆，使它经过一个已知点A，这样的圆有几个？圆心在哪？半径如何确定？ O3 · O1 · O2 · ● A 经过一个已知点A，我可以画无数个圆. 以平面内任意一点为圆心，以这点到点A的距离为半径作圆，这样的圆有无数个. 新课讲解 (1)画一个圆，使它经过已知点A，B两点，这样的圆有几个？圆心在哪？半径如何确定？ ● O1 ● O2 ● O3 经过两个已知点A，B，我可以画无数个圆. 以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这点到点A的距离为半径作圆，这样的圆有无数个. 尝试练习 (1)画一个圆，使它经过已知点A，B，C三点，这样的圆有几个？圆心在哪？半径如何确定？ 经过三个已知点A，B，C画圆，圆心既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，画圆时分两种情况： ● A ● B ● C l1 l2 ①当 A、B、C三点在一条直线上时，线段 AB、BC的垂直平分线 l1、l2 互相平行，它们没有交点，不能画出经过A、B、C三点的圆． 尝试练习 (1)画一个圆，使它经过已知点A，B，C三点，这样的圆有几个？圆心在哪？半径如何确定？ 经过三个已知点A，B，C画圆，圆心既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，画圆时分两种情况： ● A ● B ● C ②当 A、B、C三点不在一条直线上时，线段 AB、BC的垂直平分线 l1、l2 相交于点O，以点O为圆心，OA为半径可以确定一个圆，这个圆经过A、B、C三点． l1 l2 ● O 新课讲解 新知归纳 于是，我们得到如下结论： 不在同一条直线上的三点确定一个圆. 前提条件 唯一性 新课讲解 概念讲解 因为三角形的三个顶点不共线，所以它们可以确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆． 外接圆 的圆心叫作三角形的外心， 这个三角形叫作圆的内接三角形， 外心是三角形三边的垂直平分线的 交点． 它到三角形三个顶点的距离相等. 如图3-12，⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形. 注意：一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形. 例题讲解 (书本第70页例题)尺规作图：如图，已知△ABC，作△ABC的外接圆． l1 l2 ● O ① 分别作AB，BC的垂直平分线l1、l2， l1与l2的交点为O． ② 以点O为圆心，OA长为半径作圆． ⊙O 即为所求． 尝试练习 (1)(书本第71页第1题)如图，某地出土了一面残缺的圆形青铜镜，请用直尺和圆规确定这面青铜镜的圆心. 解：如图所示： (1)在圆弧上任取三点 A、B、C； (2)作线段 AC、 BC 的垂直平分线， 其交点 O 即为圆心． ⊙O 即为它所在的圆． ● A ● B ● C ● O (2)(书本第71页第2题)通过例题中的作图我们知道，当△ABC是锐角三角形时，外心 O 在三角形的内部．当△ABC是直角三角形、钝角三角形时，外心O在什么位置？分别作出它们的外接圆，验证你的猜想． 尝试练习 ● O ● O ● O 通过画图可以发现： 锐角三角形的外心在三角形的    ； 直角三角形的外心在   处，斜边即为外接圆的直径； 钝角三角形的外心在三角形的   ． 内部 斜边的中点 外部 新课讲解 任意多边形都有外接圆吗？ 任意四边形不一定都有外接圆．理由如下： 根据“不在同一条直线上的三点确定一个圆．”可知：对于任意四边形，经过它的三个顶点可以确定一个圆，但第四个顶点不一定在这个圆上．只有当四边形的个顶点都在同一个圆上时，才称该四边形有外接圆． (书本第71页习题第3题) 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，经过点A，B，D三点作⊙O，试说明点C在⊙O上． 例题讲解 解：如图，过A，B，D三点作⊙O．连接OA，OB，OD，OC. ∵ OA＝OB＝OD， ∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴ ∠AOD＝180°－∠1－∠2=180°－2∠2， ∠AOB＝180°－∠3－∠4=180°－2∠3， 而∠BAD＝90°， ∴ ∠2＋∠3＝90°， ∴ ∠AOD＋∠AOB＝180°－2∠2＋180°－2∠3 ＝360°－2(∠2＋∠3)＝360°－2×90°＝180°， ∴ B，O，D三点共线．∴ OB＝OD＝BD． ∵ ∠BCD＝90°， ∴ OC＝BD＝OB， ∴ 点C在⊙O上． ● O 1 2 3 4 1、判断题： （1）经过三点一定可以作圆； （  ） （2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（    ） （3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（  ） （4）三角形的外心是三角形三边中线的交点； （  ） （5）三角形的外心到三角形各顶点距离相等． （    ） 课堂作业 × √ × × √ 2、(书本第71页练习第3题)将△ABC绕它的外心 O 旋转任意角度得到DEF． 求证：点A，B，C，D，E，F在同个圆上． 证明：∵ 点O是△ABC的外心， ∴ OA＝OB＝OC＝⊙O的半径． 又由旋转的性质，得 OD＝OA，OE＝OB，OF＝OC， ∴ OD＝OE＝OF＝⊙O的半径． ∴ 点A，B，C，D，E，F在以O为圆心，OA为半径的同一个圆上． 课堂作业 课堂作业 3、(书本第71页习题第2题)已知AB＝4，作半径为 3 的圆，使它经过 A，B两点，这样的圆能作多少个？如果半径为2呢？ 解：这样的圆能画2个． 如图， ① 作AB的垂直平分线 l， ②再以点 A为圆心，3为半径作圆交 l 于 O1 和 O2； ③ 分别以 O1 和 O2为圆心，以3为半径作圆，则⊙O1和⊙O2为所求． l ● O1 ● O2 如果半径为2，则以AB为直径作圆，这样的圆只有一个. 课堂作业 4、在平面直角坐标系中，用直尺和圆规作一个以点A(2，1)为圆心，为半径的圆. ● A 课堂小结 这节课，你的收获是--- $