2.2 有理数的加减运算同步讲义2026-2027学年数学七年级上册（北师大版）

本讲义聚焦初中数学“有理数的加减运算”核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、减法法则（转化为加法）、混合运算（统一加法）及运算律，构建从基础法则到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握运算方法。 该资料特色在于结合生活实例（如水位变化、温差计算）和趣味题型（幻圆、幻方），通过“先符号后绝对值”等方法培养运算能力和推理意识，典例与变式题设计兼顾课中教学与课后查漏，助力学生用数学眼光观察、思维分析和语言表达现实问题。

第2章 2.2 有理数的加减运算 内 容 导 航 题型1 有理数的加法 题型2 有理数的减法 题型3 有理数的加减混合运算 考 点 演 练 题型1 有理数的加法 解｜题｜知｜识 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 【典例1】计算：的值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在一个三角形的三个顶点与三边中点处各有一个圆圈，现将1、2、3、4、5、6这6个数字分别填入图中6个圆圈内，每个圆圈内填一个数，使得三角形每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2】爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4、6、﹣7、8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为（　　） A．﹣8或1 B．﹣6或﹣3 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 【变式3】如图，直尺中2cm处对应的数轴上的数与6cm处对应的数轴上的数的和为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 题型2 有理数的减法 解｜题｜知｜识 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 【典例1】已知|a|＝6，|b|＝4且a＜b，则a﹣b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2或﹣10 C．﹣10 D．以上都不是 【变式1】下列计算错误的是（　　） A．（﹣9）﹣6＝﹣15 B．（﹣9）﹣（﹣6）＝3 C．9﹣（﹣6）＝15 D．9﹣（+6）＝3 【变式2】下列说法正确的有（　　） ①差一定小于被减数； ②0减一个数，仍得这个数； ③两个相反数相减得0； ④两个数的和是正数，则这两个数一定都是正数； ⑤减去一个负数，差一定大于被减数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】下面说法正确的是（　　） A．若a是有理数，则|a|﹣a＝0一定成立 B．两个有理数相加，结果一定大于每个加数 C．两个有理数之差一定小于被减数 D．0减去任何一个有理数都得这个数的相反数 题型3 有理数的加减混合运算 解｜题｜知｜识 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 【典例1】我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（　　） A．（﹣6）+（+8）＝2 B．（+6）+（﹣8）＝﹣2 C．（﹣6）﹣（+8）＝﹣14 D．（+6）﹣（﹣8）＝14 【变式1】不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成﹣7+4﹣5﹣6的是（　　） A．（﹣7）﹣（+4）﹣（﹣5）+（﹣6） B．﹣（+7）+（+4）﹣（﹣5）+（﹣6） C．﹣（+7）﹣（﹣4）﹣（+5）+（﹣6） D．（﹣7）+（+4）+（﹣5）﹣（﹣6） 【变式2】请指出下面计算从哪一步开始出错（　　） ① ② ③ ．④ A．① B．② C．③ D．④ 【变式3】在计算时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．5．若x的相反数是2，|y|＝5，则x+y的值为（　　） A．﹣7 B．3 C．7或﹣3 D．﹣7或3 2．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（　　） A．（﹣6）+（+8）＝2 B．（+6）+（﹣8）＝﹣2 C．（﹣6）﹣（+8）＝14 D．（+6）﹣（﹣8）＝14 3．已知|a|＝3，|b|＝2，且b＜a，则a+b的值为（　　） A．1或﹣1 B．5或﹣5 C．3或﹣2 D．5或1 4．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则表中Δ处的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6 5．下列说法错误的是（　　） A．正数的绝对值等于本身 B．互为相反数的两数相加和为零 C．数轴上右边的数总比左边的大 D．若|a|＝|b|，则a＝b 6．下列问题情境，不能用加法算式﹣3+12表示的是（　　） A．水位先下降3cm，再上升12cm后的水位变化情况 B．某日最低气温为﹣3℃，温差为12℃，该日最高气温 C．用12元钱购买3元文具后找回的零钱 D．数轴上表示﹣3与12的两个点之间的距离 7．一艘轮船下午4：00出发，7小时后到达港口，轮船（　　）到达． A．11：00 B．23：00 C．晚上23：00 D．22：00 8．若a，b互为相反数，c是最大的负整数，则a+b+c的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 9．下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“+”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（　　） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 10．袋子里装有大小相等的红、黄、白三种颜色的球各4个，任意摸球，至少要摸出（　　）个球，才能保证摸到一个红球． A．4 B．5 C．9 D．10 11．对2+（﹣3）＝﹣1用生活实例解释其意义正确的是（　　） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上2℃，随着冷空气的到来，下午气温下降了3℃．现在的气温是零上1℃ D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了3m3水，接着他又往水池注入2m3水，现在水池里的水比原来多了1m3 12．下表列出国外几个城市与北京的时差： 城市 东京 巴黎 纽约 芝加哥 时差（时） +1 ﹣7 ﹣13 ﹣14 如果现在时间是北京时间上午11：00，那么现在的巴黎时间是　 　 点． 13．芳芳在做一道“用2、4、6、8、0、0、0组成一个七位数”的题目，她先组成了一个所有零都读不出来的最大数，记作x；她又组成了一个只读一个零的最小数，记作y．那么x+y＝　 　 ． 14．一副扑克牌有54张，至少从中抽取　 　 张牌，才能保证有两张的点数不同． 15．若|a+1|+|b﹣3|＝0，c，d互为相反数，则a+b+c+d的值是　 　 ． 16．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子错误的是（　　） A．b﹣a＜0 B．a+b＜0 C．|a|＝﹣a D．b＜0 17．下列说法： ①若m满足|m|+m＝0，则m+2≤0； ②若|a﹣b|＝b﹣a，则b≥a； ③若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是正数； ④若三个有理数a，b，c满足，则． 其中正确的是有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 18．已知|3﹣4|＝4﹣3，|5﹣9|＝9﹣5，|0﹣3|＝3﹣0，请计算的结果为（　　） A． B． C． D． 19．已知a＜0＜b＜c，化简|a﹣b|﹣|c﹣a|的结果是（　　） A．c﹣a B．c﹣b C．a﹣c D．b﹣c 20．如图，半径为1的圆在数轴上滚动，开始在数轴上点A（称圆与数轴的切点）处，向左滚动一周至点B处，若点A对应的数是3，则点B对应的数是（　　） A．3﹣π B．2π﹣3 C．π﹣3 D．3﹣2π 21．若|a|＝4，|b|＝5且a+b＞0，那么a﹣b＝ 　 　 ． 22．某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（20±0.15）kg的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差 　 　 kg． 23．学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：|8﹣5|＝8﹣5；|5﹣8|＝8﹣5；，． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用算出结果）； ①|3﹣7|＝　 　 ；②|2﹣π|＝　 　 ． （2）请利用你探究的结论计算：． 24．阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M，N表示的数分别为﹣1，3，则线段MN的长度可以这样计算：|﹣1﹣3|＝4或|3﹣（﹣1）|＝4，那么当点M，N表示的数分别为m，n时，线段MN的长度可以表示为|m﹣n|或|n﹣m|． 请你参考小兰的发现，解决下面的问题． 在数轴上，点A，B，C分别表示数a，b，c．给出如下定义：若|a﹣b|＝2|a﹣c|，则称点B为点A，C的双倍绝对点． （1）如图1，a＝﹣1． ①若c＝2，点D，E，F在数轴上分别表示数﹣3，5，7，在这三个点中，点 　 　 是点A，C的双倍绝对点； ②若B是A，C的双倍绝对点，且|a﹣c|＝2，则b＝　 　 ； （2）若a＝3，|b﹣c|＝5，B为点A，C的双倍绝对点，则c的值为 　 　 ． 25．下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差（时） ﹣13 ﹣7 +1 ﹣14 2025年9月3日中国以一场盛大阅兵纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，阅兵重播将于北京时间13：00开始，下列各城市的时间表示正确的是（　　） A．纽约是2025年9月3日1：00 B．巴黎是2025年9月3日5：00 C．东京是2025年9月3日13：00 D．芝加哥是2025年9月2日23：00 26．某水库上周日的水位是30m，下表是该水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升量，用负数记水位比前一日下降量），那么本周水位最低的是（　　） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m +0.12 ﹣0.02 ﹣0.13 ﹣0.20 ﹣0.08 ﹣0.02 +0.32 A．星期日 B．星期三 C．星期四 D．星期六 27．定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有x*x＝0，x*（y*z）＝（x*y）+z，这里“+”号表示数的加法，则2026*2025的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 28．根据图中程序计算，若输入的数是﹣6，则输出的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．4 29．把（+5）﹣（+3）﹣（﹣1）+（﹣5）写成省略括号的和的形式是（　　） A．﹣5﹣3+1﹣5 B．5﹣3﹣1﹣5 C．5+3+1﹣5 D．5﹣3+1﹣5 30．下列变形，运用加法运算律正确的是（　　） A．3+（﹣2）＝2+3 B．4+（﹣6）+3＝（﹣6）+4+3 C．[5+（﹣2）]+4＝[5+（﹣4）]+2 D． 31．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（25±0.1）kg，（25±0.2）kg，（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出不同品牌的两袋，它们的质量最多相差（　　） A． B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg 32．已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如[3.2]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，[0.8]＝0，[2]＝2等，那么，　 　 ． 33．我们规定一种新运算：a△b＝a﹣b+1，如3△4＝3﹣4+1＝0，那么2△（﹣3）的值为　 　 ． 34．规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w，则+＝ 　 　 ． 35．在温控范围内，肉联厂的冷藏库能使冷藏食品每小时降温4℃（冷藏库温度到达零下20℃后自动停止降温），每开库一次，温度上升5℃，现有15℃的肉放入冷藏库，3小时后开一次库，2小时后再次开库，再关上库门4小时，此时肉的温度是　 　 ℃． 36．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家购置了一辆续航为550km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km ﹣8 ﹣12 ﹣17 +21 +19 +27 +33 （1）这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶　 　 km； （2）小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了多少km？ （3）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的15%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 37．根据以下素材，完成探索任务． 素材1 中秋节，又称祭月节、月光诞、月夕、秋节、仲秋节、拜月节、月娘节、月亮节、团圆节等，是中国民间的传统节日．中秋节源自天象崇拜，中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐朝初年，盛行于宋朝以后．中秋节自古便有祭月、赏月、吃月饼、玩花灯、赏桂花、饮桂花酒等民俗，流传至今，经久不息．中秋节是秋季时令习俗的综合，其所包含的节俗因素，大都有古老的渊源．中秋节以月之圆兆人之团圆，为寄托思念故乡、思念亲人之情，祈盼丰收、幸福，成为丰富多彩、弥足珍贵的文化遗产．中秋节与春节、清明节、端午节并称为中国四大传统节日．受中华文化的影响．2006年5月20日，国务院将其列入首批国家级非物质文化遗产名录．自2008年起中秋节被列为国家法定节假日． 素材2 随着时代的发展，月饼的馅料越来越丰富．不仅和每个地方的饮食文化结合，出现广式、晋式、京式、苏式等口味，而且，富有想象力的大厨们还发明了抹茶冰皮、山楂蔓越莓等各种各样的月饼．中秋节又要到了，乐乐和妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计8枚）． 回家后，妈妈要求乐乐用称重不超过100克的电子秤，结合所学知识判断这盒月饼的总质量是否合格．乐乐仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，包装说明上标记的总质量合格标准为（560±5）克． 她们把8枚月饼的质量称重后统计列表如下表：（单位：克） 第n枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 69.2 70.3 70.8 69.3 69.6 70 69.3 70.8 为了简化运算，乐乐选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出表格（数据不完整）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 ﹣0.8 a +0.8 b ﹣0.4 c ﹣0.7 +0.8 问题解决 任务1 乐乐选取的这个标准质量是 　 克； 任务2 表格中a＝ 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； 任务3 质量最大的那枚月饼比质量最少的那枚月饼多多少克？ 任务4 乐乐对妈妈说这盒月饼总质量是合格的，请你通过计算说明理由． 38．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：|3﹣1|可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；|3+1|可以理解为数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用|4﹣（﹣3）|表示． 根据以上阅读材料探索下列问题： （1）数轴上表示4和8的两点之间的距离是　 ；数轴上表示3和﹣6的两点之间的距离是　 　 ．（直接写出最终结果） （2）若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是12，则x的值为　 　 ． （3）若x表示一个有理数，则|x+1|+|x﹣3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 2.2 有理数的加减运算 内 容 导 航 题型1 有理数的加法 题型2 有理数的减法 题型3 有理数的加减混合运算 考 点 演 练 题型1 有理数的加法 解｜题｜知｜识 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 【典例1】计算：的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵ ∴． 故选：C． 【变式1】如图，在一个三角形的三个顶点与三边中点处各有一个圆圈，现将1、2、3、4、5、6这6个数字分别填入图中6个圆圈内，每个圆圈内填一个数，使得三角形每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解答】解：如图所示：， S的最大值是：4+5+3＝12． 故选：D． 【变式2】爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4、6、﹣7、8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为（　　） A．﹣8或1 B．﹣6或﹣3 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 【答案】B 【解答】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2， 则﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5， 6+4+b+c＝2，得c＝﹣3， a+c+4+d＝2，a+d＝1， ∵当a＝﹣1时，d＝2，则a+b＝﹣1﹣5＝﹣6， 当a＝2时，d＝﹣1，则a+b＝2﹣5＝﹣3， ∴a+b的值为﹣6或﹣3． 故选：B． 【变式3】如图，直尺中2cm处对应的数轴上的数与6cm处对应的数轴上的数的和为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：观察数轴可知，直尺中2cm处对应的数轴上的数为﹣0.5，6cm处对应数轴上的数为1.5， ∴﹣0.5+1.5＝1． 故选：C． 题型2 有理数的减法 解｜题｜知｜识 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 【典例1】已知|a|＝6，|b|＝4且a＜b，则a﹣b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2或﹣10 C．﹣10 D．以上都不是 【答案】B 【解答】解：∵|a|＝6，|b|＝4，且a＜b， ∴a＝﹣6，b＝4或a＝﹣6，b＝﹣4， 则a﹣b＝﹣2或﹣10， 故选：B． 【变式1】下列计算错误的是（　　） A．（﹣9）﹣6＝﹣15 B．（﹣9）﹣（﹣6）＝3 C．9﹣（﹣6）＝15 D．9﹣（+6）＝3 【答案】B 【解答】解：A、（﹣9）﹣6＝﹣15，选项计算正确，不符合题意； B、（﹣9）﹣（﹣6）＝﹣9+6＝﹣3，选项计算错误，符合题意； C、9﹣（﹣6）＝9+6＝15，选项计算正确，不符合题意； D、9﹣（+6）＝9﹣6＝3，选项计算正确，不符合题意． 故选：B． 【变式2】下列说法正确的有（　　） ①差一定小于被减数； ②0减一个数，仍得这个数； ③两个相反数相减得0； ④两个数的和是正数，则这两个数一定都是正数； ⑤减去一个负数，差一定大于被减数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】解：①当减数为负数时，差可能大于被减数，例如：5﹣（﹣3）＝8＞5，选项说法错误，不符合题意； ②0减一个数等于该数的相反数，选项说法错误，不符合题意； ③相反数相减为被减数的两倍，选项说法错误，不符合题意； ④两数和为正时，可能一正一负（正数绝对值更大），例如：5+（﹣3）＝2，选项说法错误，不符合题意； ⑤减去负数等价于加正数，差必大于被减数，选项说法正确，符合题意． 故选：B． 【变式3】下面说法正确的是（　　） A．若a是有理数，则|a|﹣a＝0一定成立 B．两个有理数相加，结果一定大于每个加数 C．两个有理数之差一定小于被减数 D．0减去任何一个有理数都得这个数的相反数 【答案】D 【解答】解：A、当a＜0时，a﹣a＝﹣a﹣a＝﹣2a≠0，故错误，不符合题意； B、当两个加数都小于零时，两个有理数的和小于每个加数，故错误，不符合题意； C、当减数小于零时，两个有理数的差大于被减数，故错误，不符合题意； D、0减去任何一个有理数都得这个数的相反数，故正确，符合题意． 故选：D． 题型3 有理数的加减混合运算 解｜题｜知｜识 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 【典例1】我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（　　） A．（﹣6）+（+8）＝2 B．（+6）+（﹣8）＝﹣2 C．（﹣6）﹣（+8）＝﹣14 D．（+6）﹣（﹣8）＝14 【答案】B 【解答】解：6个小棍正放表示6，8个小棍斜放表示﹣8， 因此图2可列的算式为（+6）+（﹣8）＝﹣2， 故选：B． 【变式1】不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成﹣7+4﹣5﹣6的是（　　） A．（﹣7）﹣（+4）﹣（﹣5）+（﹣6） B．﹣（+7）+（+4）﹣（﹣5）+（﹣6） C．﹣（+7）﹣（﹣4）﹣（+5）+（﹣6） D．（﹣7）+（+4）+（﹣5）﹣（﹣6） 【答案】C 【解答】解：（﹣7）﹣（+4）﹣（﹣5）+（﹣6）＝﹣7﹣4+5﹣6，则A不符合题意； ﹣（+7）+（+4）﹣（﹣5）+（﹣6）＝﹣7+4+5﹣6，则B不符合题意； ﹣（+7）﹣（﹣4）﹣（+5）+（﹣6）＝﹣7+4﹣5﹣6，则C符合题意； （﹣7）+（+4）+（﹣5）﹣（﹣6）＝﹣7+4﹣5+6，则，D不符合题意； 故选：C． 【变式2】请指出下面计算从哪一步开始出错（　　） ① ② ③ ．④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解答】解：原式 ＝2+（﹣2） ＝0， 由计算过程可得，在第②步出错． 故选：B． 【变式3】在计算时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：（）+（）． 故选：D． 过 关 验 收 1．5．若x的相反数是2，|y|＝5，则x+y的值为（　　） A．﹣7 B．3 C．7或﹣3 D．﹣7或3 【答案】D 【解答】解：∵x的相反数是2，|y|＝5， ∴x＝﹣2，y＝±5， ∴x+y＝﹣2+5＝3或x+y＝﹣2+（﹣5）＝﹣7， 故选：D． 2．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（　　） A．（﹣6）+（+8）＝2 B．（+6）+（﹣8）＝﹣2 C．（﹣6）﹣（+8）＝14 D．（+6）﹣（﹣8）＝14 【答案】B 【解答】解：根据题意，得图2可列的算式为（+6）+（﹣8）＝﹣（8﹣6）＝﹣2， 故选：B． 3．已知|a|＝3，|b|＝2，且b＜a，则a+b的值为（　　） A．1或﹣1 B．5或﹣5 C．3或﹣2 D．5或1 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，a＝3或a＝﹣3，b＝2或b＝﹣2， 又∵b＜a， ∴a＝3，b＝2或b＝﹣2， ∴当a＝3，b＝2时，a+b＝3+2＝5， 当a＝3，b＝﹣2时，a+b＝3﹣2＝1． 故选：D． 4．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则表中Δ处的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6 【答案】D 【解答】解：根据题意可知﹣1+0﹣5 ＝﹣6， ∴a＝﹣6﹣（﹣1）﹣（﹣3）＝﹣6+1+3＝﹣2， b＝﹣6﹣（﹣5）﹣（﹣3）＝﹣6+5+3＝2， ∴Δ＝﹣6﹣a﹣b＝﹣6﹣（﹣2）﹣2＝﹣6． 故选：D． 5．下列说法错误的是（　　） A．正数的绝对值等于本身 B．互为相反数的两数相加和为零 C．数轴上右边的数总比左边的大 D．若|a|＝|b|，则a＝b 【答案】D 【解答】解：A．根据绝对值的定义，正数的绝对值等于本身，那么A正确． B．根据相反数的性质，互为相反数的两数相加的和为零，那么B正确． C．根据数轴上右边的数总比左边的大，那么C正确． D．若|a|＝|b|，则a＝±b，那么D错误． 故选：D． 6．下列问题情境，不能用加法算式﹣3+12表示的是（　　） A．水位先下降3cm，再上升12cm后的水位变化情况 B．某日最低气温为﹣3℃，温差为12℃，该日最高气温 C．用12元钱购买3元文具后找回的零钱 D．数轴上表示﹣3与12的两个点之间的距离 【答案】D 【解答】解：A．水位下降3cm记为﹣3cm，上升12cm记为+12cm，变化量为﹣3+12，故该选项能用﹣3+12表示，不符合题意； B．最高气温 ＝ 最低气温+温差，最低气温为﹣3℃，温差为12℃，该日最高气温 ＝﹣3+12，故该选项能用﹣3+12表示，不符合题意； C．找回零钱 ＝ 支付金额﹣消费金额用12元钱购买3元文具，找回的零钱＝ 12﹣3＝9，可用﹣3+12表示（支出为负），故该选项能用﹣3+12表示，不符合题意； D．数轴上点﹣3与12的距离为|12﹣（﹣3）|＝15≠﹣3+12＝9，不能用﹣3+12表示，故该选项不能用﹣3+12表示，符合题意； 故选：D． 7．一艘轮船下午4：00出发，7小时后到达港口，轮船（　　）到达． A．11：00 B．23：00 C．晚上23：00 D．22：00 【答案】B 【解答】解：下午4点＝16时 则可得16+7＝23时． 故选：B． 8．若a，b互为相反数，c是最大的负整数，则a+b+c的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】D 【解答】解：∵a，b互为相反数，c是最大的负整数， ∴a+b＝0，c＝﹣1， ∴a+b+c＝0+（﹣1）＝﹣1， 故选：D． 9．下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“+”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（　　） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【解答】解：①正数前加上一个负号就是负数，选项说法正确，符合题意； ②不是正数的数就是负数，例如，0既不是正数，也不是负数，选项说法错误，不符合题意； ③只有带“+”号的数才是正数，例如，例如5是正数，但没有带“+”号，选项说法错误，不符合题意； ④0既不是正数也不是负数，选项说法正确，符合题意． 综上所述可得：说法正确的有①④，共计2个． 故选：B． 10．袋子里装有大小相等的红、黄、白三种颜色的球各4个，任意摸球，至少要摸出（　　）个球，才能保证摸到一个红球． A．4 B．5 C．9 D．10 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，要想保证摸到一个红球，最坏的情况是先摸出4个黄球，4个白球，再摸1个即可， 即至少要摸出的球数为：4+4+1＝9． 故选：C． 11．对2+（﹣3）＝﹣1用生活实例解释其意义正确的是（　　） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上2℃，随着冷空气的到来，下午气温下降了3℃．现在的气温是零上1℃ D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了3m3水，接着他又往水池注入2m3水，现在水池里的水比原来多了1m3 【答案】B 【解答】解：A、由题意0﹣3+2＝﹣1，现在该物体在数轴上对应点的数为﹣1，选项说法错误，不符合题意； B、2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1，故他这两个月合计亏了1万元，选项说法正确，符合题意； C、2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1，故现在的气温是零下1℃，选项说法错误，不符合题意； D、2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1，故现在水池中的水比原来少了1m3，选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 12．下表列出国外几个城市与北京的时差： 城市 东京 巴黎 纽约 芝加哥 时差（时） +1 ﹣7 ﹣13 ﹣14 如果现在时间是北京时间上午11：00，那么现在的巴黎时间是　4：00　 点． 【答案】4：00． 【解答】解：根据题意可知，11：00+（﹣7）＝4：00． 故答案为：4：00． 13．芳芳在做一道“用2、4、6、8、0、0、0组成一个七位数”的题目，她先组成了一个所有零都读不出来的最大数，记作x；她又组成了一个只读一个零的最小数，记作y．那么x+y＝　10642468　 ． 【答案】10642468． 【解答】解：所有零都不读的最大数为8642000，即x＝8642000， 只读一个零的最小数为2000468，即y＝2000468， ∴x+y＝8642000+2000468＝10642468． 故答案为：10642468． 14．一副扑克牌有54张，至少从中抽取　5　 张牌，才能保证有两张的点数不同． 【答案】5． 【解答】解：一副扑克牌有 54 张，其中点数相同的牌，除大小王外，每个点数有 4 张（A﹣K 共 13 种点数），还有 2 张大小王， 先抽取的四张牌点数相同，那么再随机抽取一张，一定会出现不同的点数， 4+1＝5（张）， ∴至少从中抽取5张牌，才能保证有两张的点数不同， 故答案为：5． 15．若|a+1|+|b﹣3|＝0，c，d互为相反数，则a+b+c+d的值是　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：根据题意可知，|a+1|≥0，|b﹣3|≥0，c+d＝0， ∴a+1＝0，b﹣3＝0， 解得：a＝﹣1，b＝3， ∴a+b+c+d＝﹣1+3+0＝2． 故答案为：2． 16．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子错误的是（　　） A．b﹣a＜0 B．a+b＜0 C．|a|＝﹣a D．b＜0 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，a＜b＜0， ∴b﹣a＞0，a+b＜0，|a|＝﹣a，b＜0， 选项A错误，符合题意． 故选：A． 17．下列说法： ①若m满足|m|+m＝0，则m+2≤0； ②若|a﹣b|＝b﹣a，则b≥a； ③若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是正数； ④若三个有理数a，b，c满足，则． 其中正确的是有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：①若m满足|m|+m＝0，则|m|＝﹣m，则m≤0，当m＝﹣1时，∴m+2＞0，原来的说法是错误的； ②若|a﹣b|＝b﹣a，则b﹣a≥0，所以b≥a，原来的说法是正确的； ③当|a|＞|b|时，分四种情况讨论： 当a＜b＜0，且|a|＞|b|时，a+b＜0，a﹣b＜0，则（a+b）•（a﹣b）是正数， 当a＜0＜b，且|a|＞|b|时，a+b＜0，a﹣b＜0，则（a+b）•（a﹣b）是正数， 当b＜0＜a，且|a|＞|b|时，a+b＞0，a﹣b＞0，则（a+b）•（a﹣b）是正数， 当0＜b＜a，且|a|＞|b|时，a+b＞0，a﹣b＞0，则（a+b）•（a﹣b）是正数， ④当a、b、c三个都是正数时，则，不符合题意； 当a、b、c有两个正数，一个负数时，不妨设a、b为正，则：， ∴； 当a、b、c有两个负数，一个正数时，不妨设a、b为负，则：，不符合题意； 当a、b、c三个都是负数时，则，不符合题意； ∴当三个有理数a，b，c满足，则， 原来的说法是错误的； 故选：B． 18．已知|3﹣4|＝4﹣3，|5﹣9|＝9﹣5，|0﹣3|＝3﹣0，请计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：||+||+||+...+|| ． 故选：A． 19．已知a＜0＜b＜c，化简|a﹣b|﹣|c﹣a|的结果是（　　） A．c﹣a B．c﹣b C．a﹣c D．b﹣c 【答案】D 【解答】解：∵a＜0＜b＜c， ∴a﹣b＜0，c﹣a＞0， ∴|a﹣b|﹣|c﹣a| ＝（b﹣a）﹣（c﹣a） ＝b﹣a﹣c+a ＝b﹣c， 故选：D． 20．如图，半径为1的圆在数轴上滚动，开始在数轴上点A（称圆与数轴的切点）处，向左滚动一周至点B处，若点A对应的数是3，则点B对应的数是（　　） A．3﹣π B．2π﹣3 C．π﹣3 D．3﹣2π 【答案】D 【解答】解：∵圆的半径r＝1， ∴圆的周长＝2πr＝2π， ∵点A对应的数是3， ∴点B对应的数是3﹣2π． 故选：D． 21．若|a|＝4，|b|＝5且a+b＞0，那么a﹣b＝ 　﹣1或﹣9　 ． 【答案】﹣1或﹣9． 【解答】解：∵|a|＝4， ∴a＝±4， ∵|b|＝5， ∴b＝±5， ∵a+b＞0， ∴a＝4，b＝5或a＝﹣4，b＝5， 当a＝4，b＝5时，a﹣b＝4﹣5＝﹣1； 当a＝﹣4，b＝5时，a﹣b＝﹣4﹣5＝﹣9； 综上：a﹣b＝﹣1或﹣9． 故答案为：﹣1或﹣9． 22．某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（20±0.15）kg的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差 　0.3　 kg． 【答案】0.3 【解答】解：∵某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（20±0.15）kg的字样， ∴它们的质量最多相差：0.15﹣（﹣0.15）＝0.15+0.15＝0.3（kg）， 故答案为：0.3． 23．学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：|8﹣5|＝8﹣5；|5﹣8|＝8﹣5；，． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用算出结果）； ①|3﹣7|＝　7﹣3　 ；②|2﹣π|＝　π﹣2　 ． （2）请利用你探究的结论计算：． 【答案】（1）①7﹣3；②π﹣2；（2）． 【解答】解：（1）根据题中规律可得两数相减的绝对值等于较大的数减去较小的数， ∴|3﹣7|＝7﹣3，|2﹣π|＝π﹣2． 故答案为：①7﹣3；②π﹣2； （2）原式 ． 24．阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M，N表示的数分别为﹣1，3，则线段MN的长度可以这样计算：|﹣1﹣3|＝4或|3﹣（﹣1）|＝4，那么当点M，N表示的数分别为m，n时，线段MN的长度可以表示为|m﹣n|或|n﹣m|． 请你参考小兰的发现，解决下面的问题． 在数轴上，点A，B，C分别表示数a，b，c．给出如下定义：若|a﹣b|＝2|a﹣c|，则称点B为点A，C的双倍绝对点． （1）如图1，a＝﹣1． ①若c＝2，点D，E，F在数轴上分别表示数﹣3，5，7，在这三个点中，点 E 是点A，C的双倍绝对点； ②若B是A，C的双倍绝对点，且|a﹣c|＝2，则b＝　﹣5或3　 ； （2）若a＝3，|b﹣c|＝5，B为点A，C的双倍绝对点，则c的值为 　﹣2，8，，　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①|a﹣b|＝2|a﹣c|， ∵a＝﹣1，c＝2， ∴|﹣1﹣b|＝2|﹣1﹣2|， 解得b＝5或﹣7， ∴点E是点A，C的双倍绝对点． 故答案为E； ②|a﹣b|＝2|a﹣c|， ∵a＝﹣l，|a﹣c|＝2， ∴|﹣1﹣b|＝2×2， 解得b＝﹣5或3， 故答案为﹣5或3； （2）∵|b﹣c|＝5， ∴BC＝5， ∵|a﹣b|＝2|a﹣c|， ∴AB＝2AC， ①当点A在B，C之间时， AB+AC＝BC， 3AC＝BC 3|3﹣c|＝5， 解得c或； ②当点A不在B，C之间时， AB＝AC+BC， AC＝BC， |3﹣c|＝5， 解得c＝﹣2或8． 综上，c的值为﹣2，8，.． 故答案为﹣2，8，，； 25．下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差（时） ﹣13 ﹣7 +1 ﹣14 2025年9月3日中国以一场盛大阅兵纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，阅兵重播将于北京时间13：00开始，下列各城市的时间表示正确的是（　　） A．纽约是2025年9月3日1：00 B．巴黎是2025年9月3日5：00 C．东京是2025年9月3日13：00 D．芝加哥是2025年9月2日23：00 【答案】D 【解答】解：A、纽约与北京的时差为﹣13时，13﹣13＝0， 故纽约此时时间为2025年9月3日0：00，选项时间错误，不符合题意； B、巴黎与北京的时差为﹣7时，13﹣7＝6， 故巴黎此时时间是2025年9月3日6：00，选项时间错误，不符合题意； C、东京与北京的时差为+1时，13+1＝14， 故东京此时时间为2025年9月3日14：00，选项时间错误，不符合题意； D、芝加哥与北京的时差为﹣14时，13﹣14＝﹣1， 故芝加哥此时时间是2025年9月2日23：00，选项时间正确，符合题意． 故选：D． 26．某水库上周日的水位是30m，下表是该水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升量，用负数记水位比前一日下降量），那么本周水位最低的是（　　） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m +0.12 ﹣0.02 ﹣0.13 ﹣0.20 ﹣0.08 ﹣0.02 +0.32 A．星期日 B．星期三 C．星期四 D．星期六 【答案】D 【解答】解：根据题意得，上周日的水位是30m， ∵用正数记水位比前一日上升量，用负数记水位比前一日下降量 ∴星期一的水位：30+0.12＝30.12（m）， 星期二的水位：30.12﹣0.02＝30.10（m）， 星期三的水位：30.1﹣0.13＝29.97（m）， 星期四的水位：29.97﹣0.20＝29.77（m）， 星期五的水位：29.77﹣0.08＝29.69（m）， 星期六的水位：29.69﹣0.02＝29.67（m）， 星期日的水位：29.67+0.32＝29.99（m）， ∵29.67＜29.69＜29.77＜29.97＜29.99＜30.10＜30.12， ∴本周水位最低的是星期六， 故选：D． 27．定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有x*x＝0，x*（y*z）＝（x*y）+z，这里“+”号表示数的加法，则2026*2025的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有x*x＝0，x*（y*z）＝（x*y）+z， 根据题意可知，2026*2025＝2026*2025+2025﹣2025＝[（2026*2025）+2025]﹣2025， ∵令x＝2026，y＝2025，z＝2025，则x*（y*z）＝（x*y）+z， ∴y*z＝2025*2025＝0， ∴2026*0＝（2026*2025）+2025， 即 （2026*2025）+2025＝2026*0 ∴（2026*2025）＝2026*0﹣2025． 又∵2026*0＝2026*（2026*2026）＝2026*2026+2026 故2026*0＝0+2026＝2026， ∴原式＝2026﹣2025＝1． 故选：A． 28．根据图中程序计算，若输入的数是﹣6，则输出的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．4 【答案】D 【解答】解：当输入﹣6时，﹣6﹣2+（﹣3）﹣（﹣10） ＝﹣6﹣2﹣3+10 ＝﹣11+10 ＝﹣1， ∵﹣1不大于﹣1，需再次输入． 当输入﹣1时，﹣1﹣2+（﹣3）﹣（﹣10） ＝﹣1﹣2﹣3+10 ＝﹣6+10 ＝4， ∵4＞﹣1， ∴输出4． 故选：D． 29．把（+5）﹣（+3）﹣（﹣1）+（﹣5）写成省略括号的和的形式是（　　） A．﹣5﹣3+1﹣5 B．5﹣3﹣1﹣5 C．5+3+1﹣5 D．5﹣3+1﹣5 【答案】D 【解答】解：原式＝（+5）+（﹣3）+（+1）+（﹣5）＝5﹣3+1﹣5． 故选：D． 30．下列变形，运用加法运算律正确的是（　　） A．3+（﹣2）＝2+3 B．4+（﹣6）+3＝（﹣6）+4+3 C．[5+（﹣2）]+4＝[5+（﹣4）]+2 D． 【答案】B 【解答】解：A、3+（﹣2）＝﹣2+3，故A错误，不符合题意； B、4+（﹣6）+3＝（﹣6）+4+3，故B正确，符合题意； C、[5+（﹣2）]+4＝（5+4）+（﹣2），故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意． 故选：B． 31．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（25±0.1）kg，（25±0.2）kg，（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出不同品牌的两袋，它们的质量最多相差（　　） A． B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg 【答案】C 【解答】解：分别计算三种品牌面粉的最大质量和最小值质量，再用三种品牌面粉中最大质量与另两个品牌最小质量作可得： 由题意可知，第一种品牌面粉的最大质量为25+0.1＝25.1kg，最小质量为25﹣0.1＝24.9kg； 第二种品牌面粉的最大质量为25+0.2＝25.2kg，最小质量为25﹣0.2＝24.8kg； 第三种品牌面粉的最大质量为25+0.3＝25.3kg，最小质量为25﹣0.3＝24.7kg； ∴从中任意拿出不同品牌的两袋，它们的质量最多相差25.3﹣24.8＝0.5kg， 故选：C． 32．已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如[3.2]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，[0.8]＝0，[2]＝2等，那么，　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：∵[a]表示不超过a的最大整数， ∴原式＝2+（﹣4）﹣（﹣7） ＝2﹣4+7 ＝5． 故答案为：5 33．我们规定一种新运算：a△b＝a﹣b+1，如3△4＝3﹣4+1＝0，那么2△（﹣3）的值为　6　 ． 【答案】6 【解答】解：根据题意得 ∵a△b＝a﹣b+1， ∴2△（﹣3）＝2﹣（﹣3）+1＝6． 故答案是6． 34．规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w，则+＝ 　2　 ． 【答案】2 【解答】解：原式＝（1﹣2+3）+（4+7﹣6﹣5） ＝1﹣2+3+4+7﹣6﹣5 ＝2+0 ＝2． 故答案为：2． 35．在温控范围内，肉联厂的冷藏库能使冷藏食品每小时降温4℃（冷藏库温度到达零下20℃后自动停止降温），每开库一次，温度上升5℃，现有15℃的肉放入冷藏库，3小时后开一次库，2小时后再次开库，再关上库门4小时，此时肉的温度是　﹣11　 ℃． 【答案】﹣11． 【解答】解：根据题意可知，肉的初始温度为：15℃， ∵3小时开一次库， ∴降温3小时，温度变为：15﹣12＝3℃， 开库一次：温度上升5℃，变为：3+5＝8℃， 降温2小时：温度变为：8﹣8＝0℃， 再次开库：温度上升5℃，变为：0+5＝5℃， 降温4小时，温度变为：5﹣16＝﹣11℃， 未达到降温下限﹣20℃，故最终温度为：﹣11℃． 故答案为：﹣11． 36．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家购置了一辆续航为550km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km ﹣8 ﹣12 ﹣17 +21 +19 +27 +33 （1）这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶　50　 km； （2）小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了多少km？ （3）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的15%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由表格可知最多的一天为第七天，最少的一天为第三天， 最多的一天比最少的一天多行驶33﹣（﹣17）＝50km； 故答案为：50； （2）（﹣8﹣12﹣17+21+19+27+33）+50×7＝413km， 答：小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了413km； （3）剩余续航里程所占百分比与15%比较可得： ， 所以行车电脑不会发出充电提示． 37．根据以下素材，完成探索任务． 素材1 中秋节，又称祭月节、月光诞、月夕、秋节、仲秋节、拜月节、月娘节、月亮节、团圆节等，是中国民间的传统节日．中秋节源自天象崇拜，中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐朝初年，盛行于宋朝以后．中秋节自古便有祭月、赏月、吃月饼、玩花灯、赏桂花、饮桂花酒等民俗，流传至今，经久不息．中秋节是秋季时令习俗的综合，其所包含的节俗因素，大都有古老的渊源．中秋节以月之圆兆人之团圆，为寄托思念故乡、思念亲人之情，祈盼丰收、幸福，成为丰富多彩、弥足珍贵的文化遗产．中秋节与春节、清明节、端午节并称为中国四大传统节日．受中华文化的影响．2006年5月20日，国务院将其列入首批国家级非物质文化遗产名录．自2008年起中秋节被列为国家法定节假日． 素材2 随着时代的发展，月饼的馅料越来越丰富．不仅和每个地方的饮食文化结合，出现广式、晋式、京式、苏式等口味，而且，富有想象力的大厨们还发明了抹茶冰皮、山楂蔓越莓等各种各样的月饼．中秋节又要到了，乐乐和妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计8枚）． 回家后，妈妈要求乐乐用称重不超过100克的电子秤，结合所学知识判断这盒月饼的总质量是否合格．乐乐仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，包装说明上标记的总质量合格标准为（560±5）克． 她们把8枚月饼的质量称重后统计列表如下表：（单位：克） 第n枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 69.2 70.3 70.8 69.3 69.6 70 69.3 70.8 为了简化运算，乐乐选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出表格（数据不完整）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 ﹣0.8 a +0.8 b ﹣0.4 c ﹣0.7 +0.8 问题解决 任务1 乐乐选取的这个标准质量是 　70　 克； 任务2 表格中a＝ 　+0.3　 ，b＝ 　﹣0.7　 ，c＝ 　0　 ； 任务3 质量最大的那枚月饼比质量最少的那枚月饼多多少克？ 任务4 乐乐对妈妈说这盒月饼总质量是合格的，请你通过计算说明理由． 【答案】任务1：70； 任务2：+0.3，﹣0.7，0； 任务3：质量最大的那枚月饼比质量最少的那枚月饼多1.6克； 任务4：这盒月饼总质量是合格的， 理由：由题意得：69.2+70.3+70.8+69.3+69.6+70+69.3+70.8＝559.3（克）， ∵560+5＝565（克），560﹣5＝555（克）， ∴555＜559.3＜565， 所以这盒月饼总质量是合格的． 【解答】解：任务1：根据题意可知，乐乐选取的这个标准质量为70克， 故答案为：70； 任务2：由题意得：a＝70.3﹣70＝+0.3，b＝69.3﹣70＝﹣0.7，c＝70﹣70＝0， 故答案为：+0.3，﹣0.7，0； 任务3：由题意得：70.8﹣69.2＝1.6（克）． 答：质量最大的那枚月饼比质量最少的那枚月饼多1.6克； 任务4：这盒月饼总质量是合格的， 理由：由题意得：69.2+70.3+70.8+69.3+69.6+70+69.3+70.8＝559.3（克）， ∵560+5＝565（克），560﹣5＝555（克）， ∴555＜559.3＜565， 所以这盒月饼总质量是合格的． 38．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：|3﹣1|可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；|3+1|可以理解为数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用|4﹣（﹣3）|表示． 根据以上阅读材料探索下列问题： （1）数轴上表示4和8的两点之间的距离是　4　 ；数轴上表示3和﹣6的两点之间的距离是　9　 ．（直接写出最终结果） （2）若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是12，则x的值为　10或﹣14；　 ． （3）若x表示一个有理数，则|x+1|+|x﹣3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）4；9；（2）10或﹣14；（3）|x+1|+|x﹣3|有最小值，最小值为4． 【解答】解：（1）根据题意可知，因为数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用|4﹣（﹣3）|表示， 所以数轴上表示4和8的两点之间的距离是|8﹣4|＝4，数轴上表示3和﹣6的两点之间的距离是|3﹣（﹣6）|＝9． 故答案为：4；9； （2）根据题意，得：|x﹣（﹣2）|＝12， ∴|x+2|＝12， ∴x+2＝﹣12或x+2＝12， 解得：x＝﹣14或x＝10， 故答案为：10或﹣14； （3）∵|x+1|+|x﹣3|表示x到﹣1和3的距离之和， ∴当x在﹣1和3之间时距离和最小，最小值为|﹣1﹣3|＝4， 故|x+1|+|x﹣3|有最小值，最小值为4． 学科网（北京）股份有限公司 $