6.7 格点多边形的面积（教学设计） -2026-2027学年数学人教版五年级上册

该小学数学教学设计聚焦格点多边形面积计算，通过“点阵围图算面积”游戏导入，让学生动手围图尝试用旧方法计算，发现繁琐后引出简便算法，衔接已有的基本图形面积计算经验，搭建新知学习支架。 此资料亮点在于以几何直观为基础，通过格点图观察、分割添补转化培养空间感知，以推理意识为核心，引导学生观察数据、归纳验证皮克定理，渗透模型意识。如学习任务三让学生填表猜测规律、绘制图形验证公式，学生能提升探究与归纳能力，教师可依托清晰的“概念引入—方法探索—定理验证”路径高效教学。

第六单元 第7课时 格点多边形的面积 教学设计 课程基本信息: 学科·版本 数学·人教版 授课班级 授课教师 年 级 学 期 单 元 六 多边形的面积 课 题 第7课时 格点多边形的面积 一、教材内容分析 1.知识内涵 （1）地位作用：格点多边形面积是学生掌握基本图形面积计算及分割、添补法后的拓展内容，既巩固已有面积计算能力，又引入皮克定理这一巧算工具，为复杂图形面积计算提供新思路，同时渗透数学定理的发现与验证过程，是几何与代数结合的典型载体。 （2）内容呈现：从方格纸到格点图再到格点多边形逐步抽象概念；通过卡通对话呈现分割、添补两种常规计算方法；引出皮克定理公式；最后通过表格让学生自主绘制多边形验证公式，体现“概念引入—方法探索—定理呈现—实践验证”的逻辑线索。 （3）编排特点：注重直观与抽象结合，从具体图形操作到公式归纳；强调探究过程，让学生经历“观察—思考—猜想—验证”的数学思维路径，意图培养自主探究能力和对数学简洁性的感知。 2.素养内涵 本课时承载几何直观、推理意识、模型意识、运算能力等核心素养，具体表现： （1）几何直观：通过方格纸、格点图直观表示多边形，利用分割、添补法转化为基本图形，借助图形理解面积计算过程。 （2）推理意识：通过绘制多个格点多边形，填写内部格点数、边界格点数及面积，归纳验证皮克定理，经历归纳推理过程，培养逻辑思维。 （3）模型意识：理解皮克定理公式模型，将面积与内部、边界格点数建立联系，应用模型解决问题。 （4）运算能力：运用分割、添补法及皮克公式计算面积，提升运算准确性与灵活性。 二、教学目标 1.经历认识格点多边形及探索面积计算的过程，掌握分割、添补法和皮克定理，能计算格点多边形面积。 2.通过验证皮克定理的活动，发展观察、归纳能力，提升数学思维和问题解决能力。 3.感受数学方法的巧妙，体会数学价值，激发探究兴趣和用数学眼光观察世界的意识。 三、教学重难点 1.教学重点 掌握格点多边形面积的皮克定理公式，能运用公式计算格点多边形面积。 2.教学难点 准确区分内部格点与边界格点，理解皮克定理的含义及应用方法。 四、课堂导入 游戏导入法： 教师活动：“同学们，我们来玩‘点阵围图算面积’小游戏，请各小组拿到点阵纸后，连接点阵顶点围出一个不规则图形，试着算出它的面积。” 学生活动：分组动手围图，尝试用旧方法计算面积，交流后发现计算繁琐，不好算。 教师过渡：大家都觉得旧方法算起来太麻烦了，今天我们就一起来学习一种简便的巧算方法。 【设计意图：通过动手游戏激活学生已有的面积计算经验，制造认知冲突，激发学生对简便算法的探究欲望，为新知学习铺垫。】 五、探究新知 学习任务一 认识格点多边形 活动1：观察对比，认识格点图 教师活动：出示方格纸，提问：“同学们，这张纸有什么特点？”；用课件演示擦除方格纸的实线，仅保留网格交点，提问：“现在的图和方格纸相比，有什么变化？这些交点我们称为‘格点’，这个图就是格点图。” 学生活动：观察方格纸，描述“由水平、垂直线段组成正方形网格”；对比格点图与方格纸，发现“格点图只有交点，无网格线”；尝试用语言概括格点图的特征。 活动2：动手操作，定义格点多边形 教师活动：引导学生“用格点图上的点作为顶点，画一个多边形”；收集学生作品，提问：“这些多边形的顶点有什么共同特点？”；总结：“以格点为顶点的多边形就是格点多边形。” 学生活动：动手绘制格点多边形，展示作品；观察作品，发现“所有顶点都在格点上”；理解格点多边形的定义。 【设计意图：通过观察对比、动手操作，帮助学生建立格点多边形的直观概念，培养空间感知能力和动手实践能力，为后续面积计算奠定基础。】 学习任务二 探究格点多边形面积的常规计算方法 活动1：思考并尝试计算面积 教师活动：出示教材中的格点多边形（分割法配图），提问：“这个格点多边形的面积怎么计算？你有哪些方法？”；引导学生分组讨论，提示：“可以把它分成学过的基本图形吗？或者用添补的方式？” 学生活动：独立思考后分组讨论；用分割法将多边形分成三角形、长方形等，计算各部分面积之和；用添补法画出包围多边形的长方形，计算长方形面积减去空白部分面积；小组代表汇报方法及结果。 活动2：对比两种方法的本质 教师活动：提问：“分割法和添补法有什么相同之处？”；总结：“两种方法都运用了‘转化’思想，将不规则图形转化为规则图形计算面积。” 学生活动：思考并回答“都把未知图形转化为已知图形”；理解转化思想在面积计算中的应用。 【设计意图：通过探究分割法和添补法，让学生掌握格点多边形面积的常规计算方法，渗透转化思想，培养解决问题的能力和合作交流能力。】 学习任务三 发现并验证皮克定理 活动1：观察数据，猜测规律 教师活动：出示表格，让学生记录之前计算的格点多边形的“内部格点数a”“边界格点数b”“面积S”；提问：“观察表格中的数据，S与a、b之间有什么关系？尝试写出关系式。” 学生活动：填写表格，数出每个图形的a和b；观察数据，尝试发现规律（如“面积=内部格点+边界格点÷2-1”）；写出猜测的公式。 活动2：验证规律，认识皮克定理 教师活动：让学生再画2-3个不同的格点多边形，计算a、b、S，验证猜测的公式；介绍：“这个规律是奥地利数学家皮克发现的，称为皮克定理，公式为。” 学生活动：绘制新的格点多边形，计算a、b、S；对比公式结果与实际计算结果，确认规律成立；理解皮克定理的内容。 【设计意图：通过观察、猜测、验证的过程，让学生经历数学规律的发现过程，培养归纳推理能力和严谨的科学态度，感受数学的简洁美，提升数学核心素养。】 六、课堂练习 1.下列图形中，哪些是格点多边形？ （1）所有顶点都在格点上的五边形； （2）有一个顶点不在格点上的四边形； （3）由曲线围成的图形。 2.一个格点多边形被分割成一个长方形（面积为6）和两个三角形（每个面积为2），这个多边形的面积是多少？ 3.已知某格点多边形的内部格点数a=3，边界格点数b=6，根据皮克定理计算它的面积。 4.观察一个格点多边形，数得内部格点数a=4，边界格点数b=10，用皮克定理求其面积。 用添补法计算一个格点多边形的面积，再用皮克定理计算同一多边形的面积，比较两个结果是否相等。 七、课堂小结 今天我们学习了格点多边形的相关知识：首先认识了格点多边形——从方格纸擦去实线留下交点得到格点图，以格点为顶点连成的多边形就是格点多边形。计算它的面积有三种方法：分割法（分成基本图形再求和）、添补法（补成长方形再减去多余部分），还有巧妙的皮克定理，公式是（a是内部格点数，b是边界格点数）。我们还通过画不同格点多边形填表，验证了皮克定理的正确性。希望同学们课后多练习，用不同方法计算格点多边形面积，加深理解哦！ 八、课后作业设计 基础性作业 1.下面的图形中，哪些是格点多边形？请在括号内画“√”。（图形描述：①所有顶点均在格点上；②有1个顶点不在格点上；③所有顶点均在格点上） 2.观察下图的格点多边形，已知内部格点数，边界格点数，用皮克定理计算它的面积。 3.用分割法或添补法计算第2题中格点多边形的面积，与皮克定理的结果对比，验证是否一致。 拓展性作业 1.请在方格纸上画出2个不同的格点多边形，分别数出它们的内部格点数、边界格点数，用皮克定理计算面积，再用分割法/添补法验证，完成下表： 多边形 内部格点数 边界格点数 皮克定理面积 分割/添补法面积 1 2.下图是某校园花坛的格点示意图（每个小正方形边长为1米），请用皮克定理计算花坛的面积。 参考答案 基础性作业 1.答案：①（√）、②（×）、③（√）设计意图：巩固格点多边形“顶点均在格点上”的核心特征，强化概念理解。 2.答案：设计意图：直接应用皮克定理，掌握公式中（内部格点）和（边界格点）的含义及计算步骤。 3.答案：（示例：分割为1个长方形和2个三角形，长方形面积，三角形面积各为1，总和，与皮克定理结果一致）设计意图：通过两种方法对比，加深对皮克定理的信任，同时巩固分割法/添补法的应用能力。 拓展性作业 1.答案：（示例） 多边形 内部格点数 边界格点数 皮克定理面积 分割/添补法面积 1 2 6 4 设计意图：让学生自主探究，验证皮克定理的普遍性，培养动手操作、数据记录和归纳总结能力。 2.答案：（假设图形内部格点，边界格点）平方米设计意图：将皮克定理与生活场景结合，体现数学的实用性，提升解决实际问题的能力。 九、板书设计 格点多边形相关方格纸：水平+垂直实线构成正方形网格格点图：保留方格纸交点（黑点=格点）格点多边形：顶点在格点上的多边形 面积计算方法分割法：分成基本图形→求和添补法：补成长方形→减多余部分 皮克定理公式：a=内部格点数；b=边界格点数 验证表格内部格点数 | 边界格点数 | 格点多边形面积 方法来源皮克定理（1899年，奥地利数学家皮克） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $