6.6 数列的综合应用（精练）-备战2027届高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦数列综合应用，通过19道梯度题组构建从基础计算到实际建模的完整训练体系，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|8选择+3填空|等差等比基本量计算、前n项和公式应用|以定义为起点，构建"概念-公式-性质"推导链条| |创新定义|2题（第2、19题）|"λ-数列""美好成长"新情境|通过符号化表达发展数学抽象与逻辑推理| |实际建模|2题（第7、11题）|算力租赁优化、贷款还款方案|体现"问题情境-数学建模-求解验证"应用路径| |综合探究|5解答题|递推关系证明、不等式恒成立|融合函数思想与数列性质，培养批判性思维|

6.6 数列的综合应用（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·山东枣庄·二模）已知等差数列中，，其前项和为．等比数列中，．则满足的的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】借助等差数列及求和公式与等比数列定义可求出与，再利用为正整数计算即可得. 【详解】等差数列的公差， 则， 等比数列的公比，即， 令，当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，的增长远快于，故无解； 故符合题意的的个数为. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“数列”定义逐项判断可得答案. 【详解】在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且， 则称数列为“数列”，“数列”不是递增或递减数列． 对于A，因为，所以是递增数列，A错误； 对于B，因为，所以是递增数列，B错误； 对于C，，满足且，故是“数列”，C正确； 对于D，因为， 所以是递减数列，D错误． 3．（25-26高二下·安徽淮南·期末）已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先利用和的关系，求得数列的通项公式，由，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为数列的前项和为，满足， 当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又因为，可得，所以， 因为，所以， 所以数列的所有“和谐项”的平方和为： . 4．（25-26高二下·河南濮阳·期末）已知数列满足，，是数列的前项和.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据构造法写出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出，根据的范围判断实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， 所以， 不等式对恒成立，则实数的取值范围为. 5．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知数列满足，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数列的递推关系求得，进而得，再利用裂项相消法求得，通过函数的单调性和有界性得到，即可求得的最小值. 【详解】， ∴，又， 所以， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴，则． ∴. ∴. 对于，，， 所以. 由恒成立，得. 6．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知数列的前项和，若，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与的关系，求得，，结合题意，将问题转化为求解的最大值，令，得，结合二次函数性质计算求解. 【详解】因为①， 所以当时，，解得， 当时，②， 由①-②可得，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 故由，可得，其中③． 令，则， 由二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 当时，，故③式最大值为120，则， 则实数的取值范围为. 7．（2026·湖北·二模）“东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需求有序引导到西部的资源优化配置策略．某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择，一种是仅根据单位算力支付费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用，下表列出了该公司调查A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当他有算力需求时，最优方案所需费用为（   ） 公司 算力 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 A．240万元 B．260万元 C．280万元 D．300万元 【答案】B 【分析】设相关参数，根据题意分析整体费用最少的租赁方案的可能组合，可得，，，运算求解即可. 【详解】设方案一，单位算力费用为万元，方案二，单位算力费用为万元，租用一台超级计算机费用t万元 运算量付费 租赁方式付费 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 由于A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少， 根据数据计算量支付费用分别为，，成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾， 租用超级计算机分别为，，也成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾， 则必有某公司是根据数据计算量支付费用的． 若根据数据计算量支付费用的是B公司则， 则与A公司租赁最少费用120万元矛盾； 若根据数据计算量支付费用的是C公司则， 则与A公司租赁最少费用120万元矛盾； 故根据数据计算量支付费用的是A公司，租用超级计算机的是B公司和C公司， 则，，， 解得：，，， 若某公司有算力需求时，最优方案需费用为万， 故选：B． 8．（25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，，且，，成等比数列，则的值为（     ） A． B．80 C．81 D．90 【答案】B 【分析】由题意可得数列的首项为，设其公差为，由，，成等比数列和数列（非常数列），求得，从而得，再将代入求解即可. 【详解】因为为等差数列，， 所以数列的首项为，设其公差为， 则， 所以， 所以，，， 又因为，，成等比数列， 所以， 即， 解得或， 当时，， 当时，， 所以，为常数数列，不满足题意，故舍去; 当时，， 当时，， 所以，不是常数数列，满足题意， 所以， 所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·广东珠海·期中）已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（   ） A． B． C．，，使得 D． 【答案】BCD 【分析】对于AB,根据题意，求出等比数列以及等差数列的通项公式分析判断，对于C，根据指数函数与一次函数的增长速度分析判断，对于D，根据错位相减法求解判断. 【详解】设公比为，，则 ， 两式作比得 ，进而，因此，故选项B正确. ，因此公差 ，因此，选项A错误. ，指数函数增长速度远快于一次函数， 当时 .因此对任意，总能找到正整数使得，选项C正确. 则， 所以 ， 因此，选项D正确. 10．（25-26高二下·辽宁抚顺·期中）已知数列的前项和为，且满足，且对任意，不等式恒成立，则下列说法正确的是（   ） A．为等差数列 B． C． D．实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】利用作差法可得即可判断A；利用等差数列前项和公式可得即可判断B，利用裂项相消法求和即可判断C；分为奇数和为偶数求出的取值范围，进而可判断D． 【详解】当时，，解得， 当时，则， 所以，故， 因为，满足， 所以的通项公式为，为等差数列，A正确； ，，B错误； 因为， 所以，C正确； 由不等式，可得， 当为奇数时，，化简可得，所以， 当为偶数时，，化简可得，所以， 所以实数的取值范围为，D正确． 11．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2430元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 【答案】ABD 【分析】对于BC选项，根据等额本金的还款方案分析结合等差数列求和公式计算即可；对于A选项，等额本息的还款方案，结合等比数列的判定及求和公式计算；对于D选项，通过比较两种还款方案的利息进行判断. 【详解】对等额本金的还款方案，设每月的还款额为（万元）， 则，，…，， 所以B选项正确； 所还的利息总数为（万元）， 所以C选项错误； 对等额本息的还款方案，设第个月的贷款利息为（万元），偿还本金为（万元）， 则，，，， 同理可得：，，…，. 所以是以为首项，为公比的等比数列， 其前12项的和为：，解得. 所以每月的还款额为，故A选项正确； 所以等额本息的还款方案，所还利息总和为万元， 又等额本金的还款方案，所还的利息总数为万元， 因为，所以等额本息还款的利息多，故D正确. 综上所述，选项ABD正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列{an}共有5项且都是正数.该数列的前3项成等比数列，后3项成等差数列，数列{an}的前n项和为Sn，则____. 【答案】8 【详解】设后3项的公差为d，前3项的公比为q，由 可得， 所以，即， 解得或. 所以或. 当时，， 当时，. 所以. 13．（2026高三·全国·专题练习）设数列的通项公式为，数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中最大值，则________，数列的通项公式________． 【答案】 /. 【分析】结合数列的定义，解不等式求解即可；结合数列的定义，解不等式并分情况讨论求解即可. 【详解】当时，，解得，又，所以. 由数列定义可知，. 由题意得，解得. 当为奇数时，设，则，因为， 所以. 当为偶数时，设，则，因为， 所以. 综上，. 14．（25-26高二下·安徽马鞍山·期末）已知数列满足：，.若对任意，都有，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用递推公式变形为，求出取值范围，再求得的取值范围. 【详解】利用递推公式变形为，那么 设，则，那么 函数单调递增， 对任意，都有，又由题可得由，即，, 当时，； 当时，， 综合上述，的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知数列的前项和，数列是公比为2的等比数列，且． (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； (2)求集合中元素的个数，并求所有元素的和． 【答案】(1)，是等差数列 (2)9，63 【分析】（1）由前n项和公式求通项，利用 得到通项表达式，再验证首项是否满足，最后通过相邻项差为常数判断是否为等差数列； （2）将两个数列的通项代入条件 ，转化为关于 的幂等式，结合 的范围确定的取值区间，从而求出集合元素个数及和. 【详解】（1）当时，有， 当时，有， 又因为，所以时也成立， 因此数列的通项公式为．             因为，所以是等差数列． （2）由（1）知，， 由，得，             由题知，所以， 所以，4，5，6，7，8，9，10，11共9个数， 即集合中元素的个数为9， 所有元素的和为63． 16．（25-26高二下·江西九江·期末）已知数列满足：，且对任意，有. (1)求，，并比较大小； (2)证明：数列是等比数列； (3)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，，； (2)证明：由， 又， 故数列是以为首项、为公比的等比数列. (3)证明：由（2）得，故. 所以， 则 【分析】（1）依次计算出，作差法比较大小； （2）计算出，证明出结论； （3）由（2）得，故，由等比数列求和公式可得. 【详解】（1），由题意，， ， 则，故. （2）略 （3）略 17．（25-26高一下·上海·期中）某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%. (1)求今年6月的产量以及不合格品的数量；（结果精确到1个） (2)那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 【答案】(1)6月的产量：1340；不合格品的数量：107； (2)能控制在100个以内 【分析】（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，由题意可得数列，的通项公式，则今年6月的产量为，不合格品的数量为； （2）各月不合格品的数量构成数列，由题意可知，数列是等比数列，是等差数列，由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法. 【详解】（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，， 由题意知，，其中，2，…，24， 所以今年6月的产量为，不合格品的数量为. （2）从今年1月起，各月不合格产品的数量是， 由计算工具计算（精确到0.1），并列表， n 1 2 3 4 5 6 7 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，数列递减，且即可， 由，解得， 所以当时，数列单调递减， 又，所以当时， ， 所以生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内． 18．（25-26高二下·江西九江·阶段检测）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为．若对恒成立，求实数的取值范围． (3)设数列，，求证：； 【答案】(1) (2) (3) ， 所以 ，即命题得证． 【分析】（1）构造数列是以为首项，为公差的等差数列，利用等差数列公式求解； （2）裂项相消计算，通过分离参数，利用函数单调性求出最大值，； （3）采取放缩将，直接利用求和化解. 【详解】（1）由， 两边同除以得， 即， 又，故，所以是以为首项，为公差的等差数列， 解得，所以． （2）由（1）知， 故数列的前项和为： ， 将代入不等式，得，即， 因为，所以，两边同乘得：， 令，则， 故在上单调递减，因此， 要使对恒成立，只需，即， 所以，实数的取值范围为． （3）略 19．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；设第次“美好成长”后得到的数列为，并记. (1)求； (2)证明：； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明：由题意得 ， 即； (3) 【分析】（1）根据题设定义求对应项的值即可； （2）应用对数的运算性质及新定义得到的关系，即可证； （3）根据（1）（2）的结论，结合构造法及等比数列的定义得到，再应用裂项相消法求. 【详解】（1）由题意得，； （2）略 （3）由（1）（2）知，，整理得，又， 所以数列是首项为，公比为3的等比数列， 故，即， 所以， 所以. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.6 数列的综合应用（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·山东枣庄·二模）已知等差数列中，，其前项和为．等比数列中，．则满足的的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（26-27高三·全国·一轮复习）在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·安徽淮南·期末）已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为． A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南濮阳·期末）已知数列满足，，是数列的前项和.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知数列满足，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 6．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知数列的前项和，若，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北·二模）“东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需求有序引导到西部的资源优化配置策略．某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择，一种是仅根据单位算力支付费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付费用，下表列出了该公司调查A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当他有算力需求时，最优方案所需费用为（   ） 公司 算力 租赁最少费用 A公司 120万元 B公司 180万元 C公司 220万元 A．240万元 B．260万元 C．280万元 D．300万元 8．（25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，，且，，成等比数列，则的值为（     ） A． B．80 C．81 D．90 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·广东珠海·期中）已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（   ） A． B． C．，，使得 D． 10．（25-26高二下·辽宁抚顺·期中）已知数列的前项和为，且满足，且对任意，不等式恒成立，则下列说法正确的是（   ） A．为等差数列 B． C． D．实数的取值范围为 11．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2430元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列{an}共有5项且都是正数.该数列的前3项成等比数列，后3项成等差数列，数列{an}的前n项和为Sn，则____. 13．（2026高三·全国·专题练习）设数列的通项公式为，数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中最大值，则________，数列的通项公式________． 14．（25-26高二下·安徽马鞍山·期末）已知数列满足：，.若对任意，都有，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知数列的前项和，数列是公比为2的等比数列，且． (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； (2)求集合中元素的个数，并求所有元素的和． 16．（25-26高二下·江西九江·期末）已知数列满足：，且对任意，有. (1)求，，并比较大小； (2)证明：数列是等比数列； (3)记数列的前项和为，证明：. 17．（25-26高一下·上海·期中）某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%. (1)求今年6月的产量以及不合格品的数量；（结果精确到1个） (2)那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 18．（25-26高二下·江西九江·阶段检测）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为．若对恒成立，求实数的取值范围． (3)设数列，，求证：； 19．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；设第次“美好成长”后得到的数列为，并记. (1)求； (2)证明：； (3)求数列的前项和. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $