4.2 指数函数题型总结讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

该高中数学指数函数单元复习讲义通过知识梳理构建系统体系，以表格形式对比不同底数指数函数的定义域、值域、单调性等性质，结合“特别提醒”标注定义中系数为1、底数范围等关键要点，清晰呈现知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于题型训练覆盖全面，从定义辨析、图像识别到复合函数综合应用，如“过定点问题”通过令指数为0求坐标培养数学思维，“单调性与解不等式”强化逻辑推理能力。基础题巩固概念，综合题提升能力，助力分层教学，为教师精准复习提供有效支持。

4.2指数函数 ● 知识梳理 一、指数函数的定义 一般地，函数y=aa>0且a≠1叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 特别提醒： 1.a的系数为1； 2.底数a是大于0且不等于1的常数. 二、指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 y=a' /y=a 图象 0.2. 01 -…y=1 定义域 R 值域 (0,+0∞] 过定点(0,1)，即x=0时，y=1: 性质 (2)减函数 (2)增函数 特别提醒：当a>0且a≠1时，函数y=a与y= 的图象关于y轴对称. 三、底数对指数函数图象的影响 底数对指数函数图象的影响：当a>1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快； 当0<a<1时，a值越小，图象向下越靠近x轴，递减速度越快 设y=a1口，y=a2口，y=a3口，y=a4口的图象，则必有a1>a2>1>a3>a4>0. 底数 C 题型训练 题型一指数函数的定义 1.若f(x)=(a2-3a+3)a是指数函数，则a=? 2.下列函数：①y=23;②y=3+1；③y=3:④y=x,其中，指数函数的个数是 () A.0 B.1 C.2D.3 题型二图像问题 1.如图是指数函数①y=a,②y=b,③y=c,④y=d的图象，则a,b,c,d与 1的大小关系为() A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 2.已知1>n>m>0,则指数函数①y=m',②y=n'的图象为() ② ① ①② ①② 0 题型三y=a”(a>0且a≠1)过定点(0,1) 1.函数f(x=a+1(a>0且a≠1)恒过定点为？ 2.函数f(x=a-1+4(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,则P点坐标是？ 3.函数f(x)=a2-1(a>0且a≠1)的图像必经过定点(m,n),则2m+n=? 4.函数y=22+7的图象恒过定点P,且点P在幂函数fx)的图象上，则f(3)=? 题型四指数函数单调性与奇偶性 1.指数函数f(x)=(a2-5a-5)a在定义域内为增函数，求a的值. 2.若函数y=(1-2a是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为() A.2,+∞)B.〔-o0,0) C.(-0,2) D.（2,2) 3.已知指数函数f(x)=(2a-1,且f(3)<f(2),则实数a的取值范围是？ 题型五比大小 1.比较题中两个值的大小：318和325. 2.已知a=2,b=22,c=(2,则下列关系式中正确的是() A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.c>a>b 3.若22x+1<1,则x的取值范围是() A.〔o,-)B.2,+o)C.(0,1)D.,-1 4.比较下列各题中两个值的大小： (1)23,22；(2)0.33,0.23；(3)43,0.34. 5.已知a=24,b=0.42,c=0.406,则() A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 6.已知a=2.58,b=2.5°，c=2.508,则a,b,c的大小关系是() A.a>c>b B.c>a>b C.b>a>c D.a>b>c 7设y=4,=80,y=(2,则() A.y1>y3>y2B.y2>y1>y3C.y3>y1>y2D.y1>y2>y3 8.若设a=0.3°3，b=0.32,c=23,则a,b,c从大到小排列为() A.c>a>bB.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 题型六解不等式 1.若a2x+1>a-1(a>1),则实数x的取值范围是() A.(0,1) B.(2,+o)C.(0,1)D.无法确定 2.不等式2的解集为(） A.(-o0,2)B.(-o0,3)C.(2,+00)D.(3,+o0) 3.不等式33<兮“的解集是（) A.〔-∞，1)B.(1,+0)C.（-1,4)D.(4,+o) 4.若3*1>9，则x的取值范围是() A.(3,+o0)B.(-0,2)C.-o0,-1)D.[2,+o0) 5.若32x+1-1<0,则x的取值范围是？ 6.不等式2-<4的解集为？ 题型七含参问题 1.f(x)=a(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a? 2.指数函数y=a(a>0且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是最小值的2倍，则a() A防成号 B.2 3 G. D.无法确定 3.函数y=a(a>0且a1)在1,2]上的最大值比最小值大号，则a? 题型八复合函数 1.已知函数y=2-6x*17 (1)求函数的定义域、值域： (2)确定函数的单调性. 2已知函数y=(号-”，求其单调区间。 答案 题型训练 题型一指数函数的定义 1.若f(x)=(a2-3a+3)a是指数函数，则a=? ·答案：a=2 ·详解：根据指数函数定义，系数为1且底数a>0且a≠1。 列方程a-3a+3=1,解得a=1或a=2。因a≠1，故a=2。 2.下列函数：①y=23:②y=3+1;③y=3;④y=x,其中，指数函数的个数是 () A.0 B.1 C.2D.3 ·答案：B 。详解：指数函数需满足“a系数为1、底数为正且不为1、指数是自变量x”。 ①系数为2≠1，②指数是x+1不是x,③是指数函数，④是幂函数，故个数为1。 题型二图像问题 1.如图是指数函数①y=a,②y=b,③y=c,④y=d*的图象，则a,b,c,d与 1的大小关系为() A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c ·答案：B ·详解：过x=1作平行于y轴的直线，与图象交点的纵坐标即为底数大小（指数函 数x=1时y=a)。结合图象，交点纵坐标满足b<a<1<d<c,故底数关系为 b<a<1<d<c。 2.已知1>n>m>0,则指数函数①y=m',②y=n的图象为（) ②① ②① ·答案：C ·详解：0<m<n<1,指数函数为减函数，且底数越大，图象在x>0时越靠上，故 C为答案。 题型三y=a(a>0且a≠1)过定点(0,1) 1.函数f(x)=a+1(a>0且a≠1)恒过定点为？ 。答案：（-1,1) 。详解：令指数x+1=0,得x=-1,此时f(-1)=a°=1，与a无关，故定点为 （-1,1)。 2.函数f(x)=a-1+4(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,则P点坐标是？ ·答案：(1,5) ·详解：令x-1=0,得x=1,f(1)=a°+4=1+4=5，故定点P(1,5)。 3.函数f(x)=a2-1(a>0且a≠1)的图像必经过定点(m,n),则2m+n=? ·答案：4 ·详解：令x-2=0,得x=2,f(2)=a°-1=0，则图像必经过定点(2,0) 故m=2,n=0,所以2m+n=4。 4.函数y=2-2+7的图象恒过定点P,且点P在幂函数f(x)的图象上，则f(3)=? ·答案：27 。详解：y=2-2+7的定点：令x-2=0,得x=2,y=1+7=8,即P(2,8。 设幂函数f(x)=x,代入P(2,8)得2°=8，解得a=3,故f(x)=x3 所以f(3)=33=27 题型四指数函数单调性与奇偶性 1.指数函数fx)=(a-5a-5)a在定义域内为增函数，求a的值. ●答案：a=6 ·详解：先满足指数函数定义，a-5a-5=1,解得a=6或a=-1。又因指数函数 是增函数时需a>1,故a=6 2.若函数y=(1-2a)是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为() A.(2,+00)B.（-o0,0)C.(-0,2) D.(-2,2) 。答案：B ·详解：指数函数增函数需底数>1，列不等式1-2a>1,解得a<0,故取值范围 为(0,0)。 3.已知指数函数f(x)=(2a-1)',且f(3)<f(2),则实数a的取值范围是？ ·答案：<a<1 。详解：由f3)<f2知函数为减函数，故底数满足0<2a-1<1,解得<a<1。 题型五比大小 1.比较题中两个值的大小：318和325. ·答案：318>325 ·详解：底数3>1，指数函数f(x)=3为增函数，因-1.8>-2.5，故318>325。 2已知a=2”,b=2,c=(,则下列关系式中正确的是（) A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.c>a>b ·答案：A 。详解：c=1=2,底数2>1，fx)=2为增函数，因0.3>0.2>-0.1，故 a>b>c。 3.若22x+1<1,则x的取值范围是（) A∞，-)B.2+∞)C.(0,1) 1 D.（00,-1) ●答案：A 。详解：1=2°，即22x+1<2°， 因底数2>1，所以fx=2增函数，故2x+1<0,解得x<- 4.比较下列各题中两个值的大小： (1)23,22；(2)0.33,0.23:(3)43,0.34 。答案：〔1)23>22：(2)0.33<0.23：(3)403>0.34 ·详解：〔1)底数2>1，增函数，03>0.2，故前者大： (2)在(-∞，0)时指数函数f(x)=0.3图像在f(x)=0.2图像下方，故前者小： (3)43>4°=1,0.34<0.3°=1，故前者大。 5.已知a=24,b=0.42,c=0.46,则（) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a ·答案：A ·详解：a=24>1,b、c底数0.4<1，减函数，0.2<0.6，故b>c,综上a>b>c. 6.已知a=2.58,b=2.5°，c=2.508,则a,b,c的大小关系是（) A.a>c>b B.c>a>b C.b>a>c D.a>b>c ·答案：D ·详解：底数2.5>1，增函数，0.8>0>-0.8，故a>b>c。 7.设y=4,=8,y=(号5，则() A.y1>y3>y2B.y2>y1>y3C.y3>y1>y2D.y1>y2>y3 ●答案：A 。详解：统一底数为2：y1=28,y2=2“,y3=25,底数2>1，增函数， 1.8>1.5>1.44,故y1>y3>y2。 8.若设a=0.33,b=0.32,c=23,则a,b,c从大到小排列为() A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c ·答案：A 。详解：c=23>1,a、b底数0.3<1，减函数，0.3<2，故a>b,综上c>a>b。 题型六解不等式 1若a2+1>a-1(a>1),则实数x的取值范围是() A.(0,1 B.(2,+o)C.(0,1)D.无法确定 ·答案：B 。详解：a>1时，增函数，2x+1>x-1得x>-2;选B。 2.不等式2-的解集为《) A.(-o0,2)B.(-0,3)C.(2,+0o)D.(3,+0) 。答案：B 。详解：年22，则2>23，底数2>1，增函数，故1-x-2,解得X<3,解集为 (00,3)。 3不等式3x-3<}“的解集是（) A.〔-0,1) B.(1,+o)C.（-1,4)D.(4,+o) 。答案：C 。详解：(1-3则32<3，底数3>1，增函数。 故x2-2x-3<-x-1,解得-1<x<4。 4.若3-1>9，则x的取值范围是() A.(3,+o)B.(-00,2)C.(-0,-1)D.[2,+00) ·答案：A 。详解：9=32，底数3>1，增函数，故x-1>2,解得x>3。 5.若32x+1-1<0,则x的取值范围是？ 。答案：X<号 。详解：移项得321<1=3，底数3>1，增函数，故2x+1<0,解得X<-2 6.不等式2-x<4的解集为？ 。答案：(-1,2) ·详解：4=22，底数2>1，增函数，故x2-x<2,解得-1<x<2。 题型七含参问题 1.f(x)=a(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a? ·答案：a=2 ·详解：指数函数在区间上单调，最值在端点。 当a>1时，a2+a=6; 当0<a<1时，a+a2=6, 均解得a=2或a=-3,因a>0故a=2。 2.指数函数y=a(a>0且a≠1)在区间-1,1]上的最大值是最小值的2倍，则a() A.9欧要 B.2 2 C.2 D.无法确定 ●答案：A ·详解：a>1时，增函数，则最大值a,最小值a1,a=2a1得a=2: V2 2 0<a<1时，减函数，则最大值a,最小值0，Q=2a得a=),故a=2或7。 3.函数y=a(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大号，则a? 。答案：a-号或0-号 1 2得as3 。详解：a>1时，增函数，a2-a= 0<a<1时，减函数，ad=得a=之，均符合条件. 题型八复合函数 1.己知函数y=2-6x+17 (1)求函数的定义域、值域： (2)确定函数的单调性。 ·答案：(1)定义域R,值域2°，+o)=[256,+o):(2)减区间（∞，3]，增区间[3，+∞ 。详解：(1)定义域：x-6x+17为二次函数，定义域R;令t=x2-6x+17= x-3+8,y=2增函数，故值域2，+o)。 (2)t=(x-32+8减区间(-∞，3]、增区间3，+∞)，y=2增函数，复合函数“同增异 减”，故原函数减区间（∞，3]，增区间[3，+o): 2已知函数y=(-2”,求其单调区间. ·答案：增区间(，1]，减区间[1，+o):值域(0,2] ·详解：令t=X-2x=x-1-1,y=(减函数。 单调区间：复合函数“同增异减”，t减区间（∞，1]就是原函数增区间，t增区间[1， +o)就是原函数减区间。