6.4 数列通项公式（精练）-备战2027届高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦数列通项公式求解，通过选择、填空、解答题系统覆盖不同递推类型，强化从递推关系到通项公式的推理能力与模型构建。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|涉及基础递推（如aₙ₊₁=paₙ+q）、前n项和Sₙ与aₙ关系|从简单递推到Sₙ-aₙ转化，构建“已知递推→求通项”基本逻辑链| |多选题|3题|综合判断数列性质（等比性、前n项和）|联结通项公式与数列性质，深化概念间推导关系| |填空题|3题|直接求解通项（如累加法、构造法）|聚焦核心方法应用，强化运算能力与推理意识| |解答题|5题|多问递进（证明等比、求通项、求和）|从证明到应用，形成“递推分析→模型构造→通项求解→综合应用”完整逻辑体系|

6.4 数列通项公式（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 2．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 3．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4053 B．4051 C．4055 D．4048 5．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）若数列的前项和为，，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东河源·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江苏南京·二模）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列满足：，则（     ） A． B．的前n项和为 C．设，则数列的前10项和为52 D．设，则数列既有最大项，又有最小项 11．（25-26高二上·湖南·期末）已知数列的首项，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．，使得 B．数列是等比数列 C．设，则数列的前项和 D．若，则满足条件的最大整数的值为2024 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知数列中，，，则________. 13．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前项和为，，则_________． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，，，则通项公式______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件，求数列的通项公式． (1)在数列中，，； (2)在数列中，，； (3)在数列中，，； (4)在数列中，，． 16．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，． (1)证明为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 17．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足：，，，求数列通项公式. 18．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前项和． 19．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知正项数列的前n项和为，，，，且为等比数列． (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前n项和． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4 数列通项公式（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 2．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 【答案】B 【分析】通过构造等比数列求出的通项公式，再由分组求和即可求得. 【详解】由题意得，两边同时加得，又， 则，即是以为公比，为首项的等比数列， 即，则， 则. 3．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【分析】借助累加法及等差数列求和公式可求出数列的通项公式，即可得. 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4053 B．4051 C．4055 D．4048 【答案】A 【分析】根据给定的递推公式，结合，求出数列的通项公式，从而得解. 【详解】当时，，解得， 当时，， 作差得， 整理得， 因为，所以，所以， 是首项为1，公差为2的等差数列，则， 故． 5．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据累乘法求通项，根据裂项相消法求. 【详解】由，得， 当时，， 以上各式相乘，得，又，所以， 因为满足上式，所以， 因为，所以. 故选:A. 6．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）若数列的前项和为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据递推关系式可构造出，从而证得数列为等比数列；根据等比数列通项公式、求和公式，采用分组求和法可求得结果. 【详解】，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，， . 7．（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后得到原数列通项． 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 故选：D． 8．（25-26高二上·广东河源·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过参变分离将转化为，再利用递推公式，求出数列的通项，分为奇数和偶数讨论求得的最大值即可得答案. 【详解】由，得，，又， 所以， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即. 由，得， 当为奇数时，为递增数列， 所以，即. 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以. 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江苏南京·二模）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可得、，结合等差数列的定义和通项公式可得，即可判断AB；结合数列的单调性即可判断C；结合放缩法计算即可判断D. 【详解】由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得，对于， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列满足：，则（     ） A． B．的前n项和为 C．设，则数列的前10项和为52 D．设，则数列既有最大项，又有最小项 【答案】ACD 【分析】根据递推关系求出判断A；根据等差数列前项和公式计算判断B；写出数列前10项，计算求和判断C；求得，根据单调性计算判断D. 【详解】对于A，当时，； 当时， . 当时，上式亦成立，所以，故A正确； 对于B，的前项和为，故B错误； 对于C，， 时，时， 故前10项和为，故C正确； 对于D，， 当时，，并且单调递减，； 当时，，并且单调递减，. 所以最小，最大，故D正确. 11．（25-26高二上·湖南·期末）已知数列的首项，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．，使得 B．数列是等比数列 C．设，则数列的前项和 D．若，则满足条件的最大整数的值为2024 【答案】BCD 【分析】根据定义证明数列为等比数列，进而求出通项公式即可判断AB选项；根据进行放缩证明C；D求出的和，通过数列的增减性可求. 【详解】对于AB，由题意可得，则， 因为，所以，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以，所以，所以， 故A错误，B正确； 对于C，因为 ， 所以数列的前项和为， 又，则， 故，故C正确； 对于D，由，得其前项和为， 令，即， 因为数列为递增数列，且当时， 当时， 故满足条件的最大整数，D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知数列中，，，则________. 【答案】/4.375 【分析】由题设可得，进而利用累乘法求解即可. 【详解】由，得， 所以，， 则. 故答案为：. 13．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前项和为，，则_________． 【答案】324 【分析】分为奇数和偶数两种情况，发现数列的特点，再分组求和即可． 【详解】由， 当为奇数时，为偶数， 则，， 两式相减得； 当为偶数时，为奇数， 则，， 两式相加得， 则 ． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，，，则通项公式______ 【答案】 【分析】根据题中递推关系构造两个等比数列，联立方程求解通项公式； 【详解】因为变形为 所以数列是等比数列，首项为，公比为3， 因此①， 又因为变形为 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 因此②， ① ②两式相减可得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件，求数列的通项公式． (1)在数列中，，； (2)在数列中，，； (3)在数列中，，； (4)在数列中，，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由，把，代入，得个式子， 累加即可得 ，所以， 即，所以． 当时，也符合， 所以． （2）由递推关系，，有， 于是有，将这个式子累乘， 得． 所以当时，．当时，符合上式， 所以． （3）由得，令， 所以是以2为公比的等比数列． 所以， 所以． （4）由已知，，在递推关系式两边取对数， 有．令， 则．所以， 所以是等比数列． 所以． 所以， 所以． 16．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，． (1)证明为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)数列中，由，得， 而，所以， 因此为等比数列，其首项为1，公比为2. (2) 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列定义推理得证. （2）因为，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）略 （2）根据（1）可得，即， 则， 所以. 17．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足：，，，求数列通项公式. 【答案】 【分析】根据递推关系式，可令，解出两根； 方法一：根据方程两根可构造两个等比数列和，结合两个等比数列通项公式，可消元求得通项； 方法二：根据方程两根可构造通项公式的一般形式，代入，解方程组即可求得通项. 【详解】方法一（构造两个等比数列）：令，解得：或， ， 又，， 数列是以为首项，为公比的等比数列；数列是以为首项，为公比的等比数列； …①；…②； ①②得：，化简得：. 方法二（特征根法）：，，； 令，解得：或， 故令，代入得， 解得：，. 18．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系即可求通项公式； （2）利用分组求和与等比数列的求和公式计算即得. 【详解】（1）当时，， 当时， 又不满足上式（） 综上所述，的通项公式为. （2）由（1）可得（），且， 综上所述，的前项和. 19．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知正项数列的前n项和为，，，，且为等比数列． (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) () (3) () 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解. （2）利用累加法求解. （3）利用错位相减法求解. 【详解】（1）正项数列中，因为，，所以， 因为数列为等比数列，设其公比为， 所以， 当时，， 当时，， 将上述两式左右两边分别相加可得， 因为，，所以， 解得，即，即，解得或， 当时，， 因为，所以，解得， 因为数列是正项数列，即任意，都有， 则不符合题意，则， 因为，，所以， 所以. （2）由（1）可知，等比数列的通项为， 当时,，，，， 将以上个等式左右分别累加，得到 ， 解得， 因为，所以， 当时，，与题干已知条件一致，公式对同样成立， 因此数列通项公式为. （3）设，因为，所以， ①， ②， ①减去②得到， ， ， ， ， . 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $