第3章 3.2 整式的加减 同步讲义 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

本讲义聚焦“整式的加减”核心知识点，系统梳理同类项的概念、合并同类项的法则、去括号与添括号的规律，以及整式加减的运算步骤和化简求值的方法，构建从概念理解到运算应用的完整学习支架。 资料以题型为单元，每个题型包含“解题知识”明确原理、“典例+变式”巩固应用，培养学生抽象能力（如同类项判断）和运算能力（如合并同类项）。过关验收融入几何图形等实际问题，提升模型意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第3章 3.2 整式的加减 内 容 导 航 题型1 同类项 题型2 合并同类项 题型3 去括号与添括号 题型4 整式的加减 题型5 整式的加减—化简求值 考 点 演 练 题型1 同类项 解｜题｜知｜识 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 【典例1】下列说法中正确的是（　　） A．是单项式 B．﹣2πx的系数是﹣2 C．2xy+（x﹣1）是二次二项式 D．3x2y与是同类项 【变式1】如果单项式﹣xa+1y3与8ybx2是同类项，那么a，b的值分别为（　　） A．2，3 B．1，2 C．2，2 D．1，3 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．多项式2x3﹣4x﹣3的常数项是3 B．的次数是6 C．﹣4x2y的系数是﹣4 D．1与不是同类项 【变式3】多项式3xm+4y4与单项式x3yn是同类项，则mn的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4 题型2 合并同类项 解｜题｜知｜识 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 【典例1】下列计算中正确的是（　　） A．2+3a＝5a B．7x﹣6x＝1 C．2m+m＝2m2 D．﹣a2b+2ba2＝a2b 【变式1】若单项式﹣2a2b与某个单项式合并同类项后结果为﹣7a2b，则这个单项式是（　　） A．﹣5a2b B．﹣5 C．﹣9ab2 D． 【变式2】下列说法： ①若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或﹣1； ②若2a2与3ax+1的和是单项式，则x＝1； ③若|x|＝|﹣7|，则x＝﹣7； ④若a、b互为相反数，则a、b的商为﹣1． 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】下列式子变形正确的是（　　） A．﹣（m+2）＝﹣m+2 B．3m﹣6m＝﹣3m C．2（a+b）＝2a+b D．π﹣3＝3﹣π 题型3 去括号与添括号 解｜题｜知｜识 （1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． （2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． （3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 添括号与去括号可互相检验． 【典例1】去括号等于a﹣b+c的是（　　） A．a﹣（b+c） B．a﹣（b﹣c） C．a+（b﹣c） D．a+（b+c） 【变式1】下列去括号正确的是（　　） A．a﹣（b+c）＝a﹣b+c B．a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c C．x+2（y﹣z）＝x+2y+2z D．x﹣2（y﹣z）＝x﹣2y+z 【变式2】下列关系式与此线段图不相符的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】下列去括号或添括号正确的是（　　） A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+c B．a﹣2（b﹣c）＝a﹣2b+2c C．﹣3b+2c﹣d＝﹣（3b+2c﹣d） D．2x﹣x2+y2＝2x+（﹣x2﹣y2） 题型4 整式的加减 解｜题｜知｜识 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 【典例1】若关于x的多项式﹣10x2+3x﹣1与2x3+2ax2﹣2x的和不含二次项，则a的值为（　　） A．4 B．﹣5 C．5 D．﹣4 【变式1】已知a＝2b﹣1，下列式子：a+2＝2b+1；；3a＝6b﹣1；a﹣2b﹣1＝0．其中一定成立的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图①所示，在一个边长为a的正方形纸片上剪去两个小长方形，得到一个如图②的图案，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的周长可表示为（　　） A．2a﹣3b B．2a﹣4b C．4a﹣10b D．4a﹣8b 【变式3】如图所示的一个大长方形，它被分割成4个大小不同的正方形①，②，③，④和一个长方形⑤，正方形①，②，③，④的周长分别为C1，C2，C3，C4，长方形⑤的周长为C5，整个大长方形的周长为C，则下列关系式不正确的是（　　） A．C1+C2＝C3 B．C＝2C5 C．C1+2C2＝C4 D．C1+C2+C5＝C 题型5 整式的加减—化简求值 解｜题｜知｜识 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 【典例1】如果x﹣3y＝2，那么代数式x﹣3y﹣3（y﹣x）﹣2（x+1）的值为　 　 ． 【变式1】已知代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x的取值无关，则代数式的值为　 　 ． 【变式2】计算： （1）； （2）6÷（﹣3）×（2﹣4）﹣（﹣1）2； （3）化简求值：，其中； （4）已知：A＝2a2﹣3ab﹣5a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，求2A﹣3B． 【变式3】（1）化简：3a+2b﹣（5a﹣b）； （2）先化简，再求值：（3x2y﹣xy2）﹣3（x2y﹣2xy2），其中x＝﹣4，y＝2． 过 关 验 收 1．关于整式的概念，下列说法正确的是（　　） A．3与a是单项式 B．a3与a2是同类项 C．不是多项式 D．﹣xy2+xy﹣7是五次三项式 2．若与是同类项，则x，y的值是（　　） A． B． C． D． 3．已知xym与xn+2y3是同类项，则m+n＝　 　 ． 4．在下列五个说法中： ①100个有理数相乘，其中负数只有13个，那么所得的积为负数； ②若单项式2a3bm+1与3anb3是同类项，则（﹣m）n＝﹣8； ③若x+y＝0，则； ④已知有理数a，b满足ab≠0，且|a﹣b|＝4a﹣3b，则的值为或； ⑤适合|2a+3|+|2a﹣17|＝20的整数a的值有10个 正确的是　 　 ．（只填序号） 5．如果单项式﹣xyb+2与是同类项，那么（a﹣b）2023＝　 　 ． 6．下列计算结果正确的是（　　） A．4x2﹣2x2＝2 B．2x+3y＝5xy C．7x2y﹣7yx2＝0 D．2x+4x＝6x2 7．已知单项式﹣25x3ym与3xny2的和是单项式，那么（﹣m）n的值是（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 8．下列运算中，正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．x3﹣x2＝x C．﹣7ab2+5ab2＝2ab2 D．3xy2﹣5y2x＝﹣2xy2 9．若单项式3a4bn+2与单项式5am﹣1b2n+3的和仍然是单项式，则m+n＝　 　 ． 10．已知单项式4x2ym与﹣3xny3的和仍是一个单项式，那么m﹣n＝　 　 ． 11．如果单项式3xm+6y2与x3yn可以合并，那么（m+n）2025＝　 　 ． 12．合并同类项： （1）； （2）2x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣2x2+5xy+1． 13．5a﹣4a＝1．（　 　 ）（判断对错） 14．下列各式由等号左边变到右边变错的有（　　） ①a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c ②（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+y2 ③﹣（a+b）﹣（﹣x+y）＝﹣a+b+x﹣y ④﹣3（x﹣y）+（a﹣b）＝﹣3x﹣3y+a﹣b． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（　　） A．3a﹣b2 B．3（a﹣b） C．（3a﹣b） D．（3a﹣b）2 16．若2x2﹣3x﹣1与关于x的二项式ax2+bx的和与x无关，则ab＝（　　） A．8 B．﹣8 C．9 D．﹣9 17．老师给出一个三位数，让同学们将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数．甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为275，495，576，681，老师判定4个结果中有且只有一个正确，则四位同学中答对的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 18．有一道题是一个多项式减去x2+1，小强误当成加法计算，结果得到x2+14x﹣6，正确的结果应该是（　　） A．14x﹣7 B．x2+14x﹣6 C．﹣x2+14x﹣8 D．﹣x2+14x﹣6 19．对于4个关于x的一次二项式：4x+6，3x﹣3，2x﹣2，5x+5，我们定义：取其中任意两个作差，再与剩余两个多项式的差相减，其结果称为“淬炼结果”，例如：4x+6﹣（3x﹣3）＝x+9，5x+5﹣（2x﹣2）＝3x+7，x+9﹣（3x+7）＝﹣2x+2，则多项式﹣2x+2便是一个“淬炼结果”．则下列结论中： ①存在一种“淬炼结果”为2x﹣2； ②x为任意整数时，所有“淬炼结果”的值都能被2整除； ③共有6种不同的“淬炼结果”． 正确的有（　　） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 20．军军在计算中把3（a+5）错写成了3（a+8），计算结果比原来（　　） A．增加了3 B．减少了3 C．增加了9 D．减少了9 21．如图，在边长为8的正方形ABCD中，放入两张大小相同的正方形纸片，分别是正方形EFGH和正方形IJKD．其中正方形纸片EFGH的边EF在线段AB上，正方形LKD的两边KD，ID分别在线段CD，线段AD上．若区域①的周长比区域②与区域③的周长之和还大2，则正方形纸片的边长EF为 　 　 ． 22．七年级某班有（3a﹣b）个男生和（2a+b）个女生，则男生比女生多　 　 人． 23．两个多项式相加的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式互为“关联多项式”．若多项式A、B、C互为“关联多项式”，且A＝5x2﹣3x，B＝﹣3x2+2x，C＝ax2+bx，则a+b的值为　 　 ． 24．嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，她规定：每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等．则图1中“◇”＝　1　 ．图2中“☆”＝　 　 ． 25．一个四位自然数M，记作，若a+c＝b+d＝11，则称M为“双11数”．例如：四位数4279，∵4+7＝2+9＝11，∴4279是“双11数”；若M是一个“双11数”，设，且是整数，则满足条件的M的最小值是　 ． 26．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤： 第一步，A同学拿出四张扑克牌给B同学； 第二步，C同学拿出二张扑克牌给B同学； 第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学． 请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为　 张． 27．化简：已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小明错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果C＝4a2b﹣3ab2+4abc． （1）计算B的表达式； （2）小强说正确结果的大小与c的取值无关，对吗？请说明理由． 28．定义：一个正整数x＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若ma﹣b＝mc﹣d，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，5923：2×5﹣9＝2×2﹣3，则称5923为“2倍数”；1940：﹣3×1﹣9＝﹣3×4﹣0，则称1940为“﹣3倍数”；2548：4﹣8．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”． （1）直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值； （2）若一个三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； （3）若一个四位数x为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为y（即10a+b），十位数字和个位数字组成的两位数记为z（即10c+d）．若为整数，求这个四位数； （4）若一个四位数x为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，x+6为“﹣4倍数”，直接写出满足条件的x的最大值． 29．定义新运算“*”，规定M*N＝M﹣2N，请按要求完成下列问题： （1）若M＝3x2﹣2xy﹣y，N＝x2﹣xy﹣3，化简M*N； （2）若（x+2）2+|y﹣1|＝0，求第（1）问中M*N的值． 30．已知A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2． （1）求； （2）若2A﹣3B+C＝0，求C的表达式． 31．阅读下列材料，解决问题： 三位数的“衍生数”一个三位正整数x，它的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若从x的三个数位上的数字中任选两个组成一个新的两位数，我们称这样的两位数为x的“衍生数”．如654，任选其中两个数字组成的所有两位数分别是：65，64，56，54，46，45．它们都是654的“衍生数”. （1）写出135所有的“衍生数”：　 　 ； （2）一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若它的百位数字为7，十位数字为3，个位数字为a，则用含a的代数式表示这个三位数所有“衍生数”的和为 　 　 ； （3）一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，假设它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，请说明它的所有“衍生数”的和能被22整除． 32．阅读材料： 若数对（a，b）是使得b＝10﹣3a成立的一对数或整式，则数对（a，b）为和谐数对．例如数对（1，7），因为10﹣3×1＝7．所以数对（1，7）是和谐数对． 解决问题： （1）下列数对：①（3，1），②（﹣6，18），③（5，﹣5）中，是和谐数对的有　 　 ；（填序号） （2）数对（2m﹣1，﹣6m﹣13）是和谐数对吗？请判断并说明理由； （3）已知数对（a2﹣2ab+1，M）是和谐数对，求M． 33．小红做一道数学题：“两个多项式A，B，已知B为4x2﹣5x﹣6，试求A﹣B的值”时．小红误将A﹣B看成A+B，结果答案为﹣7x2+10x+12（计算过程正确）． （1）试求A﹣B的正确结果； （2）当x＝﹣4时，求A﹣B的值． 34．我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如：因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”． （1）判断下列数对是否是“积差等数对”： ①　 （填“是”或者“否”）； ②（2，1）　 （填“是”或者“否”）． （2）若数对（a，b）是“积差等数对”，求代数式4[3ab﹣a﹣2（ab﹣2）]+4b的值． 35．先化简，再求值：3m2﹣[5m﹣2（2m﹣3）+4m2]，其中m＝﹣4． 36．先化简，再求值：2x2﹣[2xy﹣3y2+2（x2+xy）]，其中|x+1|+（y﹣2）2＝0． 37．（1）计算：． （2）先化简，再求值：2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中（x+1）2+|y﹣2|＝0． 38．阅读材料． “整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛，如下是老师安排的作业题． 代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x﹣3的值为　 　 ． 小明在做作业时采用的方法如下：因为x2+x+3＝7，所以x2+x＝4，所以2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5，所以代数式2x2+2x﹣3的值为5．参考小明的做法解决下列问题： （1）代数式x2+x+3的值为7，则代数式3x2+3x﹣3的值为　 　 ； （2）代数式x2+x+1的值为15，则代数式﹣2x2﹣2x+3的值为　 　 ； （3）若3m﹣4n＝﹣3，mn＝1，求6（m﹣n）﹣2（n﹣mn）的值． 39．如果﹣0.5mxn3与5mnx﹣y是同类项，求的值． 40．先化简，再求值：a2﹣（2a+3a2）+2（3a+a2+1），其中a是相反数等于它本身的数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 3.2 整式的加减 内 容 导 航 题型1 同类项 题型2 合并同类项 题型3 去括号与添括号 题型4 整式的加减 题型5 整式的加减—化简求值 考 点 演 练 题型1 同类项 解｜题｜知｜识 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 【典例1】下列说法中正确的是（　　） A．是单项式 B．﹣2πx的系数是﹣2 C．2xy+（x﹣1）是二次二项式 D．3x2y与是同类项 【答案】D 【解答】解：A、是多项式，故A不符合题意； B、﹣2πx的系数是﹣2π，故B不符合题意； C、2xy+（x﹣1）是二次三项式，故C不符合题意； D、3x2y与是同类项，故D符合题意； 故选：D． 【变式1】如果单项式﹣xa+1y3与8ybx2是同类项，那么a，b的值分别为（　　） A．2，3 B．1，2 C．2，2 D．1，3 【答案】D． 【解答】解：由同类项的定义可知a+1＝2，b＝3， 解得a＝1，b＝3． 故选：D． 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．多项式2x3﹣4x﹣3的常数项是3 B．的次数是6 C．﹣4x2y的系数是﹣4 D．1与不是同类项 【答案】C 【解答】解：A、多项式2x3﹣4x﹣3的常数项是﹣3，故选项不符合题意； B、的次数是5，故此选项不符合题意； C、﹣4x2y的系数是﹣4，故此选项符合题意； D、1和是常数，是同类项，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式3】多项式3xm+4y4与单项式x3yn是同类项，则mn的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4 【答案】B． 【解答】解：由同类项的定义可知m+4＝3，n＝4， 解得m＝﹣1，n＝4， ∴mn＝（﹣1）4＝1． 故选：B． 题型2 合并同类项 解｜题｜知｜识 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 【典例1】下列计算中正确的是（　　） A．2+3a＝5a B．7x﹣6x＝1 C．2m+m＝2m2 D．﹣a2b+2ba2＝a2b 【答案】D 【解答】解：A．2与3a不是同类项，不能合并，不符合题意； B．7x﹣6x＝x，选项计算错误，不符合题意； C．2m+m＝3m，选项计算错误，不符合题意； D．﹣a2b+2ba2＝a2b，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】若单项式﹣2a2b与某个单项式合并同类项后结果为﹣7a2b，则这个单项式是（　　） A．﹣5a2b B．﹣5 C．﹣9ab2 D． 【答案】A 【解答】解：A．﹣2a2b与﹣5a2b是同类项，﹣2a2b+（﹣5a2b）＝﹣7a2b，选项A符合题意； B．﹣2a2b与﹣5不是同类项，不能合并，选项B不符合题意； C．﹣2a2b与﹣9ab2不是同类项，不能合并，选项C不符合题意； D．﹣2a2b与不是同类项，不能合并，选项D不符合题意； 故选：A． 【变式2】下列说法： ①若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或﹣1； ②若2a2与3ax+1的和是单项式，则x＝1； ③若|x|＝|﹣7|，则x＝﹣7； ④若a、b互为相反数，则a、b的商为﹣1． 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：①若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1或﹣1，说法正确； ②若2a2与3ax+1的和是单项式，则x＝1，说法正确； ③若|x|＝|﹣7|，则x＝±7，故原说法错误； ④若a、b互为相反数，则a、b的商为﹣1，说法错误，0的相反数是0． 所以其中正确有①②共2个． 故选：B． 【变式3】下列式子变形正确的是（　　） A．﹣（m+2）＝﹣m+2 B．3m﹣6m＝﹣3m C．2（a+b）＝2a+b D．π﹣3＝3﹣π 【答案】B 【解答】解：A．﹣（m+2）＝﹣m﹣2，故本选项错误； B.3m﹣6m＝﹣3m，正确； C.2（a+b）＝2a+2b，故本选项错误； D．π﹣3≠3﹣π，故本选项错误； 故选：B． 题型3 去括号与添括号 解｜题｜知｜识 （1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． （2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． （3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 添括号与去括号可互相检验． 【典例1】去括号等于a﹣b+c的是（　　） A．a﹣（b+c） B．a﹣（b﹣c） C．a+（b﹣c） D．a+（b+c） 【答案】B 【解答】解：A．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，故本选项不合题意； B．a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，故本选项正确 C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c，故本选项不合题意； D．a+（b+c）＝a+b+c，故本选项不合题意； 故选：B． 【变式1】下列去括号正确的是（　　） A．a﹣（b+c）＝a﹣b+c B．a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c C．x+2（y﹣z）＝x+2y+2z D．x﹣2（y﹣z）＝x﹣2y+z 【答案】B． 【解答】解：A、a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c≠a﹣b+c，错误； B、a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，正确； C、x+2（y﹣z）＝x+2y﹣2z≠x+2y+2z，错误； D、x﹣2（y﹣z）＝x﹣2y+2z≠x﹣2y+z，错误． 故选：B． 【变式2】下列关系式与此线段图不相符的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设总页数为x， A．，正确，不符合题意； B．，正确，不符合题意； C．，正确，不符合题意； D．，原关系式错误，符合题意． 故选：D． 【变式3】下列去括号或添括号正确的是（　　） A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+c B．a﹣2（b﹣c）＝a﹣2b+2c C．﹣3b+2c﹣d＝﹣（3b+2c﹣d） D．2x﹣x2+y2＝2x+（﹣x2﹣y2） 【答案】B 【解答】解：A、a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a+b﹣c，原计算错误，不合题意； B、a﹣2（b﹣c）＝a﹣2b+2c，正确，符合题意； C、﹣3b+2c﹣d＝﹣（3b﹣2c+d），原计算错误，不合题意； D、2x﹣x2+y2＝2x+（﹣x2+y2），原计算错误，不合题意． 故选：B． 题型4 整式的加减 解｜题｜知｜识 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 【典例1】若关于x的多项式﹣10x2+3x﹣1与2x3+2ax2﹣2x的和不含二次项，则a的值为（　　） A．4 B．﹣5 C．5 D．﹣4 【答案】C 【解答】解：﹣10x2+3x﹣1+2x3+2ax2﹣2x ＝2x3+（2a﹣10）x2+x﹣1， 由题意可得：2a﹣10＝0， 解得a＝5， 故选：C． 【变式1】已知a＝2b﹣1，下列式子：a+2＝2b+1；；3a＝6b﹣1；a﹣2b﹣1＝0．其中一定成立的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：下列式子：a+2＝2b+1；；3a＝6b﹣1；a﹣2b﹣1＝0． ∵a＝2b﹣1， ∴a+2＝2b﹣1+2＝2b+1，故a+2＝2b+1成立； ∵a＝2b﹣1， ∴，故不成立； ∵a＝2b﹣1， ∴3a＝3（2b﹣1）＝6b﹣3，故3a＝6b﹣1不成立； ∵a＝2b﹣1， a＝2b﹣1，∴a﹣2b+1＝0，故a﹣2b﹣1＝0不成立． 故选：A． 【变式2】如图①所示，在一个边长为a的正方形纸片上剪去两个小长方形，得到一个如图②的图案，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的周长可表示为（　　） A．2a﹣3b B．2a﹣4b C．4a﹣10b D．4a﹣8b 【答案】D 【解答】解：由题图知：新长方形的宽为a﹣3b，长分别为a﹣b． 所以该新长方形的周长为：2（a﹣3b+a﹣b） ＝2（2a﹣4b） ＝4a﹣8b． 故选：D． 【变式3】如图所示的一个大长方形，它被分割成4个大小不同的正方形①，②，③，④和一个长方形⑤，正方形①，②，③，④的周长分别为C1，C2，C3，C4，长方形⑤的周长为C5，整个大长方形的周长为C，则下列关系式不正确的是（　　） A．C1+C2＝C3 B．C＝2C5 C．C1+2C2＝C4 D．C1+C2+C5＝C 【答案】C 【解答】解：设正方形①②的边长分别为a，b， 则正方形③的边长为（a+b）， 正方形④的边长为a+（a+b）＝2a+b， 长方形⑤的长为2a+b+a＝3a+b，宽为b﹣a， 大长方形的长为a+b+2a+b＝3a+2b，宽为a+2b， ∴C1＝4a，C2＝4b，C3＝4a+4b， C4＝4（2a+b）＝8a+4b， C5＝2（3a+b）+2（b﹣a）＝4a+4b， C＝2（3a+2b）+2（a+2b）＝8a+8b， A．C1+C2＝C3，该关系式成立，不符合题意； B．C＝8a+8b，2C5＝2（4a+4b）＝8a+8b，该关系式成立，不符合题意； C．C1+2C2＝4a+2×4b＝4b+8b，C4＝8a+4b，故关系式不成立，符合题意； D．C1+C2+C5＝4a+4b+（4a+4b）＝8a+8b，C＝8a+8b，该关系式成立，不符合题意． 故选：C． 题型5 整式的加减—化简求值 解｜题｜知｜识 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 【典例1】如果x﹣3y＝2，那么代数式x﹣3y﹣3（y﹣x）﹣2（x+1）的值为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵x﹣3y＝2， ∴x﹣3y﹣3（y﹣x）﹣2（x+1） ＝x﹣3y﹣3y+3x﹣2x﹣2 ＝2x﹣6y﹣2 ＝2（x﹣3y）﹣2 ＝2×2﹣2 ＝2， 故答案为：2． 【变式1】已知代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x的取值无关，则代数式的值为　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【解答】解：原式＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+7， ∵代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x的取值无关， ∴2﹣2b＝0，a+3＝0， 得a＝﹣3，b＝1， ＝﹣a2+5b2， 当a＝﹣3，b＝1时， 原式＝﹣（﹣3）2+5×12＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【变式2】计算： （1）； （2）6÷（﹣3）×（2﹣4）﹣（﹣1）2； （3）化简求值：，其中； （4）已知：A＝2a2﹣3ab﹣5a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1，求2A﹣3B． 【答案】（1）18； （2）3； （3）； （4）7a2﹣9ab﹣10a+1． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣45+30+33 ＝18； （2）原式＝6÷（﹣3）×（﹣2）﹣1 ＝4﹣1 ＝3； （3）原式 ＝﹣x2﹣1； 把代入化简后的式子得 ； （4）把A＝2a2﹣3ab﹣5a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1代入得 2（2a2﹣3ab﹣5a﹣1）﹣3（﹣a2+ab﹣1） ＝4a2﹣6ab﹣10a﹣2+3a2﹣3ab+3 ＝7a2﹣9ab﹣10a+1． 【变式3】（1）化简：3a+2b﹣（5a﹣b）； （2）先化简，再求值：（3x2y﹣xy2）﹣3（x2y﹣2xy2），其中x＝﹣4，y＝2． 【答案】（1）﹣2a+3b； （2）5xy2，﹣80． 【解答】解：（1）原式＝3a+2b﹣5a+b ＝3a﹣5a+2b+b ＝﹣2a+3b； （2）原式＝3x2y﹣xy2﹣3x2y+6xy2 ＝3x2y﹣3x2y+6xy2﹣xy2 ＝5xy2， 当x＝﹣4，y＝2时，原式＝5×（﹣4）×22 ＝5×（﹣4）×4 ＝﹣5×4×4 ＝﹣80． 过 关 验 收 1．关于整式的概念，下列说法正确的是（　　） A．3与a是单项式 B．a3与a2是同类项 C．不是多项式 D．﹣xy2+xy﹣7是五次三项式 【答案】A 【解答】解：A、3是常数单项式，a是字母单项式，选项说法正确，符合题意； B、a3与a2指数不同，选项说法错误，不符合题意； C、，是多项式，选项说法错误，不符合题意； D、﹣xy2+xy﹣7中，xy2次数为1+2＝3，xy次数为1+1＝2，﹣7次数为0，最高次为3，是三次三项式，选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 2．若与是同类项，则x，y的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵与是同类项， ∴， ∴， 故选：D． 3．已知xym与xn+2y3是同类项，则m+n＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵xym与xn+2y3是同类项， ∴n+2＝1，m＝3， ∴n＝﹣1， m+n＝3﹣1＝2． 故答案为：2． 4．在下列五个说法中： ①100个有理数相乘，其中负数只有13个，那么所得的积为负数； ②若单项式2a3bm+1与3anb3是同类项，则（﹣m）n＝﹣8； ③若x+y＝0，则； ④已知有理数a，b满足ab≠0，且|a﹣b|＝4a﹣3b，则的值为或； ⑤适合|2a+3|+|2a﹣17|＝20的整数a的值有10个 正确的是　②④⑤　 ．（只填序号） 【答案】②④⑤． 【解答】解：①由题意可得：若其中有零，则积为零，零既不是正数，也不是负数，错误； ②n＝3，m+1＝3，解得m＝2，n＝3，故（﹣m）n＝﹣8，正确； ③若x+y＝0，当x＝y＝0时，无意义，故错误； ④若a﹣b≥0，则a﹣b＝4a﹣3b， ∴3a＝2b，； 若a﹣b＜0，则﹣a+b＝4a﹣3b， ∴5a＝4b，，故正确； ⑤|2a+3|+|2a﹣17|表示点2a到﹣3和17的距离和， 由题意可得：﹣3≤2a≤17， ∴﹣1.5≤a≤8.5，整数a从﹣1到8共10个，正确． 故答案为：②④⑤． 5．如果单项式﹣xyb+2与是同类项，那么（a﹣b）2023＝　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：由题意得：a﹣1＝1，b+2＝3， ∴a＝2，b＝1， ∴（a﹣b）2023＝（2﹣1）2023＝12023＝1， 故答案为：1． 6．下列计算结果正确的是（　　） A．4x2﹣2x2＝2 B．2x+3y＝5xy C．7x2y﹣7yx2＝0 D．2x+4x＝6x2 【答案】C 【解答】解：A、4x2﹣2x2＝2x2，错误； B、2x与3y不是同类项，不能合并，错误； C、7x2y﹣7yx2＝0，正确； D、2x+4x＝6x，错误； 故选：C． 7．已知单项式﹣25x3ym与3xny2的和是单项式，那么（﹣m）n的值是（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 【答案】B． 【解答】解：由同类项的定义可知n＝3，m＝2， ∴（﹣m）n＝（﹣2）3＝﹣8． 故选：B． 8．下列运算中，正确的是（　　） A．2a+3b＝5ab B．x3﹣x2＝x C．﹣7ab2+5ab2＝2ab2 D．3xy2﹣5y2x＝﹣2xy2 【答案】D． 【解答】解：A、2a+3b≠5ab，故A错误； B、x3﹣x2≠x，故B错误； C、﹣7ab2+5ab2＝﹣2ab2≠2ab2，故C错误； D、3xy2﹣5y2x＝﹣2xy2，故D正确． 故选：D． 9．若单项式3a4bn+2与单项式5am﹣1b2n+3的和仍然是单项式，则m+n＝　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：由同类项的定义可知m﹣1＝4，n+2＝2n+3， 解得m＝5，n＝﹣1， ∴m+n＝5+（﹣1）＝4． 故答案为：4． 10．已知单项式4x2ym与﹣3xny3的和仍是一个单项式，那么m﹣n＝　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：由同类项的定义可知n＝2，m＝3， ∴m﹣n＝3﹣2＝1． 故答案为：1． 11．如果单项式3xm+6y2与x3yn可以合并，那么（m+n）2025＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：由题意得：单项式3xm+6y2与x3yn是同类项， ∴m+6＝3，n＝2， ∴m＝﹣3， ∴（m+n）2025＝（﹣3+2）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 12．合并同类项： （1）； （2）2x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣2x2+5xy+1． 【答案】（1）； （2）y2+1． 【解答】解：（1）原式 ； （2）2x2﹣3xy+y2﹣2xy﹣2x2+5xy+1 ＝2x2﹣2x2﹣3xy﹣2xy+5xy+y2+1 ＝y2+1． 13．5a﹣4a＝1．（　×　 ）（判断对错） 【答案】×． 【解答】解：根据合并同类项法则可得5a﹣4a＝（5﹣4）a＝a， ∴原题判断错误． 答案为：×． 14．下列各式由等号左边变到右边变错的有（　　） ①a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c ②（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+y2 ③﹣（a+b）﹣（﹣x+y）＝﹣a+b+x﹣y ④﹣3（x﹣y）+（a﹣b）＝﹣3x﹣3y+a﹣b． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：根据去括号的法则： ①应为a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，错误； ②应为（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+2y2，错误； ③应为﹣（a+b）﹣（﹣x+y）＝﹣a﹣b+x﹣y，错误； ④﹣3（x﹣y）+（a﹣b）＝﹣3x+3y+a﹣b，错误． 故选：D． 15．用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（　　） A．3a﹣b2 B．3（a﹣b） C．（3a﹣b） D．（3a﹣b）2 【答案】D 【解答】解：由题意可得， a的3倍与b的差的平方可表示为（3a﹣b）2， 故选：D． 16．若2x2﹣3x﹣1与关于x的二项式ax2+bx的和与x无关，则ab＝（　　） A．8 B．﹣8 C．9 D．﹣9 【答案】B 【解答】解：（2x2﹣3x﹣1）+（ax2+bx） ＝2x2﹣3x﹣1+ax2+bx ＝（2+a）x2+（﹣3+b）x﹣1， ∵2x2﹣3x﹣1与关于x的二项式ax2+bx的和与x无关， ∴2+a＝0和﹣3+b＝0， 解得a＝﹣2，b＝3， ∴原式＝（﹣2）3＝﹣8． 故选：B． 17．老师给出一个三位数，让同学们将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数．甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为275，495，576，681，老师判定4个结果中有且只有一个正确，则四位同学中答对的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解答】解：由题知， 设原三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（a，c都是1～9之间的整数，b是0～9之间的整数）， 则原来的三位数可表示为100a+10b+c． 因为新三位数可表示为100c+10b+a， 则新的三位数与原来的三位数的差可表示为：（100c+10b+a）﹣（100a+10b+c）＝99（c﹣a）， 所以它们的差应被99整除． 因为275，495，576，681四个数中，只有495能被99整除， 则四位同学中答对的为乙． 故选：B． 18．有一道题是一个多项式减去x2+1，小强误当成加法计算，结果得到x2+14x﹣6，正确的结果应该是（　　） A．14x﹣7 B．x2+14x﹣6 C．﹣x2+14x﹣8 D．﹣x2+14x﹣6 【答案】C 【解答】解：（x2+14x﹣6）﹣（x2+1）＝14x﹣7， （14x﹣7）﹣（x2+1）＝﹣x2+14x﹣8， ∴正确的结果应该是﹣x2+14x﹣8． 故选：C． 19．对于4个关于x的一次二项式：4x+6，3x﹣3，2x﹣2，5x+5，我们定义：取其中任意两个作差，再与剩余两个多项式的差相减，其结果称为“淬炼结果”，例如：4x+6﹣（3x﹣3）＝x+9，5x+5﹣（2x﹣2）＝3x+7，x+9﹣（3x+7）＝﹣2x+2，则多项式﹣2x+2便是一个“淬炼结果”．则下列结论中： ①存在一种“淬炼结果”为2x﹣2； ②x为任意整数时，所有“淬炼结果”的值都能被2整除； ③共有6种不同的“淬炼结果”． 正确的有（　　） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【解答】解：设A＝4x+6，B＝3x﹣3，C＝2x﹣2，D＝5x+5． 由题意，共有6种情况： 第1种：A+B﹣C﹣D＝（4x+6）+（3x﹣3）﹣（2x﹣2）﹣（5x+5）＝0； 第2种：﹣A+B+C﹣D＝﹣（4x+6）+（3x﹣3）+（2x﹣2）﹣（5x+5）＝﹣4x﹣16； 第3种：﹣A+B﹣C+D＝﹣（4x+6）+（3x﹣3）﹣（2x﹣2）+（5x+5）＝2x﹣2； 第4种：A﹣B+C﹣D＝（4x+6）﹣（3x﹣3）+（2x﹣2）﹣（5x+5）＝﹣2x+2； 第5种：﹣A﹣B+C+D＝﹣（4x+6）﹣（3x﹣3）+（2x﹣2）+（5x+5）＝0； 第6种：A﹣B﹣C+D＝（4x+6）﹣（3x﹣3）﹣（2x﹣2）+（5x+5）＝4x+16； ∴存在一种“淬炼结果”为2x﹣2；故①正确； x为任意整数时，所有“淬炼结果”的值都能被2整除；故②正确； 共有5种不同的“淬炼结果”；故③错误； 故选：C． 20．军军在计算中把3（a+5）错写成了3（a+8），计算结果比原来（　　） A．增加了3 B．减少了3 C．增加了9 D．减少了9 【答案】C 【解答】解：军军在计算中把3（a+5）错写成了3（a+8）： 3（a+8）﹣3（a+5） ＝3a+24﹣3a﹣15 ＝9． 故选：C． 21．如图，在边长为8的正方形ABCD中，放入两张大小相同的正方形纸片，分别是正方形EFGH和正方形IJKD．其中正方形纸片EFGH的边EF在线段AB上，正方形LKD的两边KD，ID分别在线段CD，线段AD上．若区域①的周长比区域②与区域③的周长之和还大2，则正方形纸片的边长EF为 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：设正方形纸片的边长为x， 则EF＝DK＝DI＝x， ∴MK＝DI＝KC＝8﹣x， ∴区域①的周长为KC+BC+FB+FG+GM+MK ＝KC+BC+（FB+GM）+（FG+MK） ＝8﹣x+8+（8﹣x）+8 ＝32﹣2x， 区域②与区域③的周长之和为2AI+2IN+2NJ+2NH ＝2（AI+NH）+2（IN+NJ） ＝2x+2x＝4x， ∵区域①的周长比区域②与区域③的周长之和还大2， ∴32﹣2x﹣4x＝2， 解得x＝5， ∴正方形纸片的边长EF为5． 故答案为：5． 22．七年级某班有（3a﹣b）个男生和（2a+b）个女生，则男生比女生多　（a﹣2b）　 人． 【答案】（a﹣2b） 【解答】解：（3a﹣b）﹣（2a+b） ＝3a﹣b﹣2a﹣b ＝a﹣2b ∴男生比女生多（a﹣2b）人． 故答案为：（a﹣2b）． 23．两个多项式相加的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式互为“关联多项式”．若多项式A、B、C互为“关联多项式”，且A＝5x2﹣3x，B＝﹣3x2+2x，C＝ax2+bx，则a+b的值为　1或﹣3或3　 ． 【答案】1或﹣3或3． 【解答】解：多项式A、B、C互为“关联多项式”，且A＝5x2﹣3x，B＝﹣3x2+2x，C＝ax2+bx， 由题意，A、B、C互为关联多项式，因此可能的情况如下： 若A+B＝C，（5x2﹣3x）+（﹣3x2+2x）＝2x2﹣x＝ax2+bx， 所以a＝2，b＝﹣1， 所以a+b＝1； 若A+C＝B，则（5x2﹣3x）+（ax2+bx）＝（5+a）x2+（﹣3+b）x＝﹣3x2+2x， 所以5+a＝﹣3，﹣3+b＝2， 解得a＝﹣8，b＝5， 所以a+b＝﹣3； 若B+C＝A，则（﹣3x2+2x）+（ax2+bx）＝（﹣3+a）x2+（2+b）x＝5x2﹣3x， 所以﹣3+a＝5，2+b＝﹣3， 解得a＝8，b＝﹣5， 所以a+b＝3； 故答案为：1或﹣3或3． 24．嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，她规定：每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等．则图1中“◇”＝　1　 ．图2中“☆”＝　3x﹣2y﹣1　 ． 【答案】1，3x﹣2y﹣1． 【解答】解：规定：每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等．如图 ②+5+①＝②+2+3， ∴①＝0， ∵3+③+0＝2+③+◇， ∴◇＝1； 由题意得x+x﹣1+②＝①+y+②， ∴①＝2x﹣y﹣1， ∵2x﹣y﹣1+x+③＝☆+y+③， ∴☆＝3x﹣2y﹣1﹒ 故答案为：1，3x﹣2y﹣1． 25．一个四位自然数M，记作，若a+c＝b+d＝11，则称M为“双11数”．例如：四位数4279，∵4+7＝2+9＝11，∴4279是“双11数”；若M是一个“双11数”，设，且是整数，则满足条件的M的最小值是　2893　 ． 【答案】2893． 【解答】解：一个四位自然数M，记作，若a+c＝b+d＝11，则称M为“双11数”， 设M＝1000a+100b+10c+d，由a+c＝11，b+d＝11，得c＝11﹣a，d＝11﹣b， ∴M＝1000a+100b+10（11﹣a）+（11﹣b）＝990a+99b+121， ∴，则， ∵该式为整数，且14是7的倍数， ∴90a+9b需为7的倍数，即9（10a+b）为7的倍数， ∵9与7互质， ∴10a+b为7的倍数，a为2至9的数字，b为2至9的数字， 要使M最小， ∴a取2，则c＝9， ∵10a+b＝20+b需为7的倍数，且让M最小， ∴b＝8，则d＝11﹣8＝3， ∴M＝2893． 故答案为：2893． 26．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤： 第一步，A同学拿出四张扑克牌给B同学； 第二步，C同学拿出二张扑克牌给B同学； 第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学． 请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为　10　 张． 【答案】10． 【解答】解：设A、B、C三个同学相同数量的扑克牌，均为x张， 第一步后三人的牌数，A为x﹣4，B为x+4，C为x， 第二步后三人的牌数，A为x﹣4，B为x+4+2，C为x﹣2， 第三步后三人的牌数，A为2（x﹣4），B为x+4+2﹣（x﹣4），C为x﹣2， ∴B同学手中剩余的扑克牌的张数为x+4+2﹣（x﹣4）＝x+4+2﹣x+4＝10， 故答案为：10． 27．化简：已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小明错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果C＝4a2b﹣3ab2+4abc． （1）计算B的表达式； （2）小强说正确结果的大小与c的取值无关，对吗？请说明理由． 【答案】（1）﹣2a2b+ab2+2abc； （2）正确，2A﹣B ＝2（3a2b﹣2ab2+abc）﹣（﹣2a2b+ab2+2abc） ＝8a2b﹣5ab2； 因正确结果中不含c，所以小强的说法对，正确结果的取值与c无关． 【解答】解：（1）A＝3a2b﹣2ab2+abc，小明错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果C＝4a2b﹣3ab2+4abc．则： ∵2A+B＝C， ∴B＝C﹣2A ＝（4a2b﹣3ab2+4abc）﹣2（3a2b﹣2ab2+abc） ＝﹣2a2b+ab2+2abc； （2）2A﹣B ＝2（3a2b﹣2ab2+abc）﹣（﹣2a2b+ab2+2abc） ＝8a2b﹣5ab2； 因正确结果中不含c，所以小强的说法对，正确结果的取值与c无关． 28．定义：一个正整数x＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若ma﹣b＝mc﹣d，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，5923：2×5﹣9＝2×2﹣3，则称5923为“2倍数”；1940：﹣3×1﹣9＝﹣3×4﹣0，则称1940为“﹣3倍数”；2548：4﹣8．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”． （1）直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值； （2）若一个三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； （3）若一个四位数x为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为y（即10a+b），十位数字和个位数字组成的两位数记为z（即10c+d）．若为整数，求这个四位数； （4）若一个四位数x为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，x+6为“﹣4倍数”，直接写出满足条件的x的最大值． 【答案】（1）3274不是“m倍数“.2961是“m倍数”，m＝﹣2． （2）可以，理由见解析． （3）9810或1098． （4）8888 【解答】解：（1）3m﹣2＝7m﹣4⇒﹣4m＝﹣2． 解得：m． m不是整数，所以3274不是“m倍数“． 2m﹣9＝6m﹣1⇒﹣4m＝8． 解得：m＝﹣2． 2961是“﹣2倍数”，m为﹣2． （2）∵x为三位数，个位为7， ∴a＝0．d＝7． ﹣2×0﹣b＝﹣2c﹣7． 整理得：b＝2c+7． 这个三位数为：100b+10c+7＝100（2c+7）+10c+7＝210c+707＝7（30c+101）． ∵30c+101是整数． ∴这三位数x能被7整除． （3）∵这四位数为“1倍数”． ∴a﹣b＝c﹣d⇒a﹣c＝b﹣d． ∵y＝10a+b，z＝10c+d． ∴y﹣z＝10a+b﹣10c﹣d＝10（a﹣c）+10（b﹣d）＝11（a﹣c）． ∵为整数． ∴为整数． 即a﹣c＝±8，b﹣d＝±8． ∵各位数的数字互不相等． ∴a，b，c，d四个数应为9，8，1，0．或1，0，9，8． ∴这四位数应为9810，1098． （4）设x的四位数字分别为a，b，c，d． ∵x为“4倍数“． ∴4a﹣b＝4c﹣d①． ∵将百位数字与十位数字互换，新的四位数仍为“4倍数”． ∴4a﹣c＝4b﹣d②． ①﹣②得﹣b+c＝4c﹣4b⇒﹣3c＝﹣3b⇒c＝b． 将b＝c代入①得：4a﹣b＝4b﹣d． 整理得：d＝5b﹣4a． ∵x+6为“﹣4倍数“． ∴当d＜4时，﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6． 把b＝c，d＝5b﹣4a代入﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6得： ﹣4a﹣b＝﹣4b﹣（5b﹣4a）﹣6． 整理得：8a﹣8b＝6． ∵a，b，c，d均为小于10的非负整数， ∴8a﹣8b不可能等于6， ∴d＜4不符合题意． 当4≤d≤10时，﹣4a﹣b＝﹣4（c+1）﹣（d+6﹣10）， 整理得：4a+b＝4c+d， 把b＝c，d＝5b﹣4a代入4a+b＝4c+d得： 4a+b＝4b+（5b﹣4a）， 整理得：a＝b， ∴d＝5b﹣4a＝5b﹣4b＝b， 即d＝b． ∴a＝b＝c＝d． ∵x+6为四位数， ∴a＝b＝c＝d＜9． ∴a，b，c，d的最大值为8，即这个四位数最大为8888． 29．定义新运算“*”，规定M*N＝M﹣2N，请按要求完成下列问题： （1）若M＝3x2﹣2xy﹣y，N＝x2﹣xy﹣3，化简M*N； （2）若（x+2）2+|y﹣1|＝0，求第（1）问中M*N的值． 【答案】（1）x2﹣y+6； （2）9． 【解答】解：（1）∵M＝3x2﹣2xy﹣y，N＝x2﹣xy﹣3， ∴M*N＝3x2﹣2xy﹣y﹣2（x2﹣xy﹣3） ＝3x2﹣2xy﹣y﹣2x2+2xy+6 ＝x2﹣y+6； （2）∵（x+2）2+|y﹣1|＝0， ∴x+2＝0，y﹣1＝0， 解得：x＝﹣2，y＝1， 则M*N＝x2﹣y+6 ＝（﹣2）2﹣1+6 ＝4﹣1+6 ＝9． 30．已知A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2． （1）求； （2）若2A﹣3B+C＝0，求C的表达式． 【答案】（1）； （2）7a2﹣22ab+b2． 【解答】解：（1）因为A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2， ； （2）因为2A﹣3B+C＝0， 所以C＝3B﹣2A， 因为A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2， 所以C＝3B﹣2A ＝3（3a2﹣6ab+b2）﹣2（a2+2ab+b2） ＝9a2﹣18ab+3b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2 ＝7a2﹣22ab+b2． 31．阅读下列材料，解决问题： 三位数的“衍生数”一个三位正整数x，它的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若从x的三个数位上的数字中任选两个组成一个新的两位数，我们称这样的两位数为x的“衍生数”．如654，任选其中两个数字组成的所有两位数分别是：65，64，56，54，46，45．它们都是654的“衍生数”. （1）写出135所有的“衍生数”：　13，15，31，35，51，53　 ； （2）一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若它的百位数字为7，十位数字为3，个位数字为a，则用含a的代数式表示这个三位数所有“衍生数”的和为 　22a+220　 ； （3）一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，假设它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，请说明它的所有“衍生数”的和能被22整除． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意，135所有的“衍生数”：13，15，31，35，51，53， 故答案为：13，15，31，35，51，53； （2）∵一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若它的百位数字为7，十位数字为3，个位数字为a， ∴这个三位数所有“衍生数”：73，70+a，37，30+a，10a+3，10a+7， ∴所有“衍生数”之和为：73+70+a+37+30+a+10a+3+10a+7＝22a+220， 故答案为：22a+220； （3）∵一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，假设它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， ∴这个三位数所有“衍生数”之和为：（10a+b）+（10a+c）+（10b+a）+（10b+c）+（10c+a）+（10c+b） ＝10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b ＝22a+22b+22c ＝22（a+b+c）， ∵a，b，c均不为零且互不相等， ∴22（a+b+c）能被22整除． 32．阅读材料： 若数对（a，b）是使得b＝10﹣3a成立的一对数或整式，则数对（a，b）为和谐数对．例如数对（1，7），因为10﹣3×1＝7．所以数对（1，7）是和谐数对． 解决问题： （1）下列数对：①（3，1），②（﹣6，18），③（5，﹣5）中，是和谐数对的有　①③　 ；（填序号） （2）数对（2m﹣1，﹣6m﹣13）是和谐数对吗？请判断并说明理由； （3）已知数对（a2﹣2ab+1，M）是和谐数对，求M． 【答案】（1）①③； （2）不是和谐数对，10﹣3（2m﹣1） ＝10﹣6m+3 ＝13﹣6m， ∵10﹣3（2m﹣1）＝13﹣6m≠﹣6m﹣13， ∴数对（2m﹣1，﹣6m﹣13）不是和谐数对； （3）﹣3a2+6ab+7． 【解答】解：（1）若数对（a，b）是使得b＝10﹣3a成立的一对数或整式，则数对（a，b）为和谐数对． ∵10﹣3×3＝10﹣9＝1， 10﹣3×（﹣6）＝10+18＝28≠18， 10﹣3×5＝10﹣15＝﹣5， ∴是和谐数对的有①③； 故答案为：①③； （2）数对（2m﹣1，﹣6m﹣13）不是和谐数对， 10﹣3（2m﹣1） ＝10﹣6m+3 ＝13﹣6m， ∵10﹣3（2m﹣1）＝13﹣6m≠﹣6m﹣13， ∴（2m﹣1，﹣6m﹣13）不是和谐数对； （3）∵数对（a2﹣2ab+1，M）是和谐数对， ∴M＝10﹣3（a2﹣2ab+1） ＝10﹣3a2+6ab﹣3 ＝﹣3a2+6ab+7． 33．小红做一道数学题：“两个多项式A，B，已知B为4x2﹣5x﹣6，试求A﹣B的值”时．小红误将A﹣B看成A+B，结果答案为﹣7x2+10x+12（计算过程正确）． （1）试求A﹣B的正确结果； （2）当x＝﹣4时，求A﹣B的值． 【答案】（1）﹣11x2+15x+18； （2）﹣296． 【解答】解：（1）∵A+B＝﹣7x2+10x+12，且B＝4x2﹣5x﹣6， ∴A＝（﹣7x2+10x+12）﹣（4x2﹣5x﹣6） ＝﹣7x2+10x+12﹣4x2+5x+6 ＝（﹣7x2﹣4x2）+（10x+5x）+12+6 ＝﹣11x2+15x+18； ∴A﹣B＝﹣11x2+15x+18﹣4x2+5x+6＝﹣15x2+20x+24； （2）当x＝﹣4时，A﹣B＝﹣15（﹣4）2+20×（﹣4）+24＝﹣296． 34．我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如：因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”． （1）判断下列数对是否是“积差等数对”： ①　是　 （填“是”或者“否”）； ②（2，1）　否　 （填“是”或者“否”）． （2）若数对（a，b）是“积差等数对”，求代数式4[3ab﹣a﹣2（ab﹣2）]+4b的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵， ∴， ∴是“积差等数对”， 故答案为：是； ②∵2﹣1＝1，2×1＝2， ∴2﹣1≠2×1， ∴（2，1）不是“积差等数对”， ∵故答案为：否； （2）∵数对（a，b）是“积差等数对”， ∴a﹣b＝ab， ∴4[3ab﹣a﹣2（ab﹣2）]+4b ＝4（3ab﹣a﹣2ab+4）+4b ＝4（ab﹣a+4）+4b ＝4ab﹣4a+16+4b ＝4ab﹣4（a﹣b）+16 ＝4ab﹣4ab+16 ＝16． 35．先化简，再求值：3m2﹣[5m﹣2（2m﹣3）+4m2]，其中m＝﹣4． 【答案】﹣m2﹣m﹣6，﹣18． 【解答】解：3m2﹣[5m﹣2（2m﹣3）+4m2] ＝3m2﹣（5m﹣4m+6+4m2） ＝3m2﹣5m+4m﹣6﹣4m2 ＝﹣m2﹣m﹣6， 当m＝﹣4时， 原式＝﹣（﹣4）2﹣（﹣4）﹣6 ＝﹣16+4﹣6 ＝﹣18． 36．先化简，再求值：2x2﹣[2xy﹣3y2+2（x2+xy）]，其中|x+1|+（y﹣2）2＝0． 【答案】3y2﹣4xy；20． 【解答】解：原式＝2x2﹣2xy+3y2﹣2（x2+xy） ＝2x2﹣2xy+3y2﹣2x2﹣2xy ＝3y2﹣4xy； ∵|x+1|+（y﹣2）2＝0， ∴x+1＝0，y﹣2＝0， 解得：x＝﹣1，y＝2， 原式＝3×22﹣4×（﹣1）×2＝12+8＝20． 37．（1）计算：． （2）先化简，再求值：2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中（x+1）2+|y﹣2|＝0． 【答案】（1）﹣5；（2）5xy﹣5x2y，﹣20． 【解答】解：（1） ＝﹣1|﹣24| ＝﹣1﹣4 ＝﹣5； （2）∵（x+1）2+|y﹣2|＝0， ∴x+1＝0，y﹣2＝0 ∴x＝﹣1，y＝2， 原式＝2x2y+2xy﹣3x2y+3xy﹣4x2y＝5xy﹣5x2y， 把x＝﹣1，y＝2代入5xy﹣5x2y， 得5xy﹣5x2y＝5×（﹣1）×2﹣5×（﹣1）2×2＝﹣20． 38．阅读材料． “整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛，如下是老师安排的作业题． 代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x﹣3的值为　5　 ． 小明在做作业时采用的方法如下：因为x2+x+3＝7，所以x2+x＝4，所以2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5，所以代数式2x2+2x﹣3的值为5．参考小明的做法解决下列问题： （1）代数式x2+x+3的值为7，则代数式3x2+3x﹣3的值为　9　 ； （2）代数式x2+x+1的值为15，则代数式﹣2x2﹣2x+3的值为　﹣25　 ； （3）若3m﹣4n＝﹣3，mn＝1，求6（m﹣n）﹣2（n﹣mn）的值． 【答案】（1）9； （2）﹣25； （3）﹣4． 【解答】解：（1）∵x2+x+3＝7， ∴x2+x＝4， ∴原式＝3（x2+x）﹣3＝3×4﹣3＝9， 故答案为：9； （2）x2+x+1＝15， ∴x2+x＝14， ∴原式＝﹣2（x2+x）+3＝﹣2×14+3＝﹣25， 故答案为：﹣25； （3）由条件可知 原式＝6m﹣6n﹣2n+2mn ＝6m﹣8n+2mn ＝2（3m﹣4n）+2mn ＝2×（﹣3）+2×1 ＝﹣6+2 ＝﹣4． 39．如果﹣0.5mxn3与5mnx﹣y是同类项，求的值． 【答案】﹣7． 【解答】解：原式＝6xy﹣（x2+8xy﹣y2）+2（x2+3xyy2） ＝6xy﹣x2﹣8xy+y2+2x2+6xy﹣y2 ＝x2+4xy， ∵﹣0.5mxn3与5mnx﹣y是同类项， ∴x＝1，x﹣y＝3， 解得：x＝1，y＝﹣2， 原式＝12+4×1×（﹣2）＝﹣7． 40．先化简，再求值：a2﹣（2a+3a2）+2（3a+a2+1），其中a是相反数等于它本身的数． 【答案】4a+2；2． 【解答】解：原式＝a2﹣2a﹣3a2+6a+2a2+2 ＝4a+2； ∵a是相反数等于本身的数， ∴a＝0， 当a＝0时， 原式＝0+2＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $