25.2.1 《降次——解一元二次方程》第1课时 教学课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦开平方法和配方法解一元二次方程，从解方程x²=4切入，利用平方根概念引入开平方法，通过分类讨论p的取值、换元思想扩展，再以x²+4x+8=0引出配方法，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以“降次”思想为主线，通过情境导入、分类讨论培养推理能力，配方法步骤规范（化1、移项、配方等）发展运算能力，典例精析含无解情况体现模型意识。课堂小结结构化，助力学生构建知识体系，教师可直接用实例提升教学效率。

第二十五章 · 一元二次方程 2.降次——解一元二次方程 第1课时 开平方法和配方法 人教版数学九年级上册 1.7.2013 同学们好!今天我们将继续探索一元二次方程的世界。上节课我们学习了什么是一元二次方程,那么这节课,我们将学习如何解开它的秘密——也就是如何解一元二次方程。我们将重点学习两种非常重要的方法:开平方法和配方法。让我们一起开始今天的数学之旅吧! ‹#› 教学目标 1. 掌握直接开平方法的算理，能求解形如的一元二次方程；理解配方法的原理，能规范运用配方法解数字系数的一元二次方程。【重点】。 2. 经历将一元二次方程 “降次” 转化为一元一次方程的探究过程，体会化归的数学思想，发展代数运算与逻辑推理能力。【重点】。 3. 经历推导求根公式的过程,体会从特殊到一般的数学思想,理解公式法与配方法的内在联系。【难点】。 01 情境导入——从最简单的方程开始 我们已经学习了一元二次方程的概念,那么如何解一元二次方程呢?我们先从一个最简单的方程开始探索。 解方程 思考一 可以利用平方根概念求解吗？ 思考二 4开平方等于多少？ 结论 因此, 方程 的解是: 或 。 1.7.2013 我们已经知道什么是一元二次方程了,那怎么解它呢?让我们从一个非常简单的方程 x² = 4 开始。大家思考一下,哪个数的平方等于4?没错,2的平方是4,那还有吗?对了,-2的平方也是4。所以这个方程有两个解,x等于2或者x等于-2。这个过程其实就用到了我们今天要学的第一种方法。 ‹#› 02 新知探究——开平方法 新知探究1:开平方法 这种利用平方根的定义直接开平方来解一元二次方程的方法,叫做开平方法。 一般形式 对于方程可以用直接开平方法求解。 重点提示 核心思想:" 降次" 开平方法的本质是利用平方根的定义,将一个一元二次方程" 降次" 为两个一元一次方程。 1.7.2013 刚才我们解 x² = 4 的方法,就是开平方法。它的定义很简单,就是利用平方根的意义来解方程。 对于一般形式 x² = p,我们都可以尝试用这种方法。 大家要记住,开平方法的核心思想就是"降次",把二次方程变成我们熟悉的一次方程来解。 ‹#› 02 新知探究——分类讨论 思考:方程 的解的情况与 的取值有何关系? p > 0 根据平方根的意义, 方程有两个不相等的实数根。 p = 0 方程有两个相等的实数根。 即 p < 0 因为对于任意实数 ,都有 。 所以, 此时方程 无实数根 1.7.2013 那么,是不是所有形如 x² = p 的方程都有解呢?这就要看p的取值了。我们分三种情况讨论:当p大于0时,方程有两个不相等的实数根;当p等于0时,方程有两个相等的实数根,都是0;当p小于0时,因为任何实数的平方都不可能是负数,所以方程没有实数根。这个分类讨论非常重要,请大家务必掌握。 ‹#› 02 新知探究——换元思想 问题 我们会解了,那么如何解方程呢? 换元思想 整体换元 把看成一个整体, 设。 转化求解 原方程变为,得。 回代还原 因为, 所以。 一元二次方程 两个一元一次方程 思考时刻 " 降次" 的体现 把未知数的次数由"二次"降低为"一次",我们称之为" 降次" 1.7.2013 我们已经会解 x² = p 了,那如果方程变成了 (x + 3)² = 5 这样的形式,该怎么办呢?这里我们可以用一个非常重要的数学思想——换元思想。我们把括号里的 x+3 看成一个整体,比如设它为y,方程就变成了 y² = 5,这就回到了我们熟悉的形式。解出y等于正负根号5,再把y换回x+3,就得到了两个一元一次方程。这个过程就是"降次"思想的完美体现。 ‹#› 应用开平方法解方程 (1) (2) 02 新知探究——新知应用 1.7.2013 理论学习完了,我们来看两个例题,巩固一下开平方法的应用。例1有两个小题,一个是标准形式的变形,另一个是含有括号的形式。请大家先自己尝试解一下,然后我们一起来分析。 ‹#› 例题详解 方程: 4x² - 3 = 0 解：（1）移项，得 系数化为1，得 开平方，得 ，即 所以, 原方程的解为: 核心步骤总结 1. 移项 将常数项移到等号右边。 2. 系数化为1 方程两边同时除以二次项系数。 3. 开平方 根据平方根的意义求解。 02 新知探究——新知应用 1.7.2013 我们来看第一小题,4x² - 3 = 0。首先,我们需要把它变成 x² = p 的形式。第一步,移项,把-3移到右边变成+3。第二步,系数化为1,两边同时除以4,得到x² = 3/4。第三步,开平方,x就等于正负根号下3/4,化简后就是正负二分之根号三。大家看,解题步骤非常清晰。 ‹#› 例题详解 方程: (x + 2)² - 9 = 0 解：（1）移项，得 开平方，得 ，即 即 或 核心步骤总结 1. 移项 将常数项移到等号右边。 2. 系数化为1 将括号内的整体看作一个未知数进行开平方。 3. 开平方 解得到的两个一元一次方程。 02 新知探究——新知应用 所以, 原方程的解为: 1.7.2013 我们来看第一小题,4x² - 3 = 0。首先,我们需要把它变成 x² = p 的形式。第一步,移项,把-3移到右边变成+3。第二步,系数化为1,两边同时除以4,得到x² = 3/4。第三步,开平方,x就等于正负根号下3/4,化简后就是正负二分之根号三。大家看,解题步骤非常清晰。 ‹#› 02 新知探究——开平方法的局限性 回顾我们已经掌握的开平方法, 思考它能否解决所有的一元二次方程。 回顾 我们已经学会了用开平方法解形如或的方程。 新问题 如何解方程: 思考 这个方程能直接用开平方法解吗?为什么? 不能, 因为方程的左边不是一个完全平方式。 我们可以把方程的左边转化成一个完全平方式, 这就是今天要学的—— 配方法 1.7.2013 开平方法虽然简单,但它有局限性,只能解一些特殊形式的方程。比如这个方程 x² + 6x + 4 = 0,它就不能直接用开平方法来解,因为左边不是一个完全平方式。那怎么办呢?我们能不能想办法把它变成我们能解的形式呢?答案是肯定的,这就是我们接下来要学习的配方法。 ‹#› 02 新知探究——配方法 回顾公式： 思考: 如何将配成完全平方？ 把看成，比较和，你有什么发现？ 总结发现 要把配成完全平方需加上。 注意：如果是等式，要在等式两边同时加；也可以在等式的一边，加的同时减去。 1.7.2013 刚才我们提到了配方的关键,大家一定要记住这个口诀:方程两边同时加上"一次项系数一半的平方"。比如刚才的例子,一次项系数是6,一半是3,平方是9,所以两边加9。为什么要两边同时加呢?这是为了保证等式仍然成立,这是我们解方程的根本依据。 ‹#› 02 新知探究——配方法 配方的关键 方程两边同时加上—— " 一次项系数一半的平方" 验证:以为例 一次项系数 6 取一半 6 ÷ 2 =3 平方 3² =9 ∴ 两边同时加上9 重点提示 为什么两边同时加? 依据—— 等式的基本性质 等式两边同时加上同一个数,等式仍然成立。 1.7.2013 刚才我们提到了配方的关键,大家一定要记住这个口诀:方程两边同时加上"一次项系数一半的平方"。比如刚才的例子,一次项系数是6,一半是3,平方是9,所以两边加9。为什么要两边同时加呢?这是为了保证等式仍然成立,这是我们解方程的根本依据。 ‹#› 02 新知探究——配方法 目标:将左边配成完全平方式 STEP 01 移项 将常数项移到等号右边,使左边只留下二次项和一次项。 STEP 02 配方 在等式两边同时加上一个常数,使左边成为完全平方式。 对于 ,需要加上。 STEP 03 变形 左边写成完全平方形式, 右边计算结果。 1.7.2013 那么如何配方呢?我们以 x² + 6x + 4 = 0 为例。第一步,移项,把常数项4移到右边,得到x² + 6x = -4。第二步,也是最关键的一步,配方。我们要在等式两边同时加上一个数,让左边变成完全平方式。这个数是多少呢?就是一次项系数6的一半的平方,也就是3的平方,等于9。所以两边同时加9。第三步,变形,左边就变成了(x+3)²,右边是5。看,我们成功地把它变成了可以用开平方法解的形式! ‹#› 02 新知探究——概念形成 概念定义: 配方法 像上面那样, 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法, 叫做配方法。 本质 配方法的本质是通过配方,将一个一元二次方程转化为的形式,从而运用开平方法来求解。 它体现了转化和降次的数学思想。 核心 配方法的核心是" 转化" 思想。 目的 配方法的目的是为了" 降次"。 方法 配方法是解一元二次方程的通用方法。 1.7.2013 现在我们可以给配方法下一个正式的定义了:通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,就叫做配方法。大家要理解,配方法的本质其实就是一种转化思想,它把一个我们不会解的一般形式的方程,转化成了我们会解的特殊形式的方程,从而实现降次。这是一种非常重要且通用的方法。 ‹#› 03 典例精析 例题解析 · 解下列方程: 01 02 03 1.7.2013 理论讲完了,我们来看例2,这三个方程分别代表了配方法应用的三种不同情况。第一个是二次项系数为1的情况,第二个是二次项系数不为1的情况,第三个是没有实数根的情况。我们一个一个来分析。 ‹#› 例题详解 方程: 解：（1）移项，得 配方，得 由此可得 . 03 典例精析 1.7.2013 我们来看第一小题,4x² - 3 = 0。首先,我们需要把它变成 x² = p 的形式。第一步,移项,把-3移到右边变成+3。第二步,系数化为1,两边同时除以4,得到x² = 3/4。第三步,开平方,x就等于正负根号下3/4,化简后就是正负二分之根号三。大家看,解题步骤非常清晰。 ‹#› 例题详解 方程: 解：（1）移项，得 配方，得 由此可得 . 03 典例精析 化系数为1，得 1.7.2013 我们来看第一小题,4x² - 3 = 0。首先,我们需要把它变成 x² = p 的形式。第一步,移项,把-3移到右边变成+3。第二步,系数化为1,两边同时除以4,得到x² = 3/4。第三步,开平方,x就等于正负根号下3/4,化简后就是正负二分之根号三。大家看,解题步骤非常清晰。 ‹#› 例题详解 方程: 解：（1）移项，得 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以取任何实数时，2 都是非负数，因此原方程没有实数根。 03 典例精析 化系数为1，得 1.7.2013 我们来看第一小题,4x² - 3 = 0。首先,我们需要把它变成 x² = p 的形式。第一步,移项,把-3移到右边变成+3。第二步,系数化为1,两边同时除以4,得到x² = 3/4。第三步,开平方,x就等于正负根号下3/4,化简后就是正负二分之根号三。大家看,解题步骤非常清晰。 ‹#› 03 典例精析——配方法步骤总结 用配方法解一元二次方程的一般步骤: STEP 01 化1 将二次项系数化为1(方程两边同时除以)。 STEP 02 移项 将常数项移到方程右边。 STEP 03 配方 方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 STEP 04 变形与求解 将方程左边写成完全平方的形式, 右边合并同类项。 若右边非负, 用开平方法求解;若为负, 则方程无实数根。 1.7.2013 通过刚才的例题,我们来总结一下用配方法解一元二次方程的一般步骤。第一步,化1,把二次项系数变成1。第二步,移项,把常数项移到右边。第三步,配方,两边同时加上一次项系数一半的平方。第四步,变形并求解,把左边写成完全平方形式,然后根据右边的符号判断方程是否有解,并求解。这四个步骤大家一定要牢记。 ‹#› 04 随堂练习 练习1: 解下列方程: 1 2 3 4 5 6 1.7.2013 好了,理论和例题都讲完了,现在是大家大显身手的时候了。这里有六道练习题,请大家用我们刚刚学的开平方法来解一下。注意观察每道题的形式,看看需要怎样变形才能用开平方法。给大家几分钟时间,稍后我们一起对答案。 ‹#› 04 随堂练习 练习2: 用配方法解下列方程: 01 02 03 04 无实数根 1.7.2013 配方法的步骤大家都记住了吗?现在我们来做几道练习题巩固一下。这里有四道题,涵盖了配方法的各种情况,请大家用配方法来解一下。注意解题步骤要规范,特别是配方的那一步。 ‹#› 05 课堂小结 本节课我们学习了什么? 重点 掌握开平方法和配方法的解题步骤。 理解配方法的核心思想是" 转化"。 难点 正确进行配方,特别是当二次项系数不为1时。 理解方程两边为何加" 一次项系数一半的平方"。 解题关键 开平方法 观察方程是否为的形式。 配方法 严格按" 化1、移项、配方、变形、求解" 的步骤进行。 1.7.2013 本节课的重点是掌握两种方法的解题步骤,特别是配方法。难点在于正确地进行配方,尤其是当二次项系数不是1的时候。 解题的关键在于,拿到一个方程后,先观察它的形式,如果是特殊形式,就用开平方法;如果是一般形式,就用配方法。 ‹#› 05 课堂小结 一元二次方程的解法回顾 01 开平方法 适用形式: 核心: 利用平方根的意义,实现" 降次"。 关键: 注意 或 的取值范围。 02 配方法 适用范围: 任何一元二次方程。 核心思想: 通过配方,将一般形式转化为 的形式。 关键步骤: 化1、移项、配方、变形、求解 03 数学思想 降次 将二次方程转化为一次方程。 转化 将未知问题转化为已知问题。 1.7.2013 好了,今天我们学习了两种解一元二次方程的方法。我们来回顾一下。开平方法适用于特殊形式的方程,核心是利用平方根的意义降次。配方法适用于所有一元二次方程,核心思想是转化,通过配方把一般形式变成特殊形式。这两种方法都体现了"降次"和"转化"的重要数学思想。 ‹#› 06 课后巩固 基础题 1. 用开平方法解下列方程: ( 2. 用配方法解下列方程: 提高题 用配方法解下列方程: 思考题 请尝试用配方法证明:无论 取何实数,代数式 的值恒大于零。 1.7.2013 为了巩固今天所学的知识,我给大家布置一些课后作业。基础题要求大家熟练掌握两种方法的基本应用。提高题则需要大家处理二次项系数不为1的情况。思考题是一个证明题,需要大家运用配方法来解决,希望大家能认真思考。 ‹#› 感谢聆听! 数学的魅力在于化繁为简,希望同学们能掌握" 降次" 的思想, 在数学的世界里不断探索! 1.7.2013 今天的课就到这里。数学的魅力就在于能够把复杂的问题变得简单,希望通过今天的学习,大家能够掌握"降次"这个强大的思想工具,在数学的世界里继续探索,发现更多的乐趣。感谢大家的聆听! ‹#› $