6.5 数列求和（精练）-备战2027届高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦数列求和专项，通过选择填空与解答题系统训练，覆盖等差、等比及递推数列求和方法，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|14题|基础方法应用、概念辨析|从公式直接应用到裂项相消等技巧迁移| |解答题|5题|综合证明、实际应用|递推关系转化与求和方法综合运用|

6.5 数列求和（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知数列的通项公式，前项和为，则项数为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】先对通项公式裂项，再用裂项相消法求出前项和表达式，最后列方程求解项数. 【详解】对任意，将通项公式裂项得： ，则数列前n项和， 代入裂项结果可得： 中间项全部抵消，化简得： . 由题意，列方程： 交叉相乘解得，即. 2．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 3．（25-26高二下·广东佛山·期末）已知数列满足，则（   ） A．720 B．746 C．760 D．780 【答案】D 【分析】对递推式按的奇偶性分类变形，推导相邻奇数项的和的规律，分组利用等差数列求和公式计算. 【详解】当时，， 即有； 当时，； 则，即， 故 . 4．（25-26高二上·山东菏泽·期末）设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】因为， 则， 则， 两式作差得， 所以， 即得， 计算得. 故选：C. 5．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前20项和为（   ） A．210或90 B．210 C．或 D． 【答案】B 【分析】首先利用等比中项的性质结合等差数列通项公式可求出，然后求出数列的通项公式，最后根据并项求和就可求解 . 【详解】设等差数列首项为，已知公差，故， 因为，，成等比数列，由等比中项性质： ， 代入表达式得： ，整理得：，解得或， 若，则，等比数列不能含0项，故舍去，仅保留，故, 数列的前20项和分组得： ， 对每组用平方差公式： ， 因此： . 6．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把递推关系式化简得到，再计算出数列的前几项，即可得到数列都是周期为6的周期数列，根据周期性计算即可判断各个选项. 【详解】由，得 且，，即得且， 故， 所以由得，故， ，故 ，故 ，故 ，故， ，故， 所以数列都是以6为一个周期的周期数列. 选项A：，则，故A项正确； 选项B：因为，所以，故B项错误； 选项C：因为，所以，故C项错误； 选项D：因为， 所以，故D项错误. 故选：A 7．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】根据题意，利用等差数列的定义，得到数列为等差数列，求得，得到，结合裂项法求和，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，即，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，可得，所以 所以， 又因为，可得，解得， 因为，所以的最小值是． 8．（25-26高二下·四川成都·期中）已知数列满足，，数列的前项和为，若恒成立，则M的最小值为（   ） A．不存在 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】采用累加法可求得，进而得到；利用错位相减法可求得，由此可得的取值范围. 【详解】，， 当时， ， ， 又时，满足，，， ，， ，， ，；又，，. 所以M的最小值为1. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·河北·期末）已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．当为偶数时， D． 【答案】BCD 【分析】对于A，根据递推式，依次求即可；对于B，作差得，则数列、为等差数列，再求通项即可；对于CD，分奇偶项求和即可． 【详解】对于A，，，解得，，故A错误； 对于B，，， 所以，所以数列是以为首项，4为公差的等差数列， 数列是以为首项，4为公差的等差数列， 所以，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 10．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）在等比数列中，，，则（   ） A．的公比为2 B．的前项和小于 C．数列的前项和不大于 D．数列的前项和小于 【答案】ABD 【分析】求出数列的公比，即可判断A；求出数列的前项和，即可判断B；利用裂项相消求出数列的前项和为，举反例当时，即可判断C；利用裂项相消求出数列的前项和，即可判断D. 【详解】对于A，设的公比为， 则，所以，故A正确； 对于B，由题得， 其前项和为，故B正确； 对于C，， 其前项和为， 当时，，故C错误； 对于D，， 其前项和为，故D正确. 11．（25-26高二下·四川泸州·期中）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 【答案】ACD 【分析】利用所给数列关系式计算可得A；得到与的关系后，利用累加法计算即可得B；得到与及与的关系可得C；并项求和结合等差数列求和公式可得D. 【详解】对于A，由题意可得，， ，，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故B错误； 对于C，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故C正确； 对于D，设数列的前项的和为， 则 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知数列满足，且．设，则数列的前n项和_______． 【答案】 【详解】，即， 所以数列是公差为1的等差数列， 因为， 所以， 因此， 则， 所以数列的前项和. 13．（2026·云南曲靖·一模）数列中，，数列的前项和，则数列的前项和______. 【答案】 【分析】先求解数列，再求得数列，用错位相减求和，进而求解的前项和. 【详解】已知数列的通项公式为，则， 数列的前项和为，当时，，当时，， 因此数列的通项公式为 当时，； 当时，， 则， 两式相减得， 即. 化简得，时也符合该式， 综上所述，. 14．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知数列的前n项和为，若，则________． 【答案】30200 【分析】分析出，再分组求和即可 【详解】当，时，， 当，时，， 两式联立得， 故，所以，所以， 又，故，即， 将与相加可得 ， . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由递推关系求解数列的通项公式； （2）由及倒序相加求数列的和． 【详解】（1）点均在函数的图象上，， 当时，，即， 当时， ，满足上式，； （2）， ， ，， ①， 又 ②， ①②，得， ． 16．（25-26高二下·山东潍坊·期末）已知数列满足，且， (1)求证：数列为等差数列，并求出的通项公式. (2)若数列满足，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)已知 ，，显然 ， 两边同时取倒数得，所以， 所以数列为首项，公差是的等差数列， 所以，所以，即的通项公式是； (2)由（1）知，所以 ， 则① 所以② 由①②得 ， 所以， 因为，所以单调递增， 所以, 因为，所以 综上，，得证. 【分析】（1）对递推式两边同时取倒数，证明数列是等差数列，再求出的通项公式； （2）利用（1）求出的通项公式，使用错位相减法求，判断数列单调递增，完成不等式证明. 【详解】（1）略； （2）略. 17．（2026高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设为的前项和，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】(1)设等比数列的公比为,由变形得,解得；结合求得,故.由是公差为1的等差数列及,得,进而得. (2)化简：奇数项,偶数项；将拆分为奇偶项和,奇数项用裂项相消法、偶数项按等比数列求和,最终得. 【详解】（1）等比数列的公比设为，前项和为， 数列是公差为的等差数列，设 即有，即， 由，，，得， 又，所以， 即为，即，代入解得， 可得；． （2）即为 ． 18．（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，设为数列的前n项和，求 (3)证明：对，． 【答案】(1) (2) (3)证明：由上分析， 故对，， ， 因为，所以 即 【分析】（1）由题设可得，据此可得数列是首项为3，公差为1的等差数列； （2）由（1）结合错位相减法及题设可得答案； （3）由题设结合裂项求和法可完成证明. 【详解】（1）由可得， ，，依此类推可得 ， 数列是首项为3，公差为1的等差数列， ，即； （2） 用错位相减法求和： 两式相减得：． 其中等比数列部分：，代入得： ． ． （3）略 19．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）数列的前项和为，已知，，成等差数列. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 【答案】(1)因为，，成等差数列， 所以， 当时，， ，得 ， 由，得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. (2) 【分析】（1）根据的关系，结合等差数列的性质、等比数列的定义进行求解即可. （2）根据等比数列前项和公式，结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）可知：数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， ， 由题意可知：， ， 设， ， 因为，所以， 即， 所以数列是递增数列， 因为， 所以使得不等式成立的最小正整数的值为. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.5 数列求和（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知数列的通项公式，前项和为，则项数为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 2．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 3．（25-26高二下·广东佛山·期末）已知数列满足，则（   ） A．720 B．746 C．760 D．780 4．（25-26高二上·山东菏泽·期末）设，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前20项和为（   ） A．210或90 B．210 C．或 D． 6．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 8．（25-26高二下·四川成都·期中）已知数列满足，，数列的前项和为，若恒成立，则M的最小值为（   ） A．不存在 B．1 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·河北·期末）已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．当为偶数时， D． 10．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）在等比数列中，，，则（   ） A．的公比为2 B．的前项和小于 C．数列的前项和不大于 D．数列的前项和小于 11．（25-26高二下·四川泸州·期中）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知数列满足，且．设，则数列的前n项和_______． 13．（2026·云南曲靖·一模）数列中，，数列的前项和，则数列的前项和______. 14．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知数列的前n项和为，若，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 16．（25-26高二下·山东潍坊·期末）已知数列满足，且， (1)求证：数列为等差数列，并求出的通项公式. (2)若数列满足，记的前项和为，证明：． 17．（2026高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设为的前项和，求． 18．（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，设为数列的前n项和，求 (3)证明：对，． 19．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）数列的前项和为，已知，，成等差数列. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $