4.2 认识一次函数第3课时 (课件) 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数的梯度计价应用，通过复习一次函数定义导入，以租车计费问题为起点，逐步延伸到水费、停车费等生活实例，构建从具体情境到数学模型的学习支架。 其亮点在于以真实生活问题为载体，培养学生用数学眼光观察现实（如从计费规则抽象函数关系）、用数学思维解决问题（如分段函数推导），通过方案优选、分段收费等实例，结合模型意识与应用意识，帮助学生掌握知识，教师可借助丰富案例提升教学效果。

北师版八年级上册 4.2 认识一次函数 第四章 一次函数 第3课时 梯度计价问题 什么是一次函数？ 如果两个变量 x、y 之间的对应关系可以表示成y=kx+b（ k , b 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的一次函数. 特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数. 即正比例函数可以表示为 y=kx（k≠ 0）. 想一想：在实际生活中，能否运用一次函数解决某些问题？ 复习导入 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元. 乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200 元（不足 1 km 按 1 km 计算）. （1）假设该单位用车里程为 30 km，你建议租用哪家公司的客车？ 解：甲公司的费用：15×30＝450（元） 乙公司的费用：10×30＋200＝500（元） ∵ 450＜500， ∴建议租用甲公司的客车. 甲公司： 总费用=单价×里程 乙公司： 总费用=里程费+服务费 探索新知 （2）假设该单位用车里程为 52 km，你建议租用哪家公司的客车？ 解：甲公司的费用：15×52＝780（元） 乙公司的费用：10×52＋200＝720（元） ∵ 780＞720， ∴建议租用乙公司的客车。 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200 元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200 元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 解：设用车里程为 x 千米是两家收费相同， 甲公司收费为 15x 元，乙公司收费为 (10x+200) 元， 据题意，15x＝10x＋200，解得 x＝40。 ∴ 用车里程为 40 千米时，两家出租车公司的收费相同。 你知道生活中还有哪些也是相关的计费问题？ 除了租车、还有用水、用气、用电、快递计费等。 本质上都是一次函数的应用。 【例3】为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： (1)当 220 < x≤300 时，写出水费 y（单位：元）与 x 之间的关系式； 计费档 户年用水量 x/m3 单价/（元/m³） 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 解：当 220＜ x ≤300 时，用水量属于第二档. 于是 y＝3.45×220＋4.83×(x－220)， 即 y＝4.83x－303.6 根据单价和用水量的关系建立水费y与x的关系式 (2)某户一年用水量是 250 m3，求该户这一年的水费； 解：当 x＝250 时， y＝4.83×250－303.6＝903.9(元)。 用水量 250 m3 在哪一档？ 计费档 户年用水量 x/m3 单价/（元/m³） 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 (3)某户去年一年的水费是 1000.5 元，求该户去年一年的用水量. 解：因为 3.45×220＝759， 4.83×300－303.6＝1145.4， 759＜1000.5＜1145.4， 所以该户用水量属于第二档. 设该户去年一年的用水量为 x m3，则 1000.5＝4.83x－303.6 解这个方程，得 x＝270. 因此，该户去年一年的用水量为 270 m3. 1000.5 元属于哪一计费档？每一档水费最大值分别是多少？ 计费档 户年用水量 x/m3 单价/（元/m³） 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 （1）在例 3 中，当 x＞300 时，你能写出水费 y (单位：元)与用水量 x 之间的关系式吗？ 当x＞300 时，总水费 y 等于三个档水费之和 分析：此时水费 y 由三部分组成，第一档 220m³ 水费、第二档 (300－220) m³水费以及超出 300 m³ 部分的水费.所以 y = 3.45×220＋4.83×(300－220)＋5.83×(x－300) y = 5.83x－603.6 尝试·思考 计费档 户年用水量 x/m3 单价/（元/m³） 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 （2）像例 3 这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？ ①意义：体现公平、促进资源合理利用、反应成本差异等； ②注意：数据的准确性、灵活性与适应性等； 例如在出租车计费中，k 代表每千米的费用变化对总费用的影响，b 代表固定的服务费等. 讨论k、b对一次函数y=kx+b的影响以及在实际问题（如出租车计费、水费计费）中的意义？ 尝试·思考 漏刻计时 水钟在我国古代叫“漏刻”或“漏壶”。其计时原理：水匀速漏入受水壶，受水壶中的浮子就会均匀升高，浮子升高的高度 h 与所经历的时间 t 之间的关系是 h = kt（k为常数）。 阅读·思考 一次函数在计费问题中的应用 方案优选问题 分段收费问题 课堂小结 1. 小李从安徽通过快递公司给在广东的亲人邮寄本地土特 产，寄快递时，快递公司规定：不超过1千克，收费12元；超 过1千克时，超出部分按每千克4元加收费用。若小李给亲人邮 寄了x(x＞1)千克本地土特产，则快寄的费用y(单位：元)与 x(单位：千克)之间的函数关系式为(　C　) A. y＝12x B. y＝8x＋8 C. y＝4x＋8 D. y＝4x＋12 C 课堂练习 A层 基础练 2. 国务院公布《节约用水条例》，自2024年5月1日起施行， 这是我国首部节约用水行政法规。为加强居民节水意识，某市 采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，水价为4 元/立方米；超过13立方米时，超出的部分水价为6元/立方米。 设某用户月用水量为x立方米，水费为y元。 (1)写出y与x的关系式； 解：(1)由题意，得当0≤x≤13时，y＝4x； 当x＞13时，y＝13×4＋6(x－13)＝6x－26。 综上所述，y＝ 解：(1)由题意，得当0≤x≤13时，y＝4x； 当x＞13时，y＝13×4＋6(x－13)＝6x－26。 综上所述，y＝ A层 基础练 2. 国务院公布《节约用水条例》，自2024年5月1日起施行， 这是我国首部节约用水行政法规。为加强居民节水意识，某市 采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，水价为4 元/立方米；超过13立方米时，超出的部分水价为6元/立方米。 设某用户月用水量为x立方米，水费为y元。 (2)若该用户某月实际水费为50元，则该用户当月实际用水量为 多少立方米？ 答：该用户当月实际用水量为12.5立方米。 解：(2)因为4×13＝52，50＜52， 所以该用户实际用水量不超过13立方米。 当y＝50时，即4x＝50。解得x＝12.5。 答：该用户当月实际用水量为12.5立方米。 A层 基础练 3. 国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用 一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下： 甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费(不足 一小时按一小时计费)； 乙公司：无固定租金，三小时以内每小时租费40元，超过三小时，超过 部分以每小时租费32元计费(不足一小时按一小时计费)。 根据以上信息，解决下列问题： (1)设租车时间为x小时(3≤x≤24)，租用甲公司的车所需费用为y1 元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数 关系式； 解：(1)当3≤x≤24时，y1＝84＋20x，y2＝40×3＋32(x－3)＝32x＋24。 A层 基础练 3. 国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用 一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下： 甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费(不足 一小时按一小时计费)； 乙公司：无固定租金，三小时以内每小时租费40元，超过三小时，超过 部分以每小时租费32元计费(不足一小时按一小时计费)。 根据以上信息，解决下列问题： (2)小明家当天计划游玩6小时，请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算。 (2)当x＝6时， 租甲公司的车所需费用为84＋20×6＝204(元)， 租乙公司的车所需费用为32×6＋24＝216(元)。 因为204＜216，所以选择甲公司比较合算。 (2)当x＝6时， 租甲公司的车所需费用为84＋20×6＝204(元)， 租乙公司的车所需费用为32×6＋24＝216(元)。 因为204＜216，所以选择甲公司比较合算。 A层 基础练 4. 小李驾驶一辆小车到M市出差，将车停在了M市一个停车场里，该停车场收费标 准如下表： 时段 收费标准 备注 白天 停车 07时—22时(小车) 停车3小时以内(含3小时)5元/(辆•次)，超过3小时，每小时加收3元 可连续几天停车； 超过3小时时，不 足1小时的按1小时 计费 07时—22时(大车) 停车3小时以内(含3小时)10元/(辆•次)，超过3小时，每小时加收5元 夜间 停车 22时—07时(小车) 无论停车时间长短10元/(辆•次) 22时—07时(大车) 无论停车时间长短20元/(辆•次) (1)设小李白天停车时长为x小时，应交停车总费用为y元，请写出y与x的函数表 达式； 解：(1)由题意可得，当x≤3时，y＝5；当x＞3时，y＝5＋3(x－3)＝3x－4。 综上所述，y＝ B层 提升练 (2)如果小李是4月23日上午10：05驾车进入停车场(开始计时收费)，至次日中午 12：30驾驶车辆驶出停车场(收费计时结束)，小李应交停车费多少元？ (2)由题意可得，10：05至22：00，共11小时55分， 22：00至第 (2)由题意可得，10：05至22：00，共11小时55分， 22：00至第二天7：00，收费10元， 7：00至12：30，共5小时30分， 4. 小李驾驶一辆小车到M市出差，将车停在了M市一个停车场里，该停车场收费标 准如下表： 时段 收费标准 备注 白天 停车 07时—22时(小车) 停车3小时以内(含3小时)5元/(辆•次)，超过3小时，每小时加收3元 可连续几天停车； 超过3小时时，不 足1小时的按1小时 计费 07时—22时(大车) 停车3小时以内(含3小时)10元/(辆•次)，超过3小时，每小时加收5元 夜间 停车 22时—07时(小车) 无论停车时间长短10元/(辆•次) 22时—07时(大车) 无论停车时间长短20元/(辆•次) B层 提升练 所以白天共用时11小时55分＋5小时30分＝17小时25分≈18小时。 将x＝18代入y＝3x－4，得y＝50。 10＋50＝60(元)。 所以小李应交停车费60元。 (2)如果小李是4月23日上午10：05驾车进入停车场(开始计时收费)，至次日中午 12：30驾驶车辆驶出停车场(收费计时结束)，小李应交停车费多少元？ (2)由题意可得，10：05至22：00，共11小时55分， 22：00至第 4. 小李驾驶一辆小车到M市出差，将车停在了M市一个停车场里，该停车场收费标 准如下表： 时段 收费标准 备注 白天 停车 07时—22时(小车) 停车3小时以内(含3小时)5元/(辆•次)，超过3小时，每小时加收3元 可连续几天停车； 超过3小时时，不 足1小时的按1小时 计费 07时—22时(大车) 停车3小时以内(含3小时)10元/(辆•次)，超过3小时，每小时加收5元 夜间 停车 22时—07时(小车) 无论停车时间长短10元/(辆•次) 22时—07时(大车) 无论停车时间长短20元/(辆•次) B层 提升练 5. 依法纳税是每个公民应尽的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规 定：公民每月工资、薪金收入不超过5 000元，不需交税；超过5 000元的部分 为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税， 详细的税率如下表： 级别 全月应纳税所得额 税率(％) 1 不超过3 000元的部分 3 2 超过3 000元至12 000元的部分 10 3 超过12 000元至25 000元的部分 20 … … … (1)某人7月的总收入为6 500元，他应交税款多少元？ 解：(1)某人7月的总收入为6 500元，应纳税的部分是6 500－5 000 ＝1 500(元)， 按税率表，他应交税款为1 500×3％＝45(元)。 解：(1)某人7月的总收入为6 500元，应纳税的部分是6 500－5 000＝1 500(元)， 按税率表，他应交税款为1 500×3％＝45(元)。 C层 拓展练 5. 依法纳税是每个公民应尽的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规 定：公民每月工资、薪金收入不超过5 000元，不需交税；超过5 000元的部分 为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税， 详细的税率如下表： 级别 全月应纳税所得额 税率(％) 1 不超过3 000元的部分 3 2 超过3 000元至12 000元的部分 10 3 超过12 000元至25 000元的部分 20 … … … (2)设x表示每月收入(单位：元)，y表示应交税款(单位：元)，当5 000＜x≤8 000 时，请写出y关于x的函数表达式； (2)当5 000＜x≤8 000时，应交税款y＝3％(x－5 000)＝0.03x－150。 所以当5 000＜x≤8 000时，y关于x的函数表达式为y＝0.03x－150。 (2)当5 000＜x≤8 000时，应交税款y＝3％(x－5 000)＝0.03x－150。 所以当5 000＜x≤8 000时，y关于x的函数表达式为y＝0.03x－150。 C层 拓展练 5. 依法纳税是每个公民应尽的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规 定：公民每月工资、薪金收入不超过5 000元，不需交税；超过5 000元的部分 为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税， 详细的税率如下表： 级别 全月应纳税所得额 税率(％) 1 不超过3 000元的部分 3 2 超过3 000元至12 000元的部分 10 3 超过12 000元至25 000元的部分 20 … … … (3)某公司普通职员8月应交税款84元，他该月的收入是多少元？ (3)若收入为8 000元，则应交税款为0.03×8 000－150＝90(元)。 因为84＜90，所以该职员的收入少于8 000元。 由题意，得84＝0.03x－150。解得x＝7 800。 答：他该月的收入是7 800元。 C层 拓展练 $